Der Versuch wurde durchgeführt von: Leon Kasperek und Jules Pourtawaf
Die Wiki-Seite wurde angelegt am: 17 December 2020 21:08

Im Folgenden werden wir uns mit der experimentellen Untersuchung der Gesetzmäßigkeiten eines kippenden Besenstiels beschäftigen. Hierbei steht der zeitliche Verlauf der Kippbewegung im Fokus, wobei wir unsere experimentellen Ergebnisse mit denen vergleichen wollen, welche wir mittels eines Coputerprogramms erhalten. Anschließend machen wir eine Konsistensbetrachtung, bei der wir die Werte vergleichen und können Rückschlüsse auf den Einfluss der Reibung ziehen, da wir diese in unserem Computerprogramm nicht berücksichtigen werden. Anhand systematischer Unterschiede wird uns dieser Einfluss hoffentlich verdeutlicht. Des weiteren wollen wir uns ebenfalls mit dem Einfluss der Masse, Länge und des Anfangswinkel des Stiels auf den Kippvorgang beschäftigen und versuchen zu verstehen, warum das Jonglieren mit einem längerem Besentiel besser funktioniert als mit einem kurzem. Diese erkentniss wird uns im besten Falle durch unsere Messung und deren Auswertung geliefert.

1. Beschreiben Sie die Kippbewegung mithilfe physikalischer Begriffe.
2. Begründen Sie: Vernachlässigt man die Luftreibung, so hängt bei gleicher Stablänge die Kippzeit T nicht von der Stabmasse m ab.
3. Alltägliche Erfahrung: Je kleiner der Anfangswinkel ist, desto größer ist die Kippzeit T.
4. Welchen Einfluss hat die Stablänge?
5. Welche Schlussfolgerungen ergeben sich aus diesen Experimenten für das Jonglieren? Wie sollte der Stab beschaffen sein, damit das Jonglieren möglichst leicht gelingt?

1. Ist der Stab nicht ganz parallel zur Schwerkraft ausgerichtet, so wirkt nach $M = r \cross F$ ein Drehmoment auf ihn. Der Stab beginnt zu kippen, wobei das Drehmoment immer größer wird, da sich der Winkel zwischen Schwerkraft und Stab vergrößert. Die Beschleunigung des Stabes wird immer größer.

2. Analog zum freien Fall eines Körpers spielt die Masse des Stabes keine Rolle, da bei Vernachlässigung der Luftreibung

3. Ist der Anfangswinkel kleiner, so ist nach M = r x F die Anfangsbeschleunigung kleiner. Außerdem ist der Kippweg größer, wodurch auch die Kippzeit länger wird.

4. Je Länger der Stab, desto höher der Schwerpunkt und desto größer das Drehmoment. Der längere Stab erreicht somit eine höhere Kippgeschwindigkeit. Beim längeren Stab ist die Kippzeit kleiner.

5. Je länger der Stab, desto höher liegt der Schwerpunkt und die Kippzeit, bedingt durch die im Schwerpunkt angreifende Kraft, wird größer. Man hat mehr Zeit um auf ein Wegkippen des Stabes zu reagieren.

Im folgenden dokumentiren wir unser Vorgehen zur Ermittlung der numerischen Lösung.

Mittels Mathematica haben wir ein Programm zur numerischen Lösung des Problems geschrieben. Zuerst haben wir die nötigen Definitionen getätigt, um anschließend die DGL zu definieren und mittels “ExplicitEuler” zu lösen. Mit “ExplicitEuler” kann in Mathematica das Zeitschrittverfahren über “NDSolve” genutzt werden, wodurch die DGL nicht wie gewöhnlich sondern auf diese Weise gelöst wird. Anschließend können wir mittels “ListPlot” die Ergebnisse des Zeitschrittverfahrens plotten.

