Interferenz

Man betrachte die Abbildung auf der rechten Seite. Hier beschreibt $a$ den Abstand der beiden Spalte, $d$ den Abstand zwischen Doppelspalt und Schirm und $x$ den Abstand eines Maximums (konstruktive Interferenz) vom Mittelpunkt (wo das so genannte nullte Maximum zu sehen ist).
Zunächst nimmt man an, dass $\alpha = \alpha '$, da $d\gg a$. Man geht also davon aus, dass die beiden Strahlen in der Nähe des Spaltes parallel sind.
Für den Gangunterschied $\Delta s$ (Differenz zwischen den Längen der beiden Strahlen gemessen zwischen Startpunkt am Spalt und Auftreffpunkt am Schirm) gilt \begin{eqnarray} \sin{\alpha} &&= \frac{\Delta s}{a}\\ \Leftrightarrow \Delta s &&= \sin{\alpha} \cdot a \end{eqnarray} Man erhält kontruktive Interferenz, wenn $\Delta s = \lambda$, denn dann ist der Phasenunterschied zwischen beiden Strahlen genau eine Wellenlänge $\lambda$. Dann gilt also für Maxima auf dem Schirm $$\lambda = \sin{\alpha} \cdot a$$ Auf der anderen Seite am Schirm kann man ebenfalls eine Bedingung für $\alpha$ ermitteln. Hier erhält man \begin{eqnarray} \tan{\alpha} &&= \frac{x}{d} \Leftrightarrow \alpha &&= \arctan{\frac{x}{d}} \end{eqnarray} Für die ersten Maxima ist der Winkel $\alpha$ sehr klein. Dann gilt \begin{eqnarray} \sin{\alpha} &&\approx \alpha\\ \text{und} \ \tan{\alpha} &&\approx \alpha \end{eqnarray} Nimmt man nun beide Bedingungen zusammen, erhält man durch einfache Umformungen die Interferenzbedingung am Doppelspalt \begin{eqnarray} \lambda &&= \alpha \cdot a \\ \lambda &&= \frac{x}{d} \cdot a \ \text{mit} \alpha \approx \frac{x}{d}\\ \text{Also gilt } \ \lambda \cdot d &&= x \cdot a. \end{eqnarray} Betrachtet man nun nicht das erste Maximum, sondern das n-te Maximum und den Abstand $x_n$ dieses Maximums vom nullten Maximum, so erhält man $$n \cdot \lambda \cdot d = x_n \cdot a.$$

Achtung: Hier werden die Minima (destruktive Interferenz) betrachtet und die Bezeichnungen in der Abbildung unterscheiden sich zur Herleitung beim Doppelspalt.
In dieser Abbildung ist die Spaltbreite gegeben durch $\Delta x$, der Abstand zwischen Spalt und Schirm durch $d$ und der Abstand vom nullten Maximum zum n-ten Minimum durch $a_n$. Dann gilt für das n-te Minimum $$n \cdot \lambda = \Delta x \cdot \sin{\alpha} = \Delta x \cdot \frac{a_n}{d}$$ Für das n-te Maximum gilt (wobei $a_n$ nun der Abstand zum n-ten Maximum ist) $$\frac{2 \cdot n + 1}{2} \cdot \lambda = \Delta x \cdot \sin{\alpha} = \Delta x \cdot \frac{a_n}{d}$$