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a_mechanik:schwerpunkt [18 December 2016 13:57] – frickea_mechanik:schwerpunkt [29 April 2020 10:38] (current) – [Mathematische Beschreibung] Keine Sternchen als Malzeichen. Kein Malzeichen bei Produkten von Skalaren knaak@iqo.uni-hannover.de
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 ===== Schwerpunkt ===== ===== Schwerpunkt =====
-Der Schwerpunkt ist die Summe über mehrere Massenpunkte unter Berücksichtigung iher Position.+Der Schwerpunkt ist die Summe über mehrere Massenpunkte unter Berücksichtigung ihrer Position. 
 + 
 +[{{ :a_mechanik:schwerpunkt_2_massen.png?nolink&300|Beispiel für den Schwerpunkt zweier Massen}}]
  
-{{:a_mechanik:schwerpunkt_2_massen.png?nolink&300|}} 
-<imgcaption SchwerpunktBeispiel|>:a_mechanik:schwerpunkt_2_massen.png</imgcaption> 
  
 Im Bild werden bereits die Mittelpunkte der Kreise als Massepunkte angenommen. Der Schwerpunkt eines runden Objektes liegt bei homogener (gleichmäßiger) Massenverteilung immer im Mittelpunkt. Im Bild werden bereits die Mittelpunkte der Kreise als Massepunkte angenommen. Der Schwerpunkt eines runden Objektes liegt bei homogener (gleichmäßiger) Massenverteilung immer im Mittelpunkt.
- +====Mathematische Beschreibung==== 
-Mathematisch wird das wie folgt ausgedrückt:  +===Berechnung des Schwerpunktes zweier Massen=== 
- +Um den Schwerpunkt zweier Massen $m_1$ und $m_2$ an den Orten $x_1$ und $x_2$ zu berechnen, gilt folgende Gleichung: 
-$$ P_s= \frac{x_1}{x_1+x_2}*a $$+\begin{eqnarray} P_s= \frac{m_1}{m_1+m_2} a \end{eqnarray}
  
 Hierbei ist:    Hierbei ist:   
-  * $ P_s $ der Schwerpunkt angegeben in der Einheit des verwendeten Abstandes zu $x_1$ +  * $ P_s $ der Schwerpunkt angegeben in der Einheit des verwendeten Abstandes 
-  * $x_1$,$x_2$ Die Punkte der Masse+  * $m_1$,$m_2$ Gewichte der Massen
   * $a$ Der Abstand der beiden Massen   * $a$ Der Abstand der beiden Massen
-Für unser Beispiel aus <imgref SchwerpunktBeispiel> 
  
-=== Eigenschaften === +++++Für unser Beispiel aus der Abbildung sähe das folgendermaßen aus:| 
-Der Schwerpunkt eines Systems versucht immer in eine energetisch günstige Lage zu kommen. Dies wäre im Gravitationsfeld der Erde z.B. eine möglichst tiefe Lage. Stabilisiert einen Körper also nicht in seinem Schwerpunkt sondern daneben, so greift die Schwerkraft den Körper im Schwerpunkt an und der Körper wird solange kippen, bis der Schwerpuntk eine stabile Lage erreicht hat, also keine tiefere Lage mehr möglich ist. +mit: 
 +  * $ P_s $ der Schwerpunkt angegeben in der verwendeten Einheit des  Abstandes 
 +  * $m_1$ Masse mit 2Kg 
 +  * $m_2$ Masse mit 1Kg 
 +  * $a$ Der Abstand der beiden Massen ($x_2-x_1=1$, da $x_1$ ganz vorne (Position 0) und $x_2$ ganz hinten (Position 1)) 
 +\begin{eqnarray*} P_s=& \frac{2[\mathrm{Kg}]}{2[\mathrm{Kg}]+1[\mathrm{Kg}]} \cdot 1 \\ 
 + P_s=& \frac{2[\mathrm{Kg}]}{3[\mathrm{Kg}]} \cdot 1 \\ 
 + P_s=& \frac{2}{3} \cdot 1 \\ 
 + P_s=& \frac{2}{3}\\ 
 +\end{eqnarray*} 
 +Die Positionen der Massen ($x_1$ und $x_2$) sind im Bild von links nach rechts auf einer Achse abzulesen. Um die Abstände zu berechnen, muss ein Koordinatensystem festgelegt werden. In diesem Fall hat es lediglich eine Achse entlang der Verbindungslinie der Masse Schwerpunkte und der Ursprung (Nullpunkt) ist bei $x_1$. Koordinaten sind somit immer Abstände zum Ursprung der Achse. 
 +$P_s$ hat also den Abstand $\frac{2}{3}$ zu der Masse mit $1$ $\mathrm{Kg}$. (In der Abbildung ist der Abstand nur im Verhältnis angegeben. Normalerweise liegen diese Angaben in Metern vor.) 
 +++++  
  
