Der Versuch wurde durchgeführt von: Leon Kasperek und Jules Pourtawaf
Die Wiki-Seite wurde angelegt am: 17 December 2020 21:08

Im Folgenden werden wir uns mit der experimentellen Untersuchung der Gesetzmäßigkeiten eines kippenden Besenstiels beschäftigen. Hierbei steht der zeitliche Verlauf der Kippbewegung im Fokus, wobei wir unsere experimentellen Ergebnisse mit denen vergleichen wollen, welche wir mittels eines Coputerprogramms erhalten. Anschließend machen wir eine Konsistensbetrachtung, bei der wir die Werte vergleichen und können Rückschlüsse auf den Einfluss der Reibung ziehen, da wir diese in unserem Computerprogramm nicht berücksichtigen werden. Anhand systematischer Unterschiede wird uns dieser Einfluss hoffentlich verdeutlicht. Des weiteren wollen wir uns ebenfalls mit dem Einfluss der Masse, Länge und des Anfangswinkel des Stiels auf den Kippvorgang beschäftigen und versuchen zu verstehen, warum das Jonglieren mit einem längerem Besentiel besser funktioniert als mit einem kurzem. Diese erkentniss wird uns im besten Falle durch unsere Messung und deren Auswertung geliefert.

1. Beschreiben Sie die Kippbewegung mithilfe physikalischer Begriffe.
2. Begründen Sie: Vernachlässigt man die Luftreibung, so hängt bei gleicher Stablänge die Kippzeit T nicht von der Stabmasse m ab.
3. Alltägliche Erfahrung: Je kleiner der Anfangswinkel ist, desto größer ist die Kippzeit T.
4. Welchen Einfluss hat die Stablänge?
5. Welche Schlussfolgerungen ergeben sich aus diesen Experimenten für das Jonglieren? Wie sollte der Stab beschaffen sein, damit das Jonglieren möglichst leicht gelingt?

1. Wird ein homogener Stab angenommen, mit dem Schwerpunkt im Zentrum gilt folgendes. Wenn der Stab nicht ganz parallel zur Schwerkraft ausgerichtet ist, so wirkt nach $\vec{M} = \vec{r} \times \vec{F}$ ein Drehmoment auf ihn. Der Stab beginnt zu kippen, wobei das Drehmoment immer größer wird, da sich der Winkel zwischen Schwerkraft und Stab vergrößert. Die Drehbewegung findet dabei um den Punkt statt, auf dem der Stab auf dem Boden steht. Das Drehmoment, welches die Beschleunigung der Drehbewegung ist, wird also immer größer.

2. Analog zum freien Fall eines Körpers spielt die Masse des Stabes keine Rolle, wenn Reibung vernachlässigt wird.

3. Ist der Anfangswinkel kleiner, so ist nach $\vec{M} = \vec{r} \times \vec{F}$ die Anfangsbeschleunigung kleiner. Außerdem ist der Kippweg größer, wodurch auch die Kippzeit länger wird.

4. Ein längerer Stab braucht eine längere Zeit, bis er auf dem Boden aufkommt. Dies liegt daran, dass bei einer weiter außen platzierten Masse auch das Trägheitsmoment größer wird und sich somit die Falldauer verändert.

5. Der größere Stab hat eine größere Fallzeit, also hat man mehr Zeit um auf die Kippbewegung zu reagieren. Ein großer bezeihungsweise langer Stab lässt sich leichter jonglieren.

Im folgenden dokumentiren wir unser Vorgehen zur Ermittlung der numerischen Lösung.

Mittels Mathematica haben wir ein Programm zur numerischen Lösung des Problems geschrieben. Zuerst haben wir die nötigen Definitionen getätigt, um anschließend die DGL zu definieren und mittels einer While-Schleife in einer Module-Umgebung zu lösen. In dieser Umgebung erhalten wir alle Winkel zu allen Zeiten die in dem Bereich unserer Anfangsbedingungen liegen mit den entsprechenden Zeitschritten. Da wir mittels $\varphi$ < 1.5707 definieren, dass die Bewegung nicht über 90 Grad hinaus geht, ist der letzte Wert unserer Liste der Zeitpunkt, an dem der Besenstiel auf den Boden aufschlägt (in der While-Schleife der vorletzte Wert, den letzten löschen wir wieder raus, weil er über 90 Grad hinaus kommt). Mit dem Befehl Last können wir uns diesen Wert ausgeben lassen. Manuelles verstellen der Anfangsbedingungen gibt uns beliebige Werte zum arbeiten aus. Zum besseren Verständnis des Codes und für ein Übersichtlicheres und detaillierteres Beschreiben haben wir im Code einige Bemerkungen eingefügt.