Dokumentieren Sie hier im Wiki das Programm, das Sie für die Lösung der Bewegungsgleichung des Besenstiels geschrieben haben. Dafür eignet sich dafür besonders gut die Umgebung <code>. Wenn Sie dieser Umgebung mitteilen, in welcher Sprache das Programm geschrieben wurde wird die Syntax automatisch farbig hervorgehoben. (Dokumentation dazu) ¹⁾

Außerdem ist es möglich einen Link zum Download des präsentierten Programm-Codes anzuzeigen. Dazu geben Sie in dem einleitenden code-Tag einen Dateinamen an. Der Download bezieht sich unmittelbar auf das Im Editor eingetragene Programmstück. Ein getrennter Upload ist nicht nötig.

Beispiel:

ZeitschrittLoop.nb

l = 1.20;(*Länge des Besen*)
g = 9.81;(*Fallbeschleunigung*)
stepsize = 0.0001;(*Zeitschritt \[CapitalDelta]t*)
zeit = 0;(*Anfangsbedingung Zeit*)
startw = 0.017453;(*Anfangsbedingung Winkel*)
geschw = 0;(*Anfangsbedingung Geschwindigkeit*)
dd\[CurlyPhi][\[CurlyPhi]_] := ((3*Sin[\[CurlyPhi]]*g)/(
 2*l))(*Zu lösende Differentialgleichung*)
Zeitschritt := 
 Module[(*In der Module-
  Umgebung können wir nun die DGL mit ihren Anfangsbedingungen lösen. 
  Wir erhalten alle Winkel zu allen Zeiten die in dem Bereich unserer \
Anfangsbedingungen liegen in den entsprechenden Zeitschritten.*)
  {ans, t, \[CurlyPhi], d\[CurlyPhi]}, ans = {{zeit, startw}};
  \[CurlyPhi] = startw;
  t = zeit;
  d\[CurlyPhi] = geschw;
  While[
   \[CurlyPhi] < 1.5707, 
   d\[CurlyPhi] = 
    d\[CurlyPhi] + stepsize*dd\[CurlyPhi][\[CurlyPhi]];(*\[CurlyPhi]<
   1.5707 muss gelten, da wir uns nur in einen viertel Kreis bewegen, 
   somit 90 Grad.*)
   \[CurlyPhi] = \[CurlyPhi] + stepsize*d\[CurlyPhi];
   t = t + stepsize; ans = Append[
     ans, {t, \[CurlyPhi]}
     ] 
   ];
  ans
  ]
loes = Drop[
   Zeitschritt, -1];(*Der letzte Eintrag der Liste muss gelöscht \
werden, da er sonst über 90 Grad liegt.*)
graploes = 
 ListPlot[(*Dieser Plot stellt alle Einträge der Liste loes in einem \
Plot dar. (Nicht notwendig?)*)
  loes,
  AxesLabel -> {"t", "\[CurlyPhi]"},
  GridLines -> Automatic,
  ImageSize -> Large,
  PlotLabel -> "Winkel \[CurlyPhi] in Abhängigkeit der Zeit"
  ]
Last[loes](*Hier geben wir uns den letzten Wert unserer Liste aus. 
Dies ist der entscheidende Wert für unsere Auswertung, da er die \
Aufprallzeit bei dem entsprechenden Startwinkel ausgibt.*)

Um unser Programm zu verifizieren vergleichen wir es mit der Abbildung 3 des Dokuments Aufgabe. Im folgenden ist die Abbildung aus dem PDF kopiert um sie besser zu vergleichen.

Wie gut erkennbar ist, sind beide Darstellungen sehr ähnlich und die numerischen Lösungen sind nahezu identisch. Daraus können wir schließen, dass unser Programm funktioniert und weitere Folgerungen mit dem Programm sinvoll sind.