-{{:a_mechanik:energetisch_guenstige_lage.png?nolink&300|}}+===Berechnung des Schwerpunktes mehrerer Massen entlang einer Linie=== 
 +Für drei Massen gilt: 
 +$$P_s= \frac{x_1 m_1+x_2 m_2+x_3+m_3}{m_1+m_2+m_3}$$
  
-Position 1. und 3. haben eine energetisch günstige Lage. Position 2. ist instabil.+mit: 
 +  * $ P_s $ der Schwerpunkt angegeben in der verwendeten Einheit des Abstandes 
 +  * $m_1$,$m_2$,$m_3$ Massen  
 +  * $x_1$,$x_2$,$x_3$ Orte der Massen 
 +++++Diese Schreibweise gilt auch für zwei Massen:| 
 +Aus der Gleichung für zwei Massen ist die Gleichung für mehrere Massen herleitbar. Dafür schreiben wir $a$ nocheinmal ganz allgemein  auf: $a=x_2+x_1$. Falls der Koorinatenursprung nicht direkt in $x_1$ liegt, müssen wir diesen zusätlich von der Koordinate des Schwerpunktes abziehen. Diese Vorraussetzungen setzen wir nun in die Gleichung ein:  
 +\begin{eqnarray} 
 +P_s=&& \frac{m_1}{m_1+m_2} (x_2-x_1)&&+x_1\\ 
 +P_s=&&\frac{m_1(x_2-x_1)}{m_1+m_2}&&+x_1\\ 
 +P_s=&&\frac{m_1 x_2-m_1 x_1}{m_1+m_2}&&+\frac{(m_1+m_2) x_1}{m_1+m_2}\\ 
 +P_s=&&\frac{m_1 x_2-m_1 x_1}{m_1+m_2}&&+\frac{m_1 x_1+m_2 x_1)}{m_1+m_2}\\ 
 +P_s=&&\frac{m_1 x_2-m_1 x_1+m_1 x_1+m_2 x_1}{m_1+m_2}\\ 
 +P_s=&&\frac{m_1 x_2+m_2 x_1}{m_1+m_2}\\ 
 +\end{eqnarray} 
 +++++
  
-=== Geometrisch === +Kompakt kann das Ganze mit einer Summe ausgedrückt werden: 
-Durch bestimmte Methoden kann der Schwerpunkt von geometrischen Figuren ermittelt werden. Bei einem Kreis beispielsweise ist der geometrische Schwerpunkt genau in der Mitte zu finden. Ermittelt werden kann dieser durch den Schnittpunkt zweier Linien, welche den Kreis halbieren.  +$$ P_s=\frac{1}{M}\sum_{i=1}^{3}x_i m_i$$ 
-Bei einem Dreieck ist der Geometrische Schwerpunkt zu ermitteln, indem die Punkte genommen werden, welche die Seiten halbieren, und von ihnen jeweils Linien in die gegenüberliegenden Eckpunkte zeichnet.+mit 
 +  * $M$ Summe aller Massen (anzahl $n$) ($\sum_{i=1}^{n}m_i$) 
 +  * $i$ Summationsindex, welcher in der Summe durchläuft 
 +  * $x_i$ Orte der Massen 
 +  * $m_i$ Massen
  