Im folgenden haben wir den Mathematica-Code zum lösen der Differentialgleichung $\ddot{\varphi}=\frac{Sin\varphi}{\tau^2}; \tau=\sqrt{\frac{2 \cdot l}{3 \cdot g}}$ eingefügt. Ein Download-Link, sowie einige Bemerkungen sind vorhanden.

Code zum Zeitschrittverfahren:

DGLloesen.nb

ClearAll
l = 1.45;(*Länge des Besen*)
g = 9.81;(*Fallbeschleunigung*)
stepsize = 0.01;(*Zeitschritt \[CapitalDelta]t*)
zeit = 0;(*Anfangsbedingung Zeit*)
startw = 0.017453;(*Anfangsbedingung Winkel*)
geschw = 0;(*Anfangsbedingung Geschwindigkeit*)
dd\[CurlyPhi][\[CurlyPhi]_] := (Sin[\[CurlyPhi]]*3*g)/(2*l)(*Zu lösende Differentialgleichung*)
Zeitschritt := 
 Module[(*In der Module-
  Umgebung können wir nun die DGL mit ihren Anfangsbedingungen lösen. 
  Wir erhalten alle Winkel zu allen Zeiten die in dem Bereich unserer \
Anfangsbedingungen liegen in den entsprechenden Zeitschritten.*)
  {ans, t, \[CurlyPhi], d\[CurlyPhi]}, ans = {{zeit, startw}};
  \[CurlyPhi] = startw;
  t = zeit;
  d\[CurlyPhi] = geschw;
  While[
   \[CurlyPhi] < 1.5707, 
   d\[CurlyPhi] = 
    d\[CurlyPhi] + dd\[CurlyPhi][\[CurlyPhi]]*stepsize;(*\[CurlyPhi]<
   1.5707 muss gelten, da wir uns nur in einen viertel Kreis bewegen, 
   somit 90 Grad.*)
   \[CurlyPhi] = \[CurlyPhi] + d\[CurlyPhi]*stepsize;
   t = t + stepsize; ans = Append[
     ans, {t, \[CurlyPhi]}
     ] 
   ];
  ans
  ]
loes = Drop[
   Zeitschritt, -1];(*Der letzte Eintrag der Liste muss gelöscht \
werden, da er sonst über 90 Grad liegt.*)
Last[loes](*Hier geben wir uns den letzten Wert unserer Liste aus. 
Dies ist der entscheidende Wert für unsere Auswertung, da er die \
Aufprallzeit bei dem entsprechenden Startwinkel ausgibt.*)

Um unser Programm zu verifizieren vergleichen wir es mit der Abbildung 3 des Dokuments Aufgabe. Im folgenden ist die Abbildung aus dem PDF kopiert um sie besser zu vergleichen.

In der folgenden Tabelle sind einige Werte der numerischen Berechnung zum Vergleichen der Ergebnisse und zum Verifizieren der Richtigkeit des Codes:

Es ist eindeutig zu erkennen, dass die numerisch berechneten Werte sehr dicht an die Werte in der Grafik kommen. Wir gehen somit davon aus, dass das Programm korrekt funktioniert.

Das Zeitschrittverfahren ist ein Vefahren, welches besonders Hilfreich bei der Lösung von Anfangswertproblemen sein kann. Hierbei wird eine Approximation an die Lösung unserer Anfangswertaufgabe gemacht, welche genauer wird, je kleiner die betrachteten Zeischritte sind. Der Sinn dieses Verfahrens besteht darin, dass man, wenn man den Funktionswert an einer Stelle sowie die Ableitung kennt, den Funktionswert an einer anderen Stellen nahe der Ausgangsstelle nähern kann, indem man den Funktioswert nimmt und dazu das Produkt aus Zeitdifferenz (Zeitschritt) und Ableitung an der Stelle addiert.

