Harmonische Schwingungen sind umgedämpfte Schwingungen, die sinusförmig unendlich weiter Schwingen

Differentialgleichung: $$\frac{d^{2}x}{dt^{2}}+\frac{k}{m}x=0$$

Schwingungsfunktion: $$x(t)=x_\text{0}\cos (\omega t+\varphi) $$

In der Schwingungsfunktion ist $x_0$ die Amplitude zum Zeitpunkt t=0. Bei einer harmonischen Schwingung bleib die Amplitude zeitlich erhalten, d.h. sie wird nicht gedämpft und hat für alle Zeiten den gleichen Wert (wie man auch am Graphen ablesen kann). $\omega \cdot t +\varphi$ bezeichnet man als die Phase und $\varphi$ alleine ist die Phasenverschiebung.

Eigenfrequenz:$$\omega=\sqrt{\frac {k}{m} -\delta^{2}}$$

Im Falle der harmonischen Schwingung hängt die Eigenfrequenz $\omega$ nur von der Federkonstante k und der Masse m ab. Da keine Dämpfung vorliegt ist hier der Dämpfungskoeffizient $\delta=0$ und fällt somit weg.

$$\Rightarrow\omega=\sqrt{\frac k m}$$

Im Graphen ist der typische Verlauf einer harmonischen Schwingung zu sehen. Zur Zeit t=0 ist $x_0=1$ und fällt dann auf den Wert x=-1 zum Zeitpunkt $t=\pi$ ($\approx 3.14$). Anschließend steigt die Amplitude wieder auf den Wert 1 zum Zeitpunkt $t=2\cdot\pi$ ($\approx 6.28$) an. Nun hat die Schwingung genau eine Periode beendet und schwingt genau gleich unendlich weiter.

Hier sieht man die verschiedenen Grenzfälle der gedämpften Schwingung. Diese entstehen durch das Verhältnis von Federkonstanten und Masse zur Dämpfung des Systems $\delta$

Gedämpfte Schwingungen stellen reale Schwingungen dar. Ihr Amplitude nimmt exponentiell ab.

Differentialgleichung: $$\frac{d^{2}x}{dt^{2}}+\frac{b}{m} \frac{dx}{dt} +\frac{k}{m}x=0$$

Schwingungsfunktion:$$x(t)=x_\text{0} e^{-\delta t} \cos (\omega t) $$

wie schon bei der harmonischen Schwingung ist auch hier wieder $ x_0 $ die Amplitude, die aber in diesem Fall durch $e^{-\delta t}$ gedämpft wird. Das bedeutet konkret, dass die Auslenkung (z.B. des Federpendels) exponentiell abnimmt. Die Dämpfung ist im Graphen durch die rote Kurve dargestellt.

Eigenfrequenz:$$\omega=\sqrt{\frac {k}{m} -\delta^{2}}$$

In diesem Graphen sieht man, wie sich unterschiedliche Dämpfungen auf den zeitlichen Verlauf der Auslenkung auswirkt. Wenn das Quadrat der Dämpfung kleiner ist als das Verhältnis von der Federkonstanten k und der Masse m tritt der zu erwartende Schwingfall mit exponentiellen Abfall der Amplitude. Ist Das Verhä

Erzwungenen Schwingungen wird der schwingende Oszillator konstant mit einer Anregungsfrequenz $\omega$ angeregt. Somit schwingt er mit einer konstanten Amplitude. Der Verlauf des Graphen ist genau wie bei einer harmonischen Schwingung.

Differentialgleichung: $$\frac{d^{2}x}{dt^{2}}+\frac{b}{m} \frac{dx}{dt} +\frac{k}{m}x=\frac {F_a}{m} \cos (\omega_a t - \varphi)$$

Auf der rechten steht die Kraft $F_a$ und ein Kosinus für die periodische Anregung. Diese kompensieren die Dämpfung und lassen das System weiter schwingen.

Schwingungsfunktion:$$x(t)=x_\text{0} \cos (\omega t - \varphi) $$

Die Eigenfrequenz ist nach einer Einschwingzeit gleich der anregenden Frequenz

$$ \omega = \omega_a$$

Als Resonanz beschreibt man das verstärkte Mitschwingen eines Systems, dass in der Lage ist zu schwingen. Dabei ist es wichtig wie groß die anregende Frequenz und die Resonanzfrequenz des Systems ist.

$$x_0=\frac{ \frac{F_a}{m}}{\sqrt{(\omega_0^2-\omega_a^2)^2+(2\delta \omega_a)^2}}$$

Nähern sich $\omega_0$ und $\omega_a$ immer weiter an, so wird der Nenner minimal und die Amplitude maximal. Im Falle eines umgedämpften Systems ($\delta=0$) wird der Nenner Null und wir erhalten die so genannte Resonatorkatastrophe und das System zerstört sich (Amplitude $x_0=\infty$)

Man bezeichnet zwei Sinus Funktionen als Phasenverschoben, wenn ihre Periodendauer gleich ist, aber der Zeitpunkt ihrer Nulldurchgänge nicht übereinstimmt. Die Periodenlänge muss dabei nicht gleich sein sondern nur ein vielfaches der jeweils anderen.

$$\tan \varphi = \frac{2\delta \omega_a}{\omega_0^2-\omega_a^2}$$