 +Durch ersetzen der oberen Grenze durch eine Variable, ist die Gleichung für $n$ Massen gültig:
 +$$ P_s=\frac{1}{M}\sum_{i=1}^{n}x_i m_i$$
 +
 +Bei einer Homogenen Masseverteilung wird statt der Summe ein Integral verwendet. Dies wäre z.B bei einem Stab der Fall. Gehen wir davonaus, das $x_1$ der Ursprung unserer Koordinatenachse und der Anfang des Stabes ist und $x_2$ das Ende des Stabes. Dann sieht das Integral wie folgt aus:
 +$$P_s=\frac{1}{M}\int_{x_1}^{x_2}x\rho(x)dx$$
 +
 +mit
 +  * $M$ Gesamtmasse (z.B. Masse des Stabes)
 +  * $\rho$ Dichtefunktion ($\frac{dm}{dx}$)
 +  * $x$ Ort
 +
 +
 +
 +==== Eigenschaften ====
 +Der Schwerpunkt eines Systems versucht immer in eine energetisch günstige Lage zu kommen. Dies wäre im Gravitationsfeld der Erde z.B. eine möglichst tiefe Lage. Wird ein Körper also nicht in seinem Schwerpunkt sondern daneben stabilisiert, so greift die Schwerkraft den Körper im Schwerpunkt an und der Körper wird solange kippen, bis der Schwerpunkt eine stabile Lage erreicht hat, also keine tiefere Lage mehr möglich ist. 
 +
 +[{{ :a_mechanik:energetisch_guenstige_lage.png?nolink&300|Beispiel für das Angreifen der Schwerkraft auf ein Objekt}}]
 +
 +Dies ist in der nebenstehenden Abbildung dargestellt. Position 1 und 3 haben eine energetisch günstige Lage. Position 2 ist instabil.
 +
 +==== Geometrisch ====
 +Durch bestimmte Methoden kann der Schwerpunkt von geometrischen Figuren ermittelt werden. Bei einem Kreis beispielsweise ist der geometrische Schwerpunkt genau in der Mitte zu finden. Ermittelt werden kann dieser durch den Schnittpunkt zweier Linien, welche den Kreis halbieren. 
 +Bei einem Dreieck wird der geometrische Schwerpunkt ermitteln, indem die Punkte genommen werden, welche die Seiten halbieren. Von ihnen werden jeweils Linien in die gegenüberliegenden Eckpunkte gezeichnet.
  
-Bei Homogener Massenverteilung, z.B. einer dreieckigen Platte aus Metall, entspricht die Position des geometrischen Schwerpunktes in der Ebene auch der Position des Tatsächlichen Schwerpunktes in der Ebene.+Bei Homogener Massenverteilung, z.B. einer dreieckigen Platte aus Metall, entspricht die Position des geometrischen Schwerpunktes in der Ebene auch der Position des tatsächlichen Schwerpunktes in der Ebene.
  
-===Schwerpunkt eines inhomogenen Körpers=== +====Schwerpunkt eines inhomogenen Körpers==== 
-Der Schwerpunkt eines inhomogenen Körpers ist auf dem ersten Blick nicht so leicht ersichtlich. Seine Position kann jedoch trotzdem durch ein recht einfaches Experiment ermittelt werden. Dabei werden die Schwerlinien ausgenutzt. Wird ein Körper an einem Punkt aufgehängt, so wird er sich im Gravitationsfeld der Erde so ausrichten, dass sein Schwerpunkt auf einer Linie genau unter diesem Aufhängungspunkt befindet. So reichen bei einem dreidimensionalem Körper drei geeignete Schwerlinien aus, um die lage des Schwerpunktes zu bestimmen.+Der Schwerpunkt eines inhomogenen Körpers ist auf dem ersten Blick nicht so leicht ersichtlich. Seine Position kann jedoch trotzdem durch ein recht einfaches Experiment ermittelt werden. Dabei werden die Schwerlinien ausgenutzt. Wird ein Körper an einem Punkt aufgehängt, so wird er sich im Gravitationsfeld der Erde so ausrichten, dass sich sein Schwerpunkt auf einer Linie genau unter diesem Aufhängungspunkt befindet. So reichen bei einem dreidimensionalem Körper drei geeignete Schwerlinien aus, um die Lage des Schwerpunktes zu bestimmen.