$\varphi(t)= \varphi(0) + \Delta t \cdot \dot{\varphi}(0)$,
$\varphi(t+\Delta t) = \varphi(t) + \Delta t \cdot \dot{\varphi}(t+\Delta t)$
…

Wenn man bei unserem Verfahren die Länge der Zeitschritte variiert, so ändert sich die Genauigkeit des Verfahrens. Je kürzer die Zeitschritte sind, desto genauer ist das Verfahren. Dies liegt daran, dass sich die jeweilige Ableitung die verwendet wird ändert und man somit bei größeren Zeitschritten nicht mehr wirklich realitätsnahe größen hinzuaddiert. Dies sieht man auch in unserer numerischen Lösung, wir haben jeweils für kleinere Zeitschritte eine Lösung erhalten, die näher an unserer erwarteten Lösung lag. Diesen Effekt sehen wir auch daran, dass unser Endwinkel für kleinere Zeitschritte auch immer näher an den tatsächlichen Endwinkel $\frac{\Pi}{2}$ gegangen ist. Je kleiner die Zeitschritte sind, desto besser wird der tatsächliche Endwinkel angenähert, desto genauer sind die Approximationen in den einzenen Schritten und desto genauer ist letztendlich auch die gesamte Approximation durch das Zeitschrittverfahren. Somit ist es gut mit einem möglichst kleinen Zeitschritt bei der numerischen Suche nach Lösungen zu arbeiten, auch wenn sich die Rechenzeit dadurch erhöht.

Beispiel bei einem Besenstiel der Länge l=1,45m und einen Startwinkel von 1 rad. Berechnet mit dem Mathematica-Code (Endwinkel $\frac{\Pi}{2}$=1,5708)

An den Werten in der Tabelle erkennt man, dass ein Zeitschritt von 100ms im Vergleich zu 0,01ms sehr ungenau ist. Außerdem lässt sich erkennen das bereits 1ms als Zeitschritt einen recht genauen Wert ausgibt.

Bei der Betrachtung ist wichtig zu verstehen, dass es einen Winkel gibt, bei dem die Berechnung stoppt. Da wir das Fallen des Besenstiels bei der DGL betrachten und bei dieser der begrenzende Faktor des Boden ist, kann die Bewegung nur von 0 Grad bis 90 Grad stattfinden. Einen waagerechten Boden angenommen führt dies zu einem Wert von maximal 90 Grad beziehungsweise Pi/2. In unserem Mathematica-Code beachten wir dies, da wir die While-Schleife nur bis $\varphi$ < 1.5707 rad laufen lassen, was einem Winkel von 90 Grad entspricht.

Wir haben uns des weiteren mit der Frage beschäftigt, was passieren würde, wenn man einen Besen und nicht nur einen Besenstiel für unseren Versuch nehmen würde. Wir hätten in diesem Fall eine zusätzliche Masse am oberen Ende des Besenstiels. Wir müssen uns also fragen, ob diese Masse etwas an der Winkelbeschleunigung ändern würde. Wir haben dazu angenommnen, dass es sich um eine Punktmasse am oberen Ende des Besenstiels handelt. Der Punkt, an welchen wir die Fallbeschleunigung besonders gut vergleichen können, ist der bei einem Winkel von 90°. Für die tangentiale Beschleunigung a gilt: $a = r \cdot \alpha$, wobei $\alpha$ die Winkelbeschleunigung darstellt. Setzt man dies nun für unsere Werte ein, wobei man $l=1,45 m$ verwendet, erhält man: $a = 1,45m \cdot \frac{3 \cdot g}{2,9m} = \frac{3}{2} \cdot g$. Wir erhaten also offensichtlich eine Beschleunigung, welche größer als $g$ ist. Wir sehen also, dass es für unseren Versuch besonders wichtig ist, nur den Besenstiel zu verwenden und das obere Ende abzuschrauben.

Im folgenden werden wir darlegen wie wir unsere Messungen durchgeführt haben und unsere Messreihen anschließend darstellen.