Das Zeitschrittverfahren ist ein Vefahren, welches besonders Hilfreich bei der Lösung von Anfangswertproblemen sein kann. Hierbei wird eine Approximation an die Lösung unserer Anfangswertaufgabe gemacht, welche genauer wird, je kleiner die betrachteten Zeischritte sind. Der Sinn dieses Verfahrens besteht darin, dass man, wenn man den Funktionswert an einer Stelle, sowie die Ableitung kennt, den Funktionswert an einer anderen Stellen nahe der Ausgangsstelle nähern kann, indem man den Funktioswert nimmt und dazu das Produkt aus Zeitdifferenz (Zeitschritt) und Ableitung an der Stelle addiert.
$\phi(t)= \phi(0) + \Delta t \cdot \dot{\phi}(0)$,
$\phi(t+\Delta t) = \phi(t) + \Delta t \cdot \dot{\phi}(t+\Delta t)$.

Im folgenden werden wir darlegen wie wir unsere Messungen durchgeführt haben und unsere Messreihen anschließend darstellen.

Bei unserer Messung haben wir zwei verschiedene Besen mit unterschiedlichen Stablängen verwendet. Hierbei haben wir den Besen in unterschiedlichen Winkeln platziert und fallen gelassen. Den Winkel haben wir mit einer Winkelmessapp auf dem Handy ermittelt, wobei wir das Handy parallel zum Besenstiel gehalten haben und dann den Winkel ablesen konnten. Anschließend haben wir den Besen in der Position gehalten, die Stoppuhr genommen und den Besen fallen gelassen. Die Fallzeit haben wir also manuell mit einer Stoppuhr und nicht mit der Phyphox App bestimmt, da die Messung mit der App nicht gut funktioniert hat. Deshalb haben wir bei der Zeit eine relativ hohe Unsicherheit (siehe Tabelle). Auch die Unsicherheit für den Winkel fällt etwas größer aus, da wir nach der Winkelmessung noch auf die Stoppuhr wechseln mussten und dabei kleine Abweichungen der Position nicht ausgeschlossen sind. Unsere Messwerte sind in den Tabellen weiter unten zu sehen.

Bevor wir unsere Messreihen aufgenommen haben, haben wir uns mit unserem Versuchsaufbau und den Messgeräten vertraut gemacht. Mehrere Messungen nach einander haben gezeigt, dass der Aufbau soweit recht verlässliche Ergebnisse erzeugte. Wir konnten anschließend mit der richtigen Messung starten.

Messreie für den Besen mit einer Stablänge von l=(120+-1)cm. Als unsicherheit für den Winkel geben wir 3° an, die Unsicherheit für die Zeit schätzen wir auf 0,3s.

Messreie für den Besen mit einer Stablänge von l=(132+-1)cm. Als unsicherheit für den Winkel geben wir 3° an, die Unsicherheit für die Zeit schätzen wir auf 0,3s.

Messreie für den Besen mit einer Stablänge von l=(138+-1)cm. Als unsicherheit für den Winkel geben wir 3° an, die Unsicherheit für die Zeit schätzen wir auf 0,3s.

Messreie für den Besen mit einer Stablänge von l=(138+-1)cm und zusätlich angeklebter Pappe zur Untersuchung der Luftreibung. Als unsicherheit für den Winkel geben wir 3° an, die Unsicherheit für die Zeit schätzen wir auf 0,3s.

Alle drei Messreihen in einem Plot. Die Fallzeit in Abhängigkeit von dem Startwinkel.

Diese Seite und ihre Unterseiten sind Ihr Bereich im APwiki für die Bearbeitung des Heim-Versuchs “Kippender Besenstiel”. Er soll die Funktion übernehmen, die im Präsenzpraktikum das Heft hat. Das heißt, es ist Ihre Logbuch für das, was Sie konkret experimentell und bei der Programmierung durchführen.

Legen Sie Fotos ab, notieren Sie Messwerte, laden sie ihr Programm hoch. Form und Formatierung sind dabei zweitrangig.

Damit dieser Bereich diese Aufgabe erfüllen kann, haben wir ihn mit speziellen Zugriffsrechten ausgestattet:

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