Der Schwerpunkt ist die Summe über mehrere Massenpunkte unter Berücksichtigung ihrer Position.

Beispiel für den Schwerpunkt zweier Massen

Im Bild werden bereits die Mittelpunkte der Kreise als Massepunkte angenommen. Der Schwerpunkt eines runden Objektes liegt bei homogener (gleichmäßiger) Massenverteilung immer im Mittelpunkt.

Um den Schwerpunkt zweier Massen $m_1$ und $m_2$ an den Orten $x_1$ und $x_2$ zu berechnen, gilt folgende Gleichung: \begin{eqnarray} P_s= \frac{m_1}{m_1+m_2} a \end{eqnarray}

Hierbei ist:

• $ P_s $ der Schwerpunkt angegeben in der Einheit des verwendeten Abstandes
• $m_1$,$m_2$ Gewichte der Massen
• $a$ Der Abstand der beiden Massen

Für unser Beispiel aus der Abbildung sähe das folgendermaßen aus:

Für drei Massen gilt: $$P_s= \frac{x_1 m_1+x_2 m_2+x_3+m_3}{m_1+m_2+m_3}$$

mit:

• $ P_s $ der Schwerpunkt angegeben in der verwendeten Einheit des Abstandes
• $m_1$,$m_2$,$m_3$ Massen
• $x_1$,$x_2$,$x_3$ Orte der Massen

Diese Schreibweise gilt auch für zwei Massen:

Kompakt kann das Ganze mit einer Summe ausgedrückt werden: $$ P_s=\frac{1}{M}\sum_{i=1}^{3}x_i m_i$$ mit

• $M$ Summe aller Massen (anzahl $n$) ($\sum_{i=1}^{n}m_i$)
• $i$ Summationsindex, welcher in der Summe durchläuft
• $x_i$ Orte der Massen
• $m_i$ Massen

Durch ersetzen der oberen Grenze durch eine Variable, ist die Gleichung für $n$ Massen gültig: $$ P_s=\frac{1}{M}\sum_{i=1}^{n}x_i m_i$$

Bei einer Homogenen Masseverteilung wird statt der Summe ein Integral verwendet. Dies wäre z.B bei einem Stab der Fall. Gehen wir davonaus, das $x_1$ der Ursprung unserer Koordinatenachse und der Anfang des Stabes ist und $x_2$ das Ende des Stabes. Dann sieht das Integral wie folgt aus: $$P_s=\frac{1}{M}\int_{x_1}^{x_2}x\rho(x)dx$$

mit

• $M$ Gesamtmasse (z.B. Masse des Stabes)
• $\rho$ Dichtefunktion ($\frac{dm}{dx}$)
• $x$ Ort

Der Schwerpunkt eines Systems versucht immer in eine energetisch günstige Lage zu kommen. Dies wäre im Gravitationsfeld der Erde z.B. eine möglichst tiefe Lage. Wird ein Körper also nicht in seinem Schwerpunkt sondern daneben stabilisiert, so greift die Schwerkraft den Körper im Schwerpunkt an und der Körper wird solange kippen, bis der Schwerpunkt eine stabile Lage erreicht hat, also keine tiefere Lage mehr möglich ist.

Beispiel für das Angreifen der Schwerkraft auf ein Objekt

Dies ist in der nebenstehenden Abbildung dargestellt. Position 1 und 3 haben eine energetisch günstige Lage. Position 2 ist instabil.

Durch bestimmte Methoden kann der Schwerpunkt von geometrischen Figuren ermittelt werden. Bei einem Kreis beispielsweise ist der geometrische Schwerpunkt genau in der Mitte zu finden. Ermittelt werden kann dieser durch den Schnittpunkt zweier Linien, welche den Kreis halbieren. Bei einem Dreieck wird der geometrische Schwerpunkt ermitteln, indem die Punkte genommen werden, welche die Seiten halbieren. Von ihnen werden jeweils Linien in die gegenüberliegenden Eckpunkte gezeichnet.

Bei Homogener Massenverteilung, z.B. einer dreieckigen Platte aus Metall, entspricht die Position des geometrischen Schwerpunktes in der Ebene auch der Position des tatsächlichen Schwerpunktes in der Ebene.

Der Schwerpunkt eines inhomogenen Körpers ist auf dem ersten Blick nicht so leicht ersichtlich. Seine Position kann jedoch trotzdem durch ein recht einfaches Experiment ermittelt werden. Dabei werden die Schwerlinien ausgenutzt. Wird ein Körper an einem Punkt aufgehängt, so wird er sich im Gravitationsfeld der Erde so ausrichten, dass sich sein Schwerpunkt auf einer Linie genau unter diesem Aufhängungspunkt befindet. So reichen bei einem dreidimensionalem Körper drei geeignete Schwerlinien aus, um die Lage des Schwerpunktes zu bestimmen.