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Harmonischer Oszillator
Ein Oszillator ist im Allgemeinen ein schwingungsfähiges System. Dies kann alles Mögliche sein, wie der dünne Zweig eines Baumes oder ein Fadenpendel. Der harmonische Oszillator ist ein Spezialfall, bei dem das schwingende Objekt eine lineare Rückstellkraft erfährt. Diese bewirkt eine sinusförmige Schwingung um die Ruhelage des Systems. Der harmonische Oszillator ist in der Physik ein sehr wichtiges Modell. Es beschreibt nicht nur die Schwingung eines klassischen Teilchens, wie eine Kugel an einem Faden oder das Blatt an einem Baum, sondern findet auch seine Anwendung in der Quantenphysik. In diesem Artikel wird nur die ungedämpfte Schwingung betrachtet. Für eine genauere Betrachtung der Dämpfung von Schwingungen betrachte den Artikel Schwingungen.
Differentialgleichung des Harmonischen Oszillators
Die Bewegung eines Harmonischen Oszillators, also die Bewegung des Teilchens, welches Schwingungen vollführt, wird durch die Differentialgleichung (Bewegungsgleichung) $\ddot{\mathbf{x}}=-\omega \displaystyle x^{\displaystyle 2}$ 1)beschrieben.
Ein wichtiges Beispiel für einen harmonischen Oszilator ist das Fadenpendel.
Pendel
Ein Pendel ist ein schwingender Körper. Also eine Masse, welche mithilfe eines Fadens, einer Stange, einer Feder oder etwas Vergleichbarem an einer Aufhängung befestigt ist. Wir werden im Folgendem den Spezialfall eines Fadenpendels betrachten.
Mathematisches Pendel
Kräfte am Fadenpendel
Das mathematische Pendel beschreibt die Schwignung eines solchen Körpers mithilfe einiger Vereinfachungen:
- Bei dem schwingenden Körper handelt es sich um eine Punktmasse (d.h. Die gesammte Masse ist in einem Punkt zentriert)
- Der Faden ist masselos und seine Länge konstant
- Es herrschen keine Reibungskräfte
Differentialgleichung und Lösung:
Für die Herleitung, bitte hier klicken
$$\phi(t) = \phi_{max} \cdot \sin(\sqrt{\frac{g}{l}}\cdot t + \phi_0).$$ Hierbei bezeichnet $\phi_{max}$ die Winkelamplitude und $\phi_0$ die Phasenverschiebung (also den Startwinkel bei $t=0$). Aus der Lösung kann man außerdem die Winkelfrequenz $\omega$ ablesen und daraus die Periodendauer $T$ bestimmen: \begin{eqnarray*} \omega =& \sqrt{\frac{g}{l}} \\ T =& 2 \pi \sqrt{\frac{l}{g}} \end{eqnarray*}
Physikalisches Pendel
Bei einem physikalisches Pendel wird nicht mehr von einer Punktmasse ausgegangen. Stattdessen wird auch die Form und die Ausdehnung des Körpers berücksichtigt. Es ist aber immer noch eine Vereinfachung gegenüber dem realen Pendel.
Periodendauer: $$T=\frac{2\pi}{\omega}=2\pi\sqrt{\frac{I}{mgd}}$$
Weitere harmonische Oszillatoren
Außer den üblichen bekannten Pendeln gibt es noch weitere Oszillatoren, die sich harmonisch beschreiben lassen. Die Überlegungen sind hier ähnlich zu denen, die bereits für das mathematische Pendel unternommen wurden. Daher werden im Folgenden hauptsächlich die Differntialgleichungen und die zugehörigen Lösungen angegeben.
Federpendel
Das Federpendel ist eine Masse an einer mechanischen Feder, welches durch eine Auslenkung nach unten oder nach oben zum Schwingen angeregt wird.
Die Differentialgleichung des Federpendels ist gegeben durch $$F=k \cdot y(t) = - m \cdot \ddot{y}(t).$$ Dabei ist $k$ die Federkonstante (Erinnerung: die Kraft hängt linear von der Auslenkung ab), $m$ ist die Masse und $y$ ist die Auslenkung parallel zur Kraft. Die Lösung dieser Differentialgleichung ist gegeben durch $$y(t) = y_{max} \cdot \sin(\omega_0 \cdot t)$$ , wobei $\omega_0 = \sqrt{\frac{D}{m}}$ die Eigenfrequenz und $y_{max}$ die Amplitude sind.
Elektrischer Schwingkreis
C: Kondensator
L: Spule
Der elektrische Schwingkreis ist eine elektrische Schaltung, welche aus Spule und Kondensator besteht. Hierbei schwingt die Energie zwischen dem elektrischen Feld des Kondensators und dem magnetischen Feld der Spule. Die Diffenrentialgleichung dieses Systems ist gegeben durch $$\frac{1}{C} q(t) = -L \cdot \ddot{q}(t).$$ Dabei ist die Ladung $q(t)$ abhängig von der Zeit, $C$ ist die Kapazität des Kondensators und $L$ ist die Induktivität der Spule. Die Lösung ist $$q(t) = C \cdot U_0 \cdot \cos( \sqrt{\frac{1}{CL}} \cdot t)$$ , wobei $\omega = \sqrt{\frac{1}{CL}}$ die Eigenfrequenz und $U_0$ die Maximalspannung am Kondensators ist. Daraus lässt sich auch die Lösung für die Stromstärke ermitteln durch $$I(t) = -\dot{q}(t) = C \cdot \omega \cdot U_0 \cdot \sin(\omega\cdot t).$$ Durch das Hinzufügen eines Ohmschen Widerstandes R wird der Schwingkreis zu einem gedämpften Schwingkreis und die Differentialgleichung lässt sich analog zu der einer gedämpften Schwingung lösen. Sie ist gegeben durch $$\frac{1}{C} q(t) + R \cdot \dot{q}(t) = -L \cdot \ddot{q}(t).$$