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a_mechanik:schwingungen [20 May 2014 14:36] – chnowak | a_mechanik:schwingungen [24 June 2014 15:01] (current) – chnowak | ||
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=======Schwingungen======= | =======Schwingungen======= | ||
- | =====Welche physikalischen Größen charakterisieren ganz periodische Schwingungen====== | ||
=====Harmonische-, | =====Harmonische-, | ||
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+ | ====Harmonische Schwingung==== | ||
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**Harmonische Schwingungen** sind umgedämpfte Schwingungen, | **Harmonische Schwingungen** sind umgedämpfte Schwingungen, | ||
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Schwingungsfunktion: | Schwingungsfunktion: | ||
+ | In der Schwingungsfunktion ist $x_0$ die Amplitude zum Zeitpunkt t=0. Bei einer harmonischen Schwingung bleib die Amplitude zeitlich erhalten, d.h. sie wird nicht gedämpft und hat für alle Zeiten den gleichen Wert (wie man auch am Graphen ablesen kann). $\omega \cdot t +\varphi$ bezeichnet man als die Phase und $\varphi$ alleine ist die Phasenverschiebung. | ||
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+ | Eigenfrequenz: | ||
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+ | Im Falle der harmonischen Schwingung hängt die Eigenfrequenz $\omega$ nur von der Federkonstante k und der Masse m ab. Da keine Dämpfung vorliegt ist hier der Dämpfungskoeffizient $\delta=0$ und fällt somit weg. | ||
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+ | $$\Rightarrow\omega=\sqrt{\frac k m}$$ | ||
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+ | Im Graphen ist der typische Verlauf einer harmonischen Schwingung zu sehen. Zur Zeit t=0 ist $x_0=1$ und fällt dann auf den Wert x=-1 zum Zeitpunkt $t=\pi$ ($\approx 3.14$). Anschließend steigt die Amplitude wieder auf den Wert 1 zum Zeitpunkt $t=2\cdot\pi$ ($\approx 6.28$) an. Nun hat die Schwingung genau eine Periode beendet und schwingt genau gleich unendlich weiter. | ||
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- | Eigenfrequenz: | ||
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- | **Gedämpfte Schwingungen** stellen reale Schwingungen dar. Ihr Amplitude nimmt exponentiell ab. | ||
+ | ====Gedämpfte Schwingung==== | ||
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+ | **Gedämpfte Schwingungen** stellen reale Schwingungen dar. Ihr Amplitude nimmt exponentiell ab. | ||
Differentialgleichung: | Differentialgleichung: | ||
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Schwingungsfunktion: | Schwingungsfunktion: | ||
+ | wie schon bei der harmonischen Schwingung ist auch hier wieder $ x_0 $ die Amplitude, die aber in diesem Fall durch $e^{-\delta t}$ gedämpft wird. Das bedeutet konkret, dass die Auslenkung (z.B. des Federpendels) exponentiell abnimmt. Die Dämpfung ist im Graphen durch die rote Kurve dargestellt. | ||
Eigenfrequenz: | Eigenfrequenz: | ||
- | $$\small{\textfb{Gedämpfte Schwingung}}$$ | ||
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- | **Erzwungenen Schwingungen** wird der schwingende | + | |
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+ | In diesem Graphen sieht man, wie sich unterschiedliche Dämpfungen auf den zeitlichen Verlauf der Auslenkung auswirkt. Wenn das Quadrat der Dämpfung kleiner ist als das Verhältnis von der Federkonstanten k und der Masse m tritt der zu erwartende Schwingfall mit exponentiellen Abfall der Amplitude. Ist Das Verhä | ||
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+ | ====Erzwungene Schwingungen==== | ||
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+ | **Erzwungenen Schwingungen** wird der schwingende | ||
Differentialgleichung: | Differentialgleichung: | ||
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+ | Auf der rechten steht die Kraft $F_a$ und ein Kosinus für die periodische Anregung. Diese kompensieren die Dämpfung und lassen das System weiter schwingen. | ||
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$$\tan \varphi = \frac{2\delta \omega_a}{\omega_0^2-\omega_a^2}$$ | $$\tan \varphi = \frac{2\delta \omega_a}{\omega_0^2-\omega_a^2}$$ | ||
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- | ======Grenzfälle bei Schwingungen====== | ||
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