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a_mechanik:schwingungen [ 5 May 2014 15:45] – chnowaka_mechanik:schwingungen [24 June 2014 15:01] (current) – chnowak
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-=====Schwingungen=====+=======Schwingungen=======
  
-===Welche physikalischen Größen charakterisieren ganz periodische Schwingungen====  
  
 +=====Harmonische-, gedämpfte-, erzwungene Schwingung=====
  
-====Harmonische-, gedämpfte-, erzwungene Schwingung====+====Harmonische Schwingung==== 
 +[{{ :a_mechanik:harmonische_schwingung.jpg?300|}}]
  
-Harmonische Schwingungen sind umgedämpfte Schwingungen, die sinusförmig unendlich weiter Schwingen+**Harmonische Schwingungen** sind umgedämpfte Schwingungen, die sinusförmig unendlich weiter Schwingen
  
 Differentialgleichung: $$\frac{d^{2}x}{dt^{2}}+\frac{k}{m}x=0$$ Differentialgleichung: $$\frac{d^{2}x}{dt^{2}}+\frac{k}{m}x=0$$
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 Schwingungsfunktion:   $$x(t)=x_\text{0}\cos (\omega t+\varphi) $$ Schwingungsfunktion:   $$x(t)=x_\text{0}\cos (\omega t+\varphi) $$
  
 +In der Schwingungsfunktion ist $x_0$ die Amplitude zum Zeitpunkt t=0. Bei einer harmonischen Schwingung bleib die Amplitude zeitlich erhalten, d.h. sie wird nicht gedämpft und hat für alle Zeiten den gleichen Wert (wie man auch am Graphen ablesen kann). $\omega \cdot t +\varphi$ bezeichnet man als die Phase und $\varphi$ alleine ist die Phasenverschiebung.
  
-Eigenfrequenz:$$\omega=\sqrt{\frac k m}$$ 
  
 +Eigenfrequenz:$$\omega=\sqrt{\frac {k}{m} -\delta^{2}}$$
  
-Gedämpfter harmonischer Oszillationen stellen reale Schwingungen dar. Ihr Amplitude nimmt exponentiell ab.+Im Falle der harmonischen Schwingung hängt die Eigenfrequenz $\omega$ nur von der Federkonstante k und der Masse m ab. Da keine Dämpfung vorliegt ist hier der Dämpfungskoeffizient $\delta=0$ und fällt somit weg.
  
 +$$\Rightarrow\omega=\sqrt{\frac k m}$$
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 +Im Graphen ist der typische Verlauf einer harmonischen Schwingung zu sehen. Zur Zeit t=0 ist $x_0=1$ und fällt dann auf den Wert x=-1 zum Zeitpunkt $t=\pi$ ($\approx 3.14$). Anschließend steigt die Amplitude wieder auf den Wert 1 zum Zeitpunkt $t=2\cdot\pi$ ($\approx 6.28$) an. Nun hat die Schwingung genau eine Periode beendet und schwingt genau gleich unendlich weiter.
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 +====Gedämpfte Schwingung====
 +[{{ :a_mechanik:gedaempfte_schwingung.png?300|}}]
 +[{{ :a_mechanik:schwingugnen_mit_verschiendenen_dämpfungen.jpg?300|Hier sieht man die verschiedenen Grenzfälle der gedämpften Schwingung. Diese entstehen durch das Verhältnis von Federkonstanten und Masse zur Dämpfung des Systems $\delta$}}]
 +**Gedämpfte Schwingungen** stellen reale Schwingungen dar. Ihr Amplitude nimmt exponentiell ab. 
  
 Differentialgleichung: $$\frac{d^{2}x}{dt^{2}}+\frac{b}{m} \frac{dx}{dt} +\frac{k}{m}x=0$$ Differentialgleichung: $$\frac{d^{2}x}{dt^{2}}+\frac{b}{m} \frac{dx}{dt} +\frac{k}{m}x=0$$
  
  
-Schwingungsfunktion:$$x(t)=x_\text{0} e^{-\delta t}\cos (\omega t) $$+Schwingungsfunktion:$$x(t)=x_\text{0} e^{-\delta t} \cos (\omega t) $$
  
 +wie schon bei der harmonischen Schwingung ist auch hier wieder $ x_0 $ die Amplitude, die aber in diesem Fall durch $e^{-\delta t}$ gedämpft wird. Das bedeutet konkret, dass die Auslenkung (z.B. des Federpendels) exponentiell abnimmt. Die Dämpfung ist im Graphen durch die rote Kurve dargestellt.
  
 Eigenfrequenz:$$\omega=\sqrt{\frac {k}{m} -\delta^{2}}$$ Eigenfrequenz:$$\omega=\sqrt{\frac {k}{m} -\delta^{2}}$$
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-====Resonanz und Phasenverschiebung==== 
  
  
  
-====Grenzfälle bei Schwingungen====+In diesem Graphen sieht man, wie sich unterschiedliche Dämpfungen auf den zeitlichen Verlauf der Auslenkung auswirkt. Wenn das Quadrat der Dämpfung kleiner ist als das Verhältnis von der Federkonstanten k und der Masse m tritt der zu erwartende Schwingfall mit exponentiellen Abfall der Amplitude. Ist Das Verhä 
  
  
- + 
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 +====Erzwungene Schwingungen==== 
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 +**Erzwungenen Schwingungen** wird der schwingende Oszillator konstant mit einer Anregungsfrequenz $\omega$ angeregt. Somit schwingt er mit einer konstanten Amplitude. Der Verlauf des Graphen ist genau wie bei einer harmonischen Schwingung. 
 + 
 +Differentialgleichung: $$\frac{d^{2}x}{dt^{2}}+\frac{b}{m} \frac{dx}{dt} +\frac{k}{m}x=\frac {F_a}{m} \cos (\omega_a t - \varphi)$$ 
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 +Auf der rechten steht die Kraft $F_a$ und ein Kosinus für die periodische Anregung. Diese kompensieren die Dämpfung und lassen das System weiter schwingen. 
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 +Schwingungsfunktion:$$x(t)=x_\text{0} \cos (\omega t - \varphi) $$ 
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 +Die Eigenfrequenz ist nach einer Einschwingzeit gleich der anregenden Frequenz 
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 +$$ \omega = \omega_a$$ 
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 +======Resonanz und Phasenverschiebung====== 
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 +Als **Resonanz** beschreibt man das verstärkte Mitschwingen eines Systems, dass in der Lage ist zu schwingen. Dabei ist es wichtig wie groß die anregende Frequenz und die Resonanzfrequenz des Systems ist.  
 + 
 +$$x_0=\frac{ \frac{F_a}{m}}{\sqrt{(\omega_0^2-\omega_a^2)^2+(2\delta \omega_a)^2}}$$ 
 + 
 +Nähern sich $\omega_0$ und $\omega_a$ immer weiter an, so wird der Nenner minimal und die Amplitude maximal. Im Falle eines umgedämpften Systems ($\delta=0$) wird der Nenner Null und wir erhalten die so genannte Resonatorkatastrophe und das System zerstört sich (Amplitude $x_0=\infty$)   
 + 
 +Man bezeichnet zwei Sinus Funktionen als **Phasenverschoben**, wenn ihre Periodendauer gleich ist, aber der Zeitpunkt ihrer Nulldurchgänge nicht übereinstimmt. Die Periodenlänge muss dabei nicht gleich sein sondern nur ein vielfaches der jeweils anderen. 
 + 
 +$$\tan \varphi = \frac{2\delta \omega_a}{\omega_0^2-\omega_a^2}$$