Fehleranalyse

Das Grundpraktikum hat die Absicht, den Stoff zu vertiefen und praktische Erfahrungen im Umgang mit typischen Messgeräten zu sammeln. Ein wesentlicher Teil umfasst die Aufzeichnung der aus dem Experiment gewonnenen Daten und deren Auswertung. Bei den Messungen einer physikalischen Große $x$ treten grundsätzlich Fehler auf, die unterschiedlicher Natur sein können. Man unterscheidet dabei zwischen statistischen und systematischen Fehlern. Man spricht auch von Unsicherheiten des Typs A und B. Aufgrund dieser auftretenden Unsicherheiten, gibt man das Resultat der Messungen in dieser Form an: $$x=\bar{x}\pm\Delta x \quad \mathrm{mit} \quad \Delta x = |\Delta x_{sys}| + |\Delta x_{stat}|$$

Wird eine Größe berechnet, die sich aus mehreren mit Unsicherheiten behafteten Größen zusammensetzt, dann spielt Fehlerfortpflanzung eine Rolle.

Systematische Fehler sind meistens schon im Versuchsaufbau zu begründen und zeichnen sich bei mehrmaliger Wiederholung unter gleichen Bedingungen z.B. durch einen konstanten Wert aus. Typische systematische Fehler sind unvollkommene Geräte (z.B. Spannungsversorgung), die Rückwirkung eines Messgerätes oder der Versuchsdurchführende selbst.

Nach dem Ausschluss aller systematischen Fehler, treten weitere häufig nicht präzise Ergründbare statistische Fehler auf. Zu diesen Fehlertypen werden z.B. unkontrollierbare Signalschwankungen, das Signalrauschen oder Temperaturschwankungen gezählt. Statistische Fehler lassen sich kaum vermeiden und machen unsere Messungen somit unsicher. Diese Unsicherheiten lassen sich jedoch durch wiederholtes Messen reduzieren.

Da es bei einer einzigen Messung unmöglich ist eine Aussage über die Zuverlässigkeit der Messung zu treffen, werden mehrere Messungen benötigt. Wir erhalten die Messungen $(x_1, x_2, ..., x_n)$ bezüglich unserer Messgröße $x$. Für unendlich viele Messwerte würden diese Gaußverteilt vorliegen, da wir aber nur eine begrenzte Anzahl von Messungen durchführen können, müssen wir ein paar Hilfsmittel benutzen, um wichtige Größen schätzen zu können:

Um den Erwartungswert zu berechnen benutzen wir das arithmetische Mittel: $$ \bar{X_n}=\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n x_i $$

Wir benutzen hier die empirische Varianz $$ S_n^2=\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^n (x_i-\bar{X_n})^2 $$

Aus der vorher berechneten Varianz, kann die Standardabweichung errechnet werden. Sie ist ein Maß für die Abweichung des Messwertes $x_i$ vom Mittelwert $\bar{X_n}$ $$S_n=\sqrt{S_n^2}=\sqrt{\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^n (x_i-\bar{X_n})^2}$$

Aus der Standardabweichung erhält man auch die mittlere Abweichung des Mittelwertes $\bar{X_n}$. Sie lässt leicht erkennen, dass wir für eine Verdopplung der Genauigkeit die vierfache Anzahl von Messwerten brauchen $$ S_m=\frac{S_n}{\sqrt{n}}=\sqrt{\frac{1}{n(n-1)}\sum_{i=1}^n (x_i-\bar{X_n})^2} $$

Das Ergebnis eines Experiments hängt meist nicht nur von einer, sondern von mehreren Größen ab, die gemessen wurden. Um nun eine sinnvolle Aussage treffen zu können, wie die Messunsicherheiten der einzelnen Größen das Gesamtergebnis beeinflussen, benutzt man verschiedene Verfahren der Fehlerfortpflanzung. Diese Abhängigkeit kann im Rahmen des Grundpraktikums mit Hilfe der Gauß’schen Fehlerfortpflanzung oder des Größtfehlers beschrieben und berechnet werden.

Die Gauß'sche Fehlerfortpflanzung macht nur Sinn, wenn die Messgrößen $x_1, x_2, x_3, ..., x_n$ nicht miteinander korrelieren. Dann erfolgt für den Fehler $$ \Delta f=\sum_{k=1}^n () $$