Matrizenoptik

Um in der geometrischen Optik den Weg der Lichtstrahlen durch Objekte wie Linsen und Spiegel darzustellen gibt es verschiedene Methoden. Eine ist die Konstruktion über Hauptebenen, mit denen man Linsensysteme vereinfacht. Eine elegantere Methode ist die Matrizenformulierung.

Bei dieser Darstellung der geometrischen Optik werden die Lichtstrahlen durch Vektoren beschrieben. Die Veränderung, welche diese erfahren, wird von einer Matrix beschrieben. Betrachtet man beispielsweise den Übergang in ein neues Medium, so ist die Matrix die Funktionsvorschrift für die Änderung des Vektors in dem neuen Medium. Sie entspricht einer linearen Abbildung: Die Multiplikation des Lichtstrahlenvektors mit der Matrix ergibt den Vektor, der den Verlauf des Lichtstrahls im neuen Medium beschreibt.

Der Vektor, welcher einen Lichtstrahl beschreibt, wird wie folgt definiert: Es wird die Lichtausbreitung entlang der optischen Achse betrachtet und der Vektor durch seinen Abstand und Winkel zu dieser beschrieben. Beide hängen dabei von dem betrachteten Punkt auf der optischen Achse ab. Es ergibt sich ein Vektor, der durch $r(z)$ (den Abstand zur optischen Achse) und $\alpha(z)$ (den Winkel zur optischen Achse) beschrieben wird.

Die Matrizen werden entsprechend den Gesetzen für das betrachtete optische Objekt konstruiert. Da die Vektoren zwei Einträge haben, setzt sich die Matrix aus vier Einträgen zusammen. Mit einfachen Matrizenmultiplikationen lassen sich die Lichtstrahlen beschreiben.

Durchläuft der Lichtstrahl mehr als ein optisches Objekt, beispielsweise 3 Elemente in der Reihenfolge $M_1$,$M_2$,$M_3$, so erfolgt die Multiplikation der Matrizen in umgekehrter Reihenfolge: $$ r_4=(M_3 \cdot M_2 \cdot M_1) \cdot r_1$$ Allgemein für $n$ durchlaufene optische Objekte: $$ r_n=(M_{n-1} \cdot \dots \cdot M_2 \cdot M_1) \cdot r_1= M \cdot r_1$$

Der Lichtstrahl kann sich ungehindert über eine Distanz $d$ ausbreiten. Die dazugehörige Matrix lautet dann $$ T=\begin{pmatrix} 1 & d \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$$ Mithilfe dieser Matrix kann nun ein neuer Vektor berechnet werden. Dieser Vektor stellt dann den Lichtstrahl dar, der die Distanz $d$ zurückgelegt hat, d.h. $$ \begin{pmatrix} r_2 \\ \alpha_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & d \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} r_1 \\ \alpha_1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} r_1+d\cdot\alpha_1 \\ \alpha_1 \end{pmatrix},$$ wobei $\bigl(\begin{smallmatrix} r_1 \\ \alpha_1 \end{smallmatrix}\bigr)$ der Vektor ist, der den Lichtstrahl vor Ausbreitung über eine bestimmte Distanz $d$ darstellt. Dementsprechend stellt $\bigl(\begin{smallmatrix} r_2 \\ \alpha_2 \end{smallmatrix}\bigr)$ den Lichtstrahl nach der Ausbreitung dar, der auch durch Multiplikation des ersten Vektors $\bigl(\begin{smallmatrix} r_1 \\ \alpha_1 \end{smallmatrix}\bigr)$ mit der Translationsmatrix $\bigl(\begin{smallmatrix} 1 & d \\ 0 & 1 \end{smallmatrix}\bigr)$ beschrieben werden kann. Es wird bei der Multiplikation deutlich, dass der Strahl seine Neigung zur Achse nicht ändert, da der Winkel gleich bleibt.

$$ S=\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}$$

$$ B=\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & \frac{n_1}{n_2} \end{pmatrix},$$ mit $n_1$ und $n_2$ Brechzahl der optischen Medien vor und nach der Grenzfläche

$$ L=\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ \frac{-1}{f} & 1 \end{pmatrix},$$ mit Brennweite f (siehe Linsen)

Beispiel