Bei unserer Messung haben wir zwei verschiedene Besen mit unterschiedlichen Stablängen verwendet. Hierbei haben wir den Besen in unterschiedlichen Winkeln platziert und fallen gelassen. Den Winkel haben wir mit einer Winkelmessapp auf dem Handy ermittelt, wobei wir das Handy parallel zum Besenstiel gehalten haben und dann den Winkel ablesen konnten. Anschließend haben wir den Besen in der Position gehalten, die Stoppuhr genommen und den Besen fallen gelassen. Die Fallzeit haben wir also manuell mit einer Stoppuhr und nicht mit der Phyphox App bestimmt, da die Messung mit der App nicht gut funktioniert hat. Deshalb haben wir bei der Zeit eine relativ hohe Unsicherheit (siehe Tabelle). Auch die Unsicherheit für den Winkel fällt etwas größer aus, da wir nach der Winkelmessung noch auf die Stoppuhr wechseln mussten und dabei kleine Abweichungen der Position nicht ausgeschlossen sind. Unsere Messwerte sind in den Tabellen weiter unten zu sehen.

Bevor wir unsere Messreihen aufgenommen haben, haben wir uns mit unserem Versuchsaufbau und den Messgeräten vertraut gemacht. Mehrere Messungen nach einander haben gezeigt, dass der Aufbau soweit recht verlässliche Ergebnisse erzeugte. Wir konnten anschließend mit der richtigen Messung starten.

Wir haben für den Startwinkel die Messunsicherheit auf 5° abgeschätzt. Diese große Unsicherheit kommt dadurch zustande, dass wir mit unserer Winkelmessapp den Winkel gemessen haben, danach jedoch noch die App wechseln und die Stoppuhr öffnen mussten. In dieser Zeit des wechselns ist das Potential für Fehler ziemlich groß, da man die Hand mit dem Stiel über die gesamte Zeit sehr ruhig halten muss. Für die Messunsricherheit der Zeit haben wir den Standartfehler, welchen man über die Standartabweichung berechnen kann genommen. Es gilt hierbei $u(T) = \frac{\sigma}{\sqrt{N}}$, wobei wir in unserem Falle auf $u(T) = 0,018 s$ kommen. Nun kommen zu diesem Fehler, welchen wir durch die Betrachtung der Streuung erhalten haben noch systematische Messfehler. Wir schätzen den durch die Reaktionszeit bedingten Fehler auf ca. $0,1 s$ ein. Wir kommen also nach Addition dieser Fehler auf einen Zeitfehler von $0,12 s$.

Ebefalls untersuchen wollen wir noch den Einfluss der Luftreibung auf unsere Kippzeit des Besenstiels. Hierfür haben wir den gleichen Versuchsaufbau wie eben verwendet, kleben nur zusätzlich noch ein Stück Pappe an unseren Besenstiel. Die Versuchsdurchführung bleibt ebenfalls die gleiche, unsere Messwerte dazu sind wieder im Abschnitt “Messwerte” zu finden. Durch das Verwenden von Pappe können wir die zusätzliche Masse des Besenstiels vernächlässigen. Allerdings vergrößert sich die Fläche durch die Pappe signifikant. Die Fläche der Pappe beträgt in etwa $816cm^2$. Die gemessenen Werte haben wir wieder mit qti-Plot dargestellt und im Versuchsbericht ausgewertet.

Messreihe für den Besen mit einer Stablänge von l=(120+-1)cm. Als unsicherheit für den Winkel geben wir 5° an, die Unsicherheit für die Zeit schätzen wir auf 0,018s.

Messreihe für den Besen mit einer Stablänge von l=(138+-1)cm. Als unsicherheit für den Winkel geben wir 5° an, die Unsicherheit für die Zeit schätzen wir auf 0,018s.

Messreihe für den Besen mit einer Stablänge von l=(138+-1)cm und zusätlich angeklebter Pappe zur Untersuchung der Luftreibung. Als Unsicherheit für den Winkel geben wir 5° an, die Unsicherheit für die Zeit schätzen wir auf 0,018s.

Numerisch bestimmte Werte für den Besen mit einer Stablänge von l=(120+-1)cm.

Numerisch bestimmte Werte für den Besen mit einer Stablänge von l=(138+-1)cm.

Hier noch Links zu

• den Grundbefehlen von Dokuwiki,
• lokal installierten Erweiterungen und
• noch mehr lokal installierte Erweiterungen