Harmonischer Oszillator

Ein Oszillator ist im Allgemeinen ein schwingungsfähiges System. Dies kann alles Mögliche sein, wie der dünne Zweig eines Baumes oder ein Fadenpendel. Der harmonische Oszillator ist ein Spezialfall, bei dem das schwingende Objekt eine lineare Rückstellkraft erfährt. Diese bewirkt eine sinusförmige Schwingung um die Ruhelage des Systems. Der harmonische Oszillator ist in der Physik ein sehr wichtiges Modell. Es beschreibt nicht nur die Schwingung eines klassischen Teilchens, wie eine Kugel an einem Faden oder das Blatt an einem Baum, sondern findet auch seine Anwendung in der Quantenphysik.

Die Bewegung eines Harmonischen Oszillators, also die Bewegung des Teilchens, welches Schwingungen vollführt, wird durch die Differentialgleichung (Bewegungsgleichung) $\ddot{\mathbf{x}}=-\omega \displaystyle x^{\displaystyle 2} $beschrieben.

Ein wichtiges Beispiel für einen harmonischen Oszilator ist das Fadenpendel.

Ein Pendel ist ein schwingender Körper. Also eine Masse, welche mithilfe eines Fadens, einer Stange, einer Feder oder etwas Vergleichbarem an einer Aufhängung befestigt ist. Wir werden im Folgendem den Spezialfall eines Fadenpendels betrachten.

Das mathematische Pendel beschreibt die Schwignung eines solchen Körpers mithilfe einiger Vereinfachungen:

• Bei dem schwingenden Körper handelt es sich um eine Punktmasse (d.h. Die gesammte Masse ist in einem Punkt zentriert)
• Der Faden ist masselos und seine Länge konstant
• Es herrschen keine Reibungskräfte

Diefferentialgleichung:

Die Differentialgleichung für das mathematische Pendel ergibt sich aus der Rückstellkraft. Einerseits erhält man die Rückstellkraft aus der Gravitationskraft (siehe Abbildung): $$F_R=-m \cdot g \cdot sin(\phi(t))$$ Andererseits kann man die Rückstellkraft auch über die (normale) Kraftgleichung $F=m\cdot a$(vgl. Newtonsche Axiome) und mit $ a_{tan} = l \cdot \ddot{\phi}(t)$: \begin{eqnarray*} F_R=&m \cdot a_{tan} \\ =&m \cdot l \cdot \ddot{\phi}(t) \end{eqnarray*} Insgesamt erhält man also: $$-m \cdot g \cdot sin(\phi(t)) = m \cdot \ddot{\phi}(t)$$

Nun nimmt man als Näherung an, dass für kleine Winkel $\phi$ gilt: $$\phi \approx sin(\phi)$$

Damit erhält man die Differentialgleichung $$\ddot{\phi}(t) = -\frac{g}{l} \cdot \phi(t)$$

mit der Lösung $$\phi(t) = \phi_{max} \cdot sin(\sqrt{\frac{g}{l}}\cdot t + \phi_0).$$ Hierbei bezeichnet $\phi_{max}$ die Winkelamplitude und $\phi_0$ die Phasenverschiebung (also den Startwinkel bei $t=0$). Aus der Lösung kann man außerdem die Winkelfrequenz$\omega$ ablesen und daraus die Periodendauer $T$ bestimmen: \begin{eqnarray*} \omega =& \sqrt{\frac{g}{l}} \\ T =& 2 \pi \sqrt{\frac{l}{g}} \end{eqnarray*}

Bei einem physikalisches Pendel wird nicht mehr von einer Punktmasse ausgegangen. Stattdessen wird auch die Form und die Ausdehnung des Körpers berücksichtigt. Es ist aber immer noch eine Vereinfachung gegenüber dem realen Pendel.

Periodendauer: $$T=\frac{2\pi}{\omega}=2\pi\sqrt{\frac{I}{mgd}}$$