meta data for this page
Differences
This shows you the differences between two versions of the page.
Both sides previous revisionPrevious revisionNext revision | Previous revision | ||
a_mechanik:schwerpunkt [18 December 2016 12:45] – Weiterbearbeitung (Formeln etc.) fricke | a_mechanik:schwerpunkt [29 April 2020 10:38] (current) – [Mathematische Beschreibung] Keine Sternchen als Malzeichen. Kein Malzeichen bei Produkten von Skalaren knaak@iqo.uni-hannover.de | ||
---|---|---|---|
Line 1: | Line 1: | ||
===== Schwerpunkt ===== | ===== Schwerpunkt ===== | ||
- | Der Schwerpunkt ist die Summe über mehrere Massenpunkte unter Berücksichtigung | + | Der Schwerpunkt ist die Summe über mehrere Massenpunkte unter Berücksichtigung |
+ | |||
+ | [{{ : | ||
- | {{: | ||
Im Bild werden bereits die Mittelpunkte der Kreise als Massepunkte angenommen. Der Schwerpunkt eines runden Objektes liegt bei homogener (gleichmäßiger) Massenverteilung immer im Mittelpunkt. | Im Bild werden bereits die Mittelpunkte der Kreise als Massepunkte angenommen. Der Schwerpunkt eines runden Objektes liegt bei homogener (gleichmäßiger) Massenverteilung immer im Mittelpunkt. | ||
+ | ====Mathematische Beschreibung==== | ||
+ | ===Berechnung des Schwerpunktes zweier Massen=== | ||
+ | Um den Schwerpunkt zweier Massen $m_1$ und $m_2$ an den Orten $x_1$ und $x_2$ zu berechnen, gilt folgende Gleichung: | ||
+ | \begin{eqnarray} P_s= \frac{m_1}{m_1+m_2} a \end{eqnarray} | ||
- | Mathematisch wird das wie folgt ausgedrückt: $P_{s}= \frac{x_{1]}_{x_{1]+x_{2]}a $ | + | Hierbei ist: |
+ | * $ P_s $ der Schwerpunkt angegeben in der Einheit des verwendeten Abstandes | ||
+ | * $m_1$,$m_2$ Gewichte der Massen | ||
+ | * $a$ Der Abstand der beiden Massen | ||
- | === Eigenschaften === | + | ++++Für unser Beispiel aus der Abbildung sähe das folgendermaßen aus:| |
- | Der Schwerpunkt eines Systems versucht immer in eine energetisch günstige Lage zu kommen. Dies wäre im Gravitationsfeld | + | mit: |
+ | * $ P_s $ der Schwerpunkt angegeben in der verwendeten Einheit des Abstandes | ||
+ | * $m_1$ Masse mit 2Kg | ||
+ | * $m_2$ Masse mit 1Kg | ||
+ | * $a$ Der Abstand der beiden Massen ($x_2-x_1=1$, da $x_1$ ganz vorne (Position 0) und $x_2$ ganz hinten (Position 1)) | ||
+ | \begin{eqnarray*} P_s=& \frac{2[\mathrm{Kg}]}{2[\mathrm{Kg}]+1[\mathrm{Kg}]} \cdot 1 \\ | ||
+ | P_s=& \frac{2[\mathrm{Kg}]}{3[\mathrm{Kg}]} \cdot 1 \\ | ||
+ | P_s=& \frac{2}{3} \cdot 1 \\ | ||
+ | P_s=& \frac{2}{3}\\ | ||
+ | \end{eqnarray*} | ||
+ | Die Positionen | ||
+ | $P_s$ hat also den Abstand $\frac{2}{3}$ zu der Masse mit $1$ $\mathrm{Kg}$. (In der Abbildung | ||
+ | ++++ | ||
- | {{: | + | ===Berechnung des Schwerpunktes mehrerer Massen entlang einer Linie=== |
+ | Für drei Massen gilt: | ||
+ | $$P_s= \frac{x_1 m_1+x_2 m_2+x_3+m_3}{m_1+m_2+m_3}$$ | ||
- | Position 1. und 3. haben eine energetisch günstige Lage. Position 2. ist instabil. | + | mit: |
+ | * $ P_s $ der Schwerpunkt angegeben in der verwendeten Einheit des Abstandes | ||
+ | * $m_1$, | ||
+ | * $x_1$, | ||
+ | ++++Diese Schreibweise gilt auch für zwei Massen:| | ||
+ | Aus der Gleichung für zwei Massen ist die Gleichung für mehrere Massen herleitbar. Dafür schreiben wir $a$ nocheinmal ganz allgemein | ||
+ | \begin{eqnarray} | ||
+ | P_s=&& | ||
+ | P_s=&& | ||
+ | P_s=&& | ||
+ | P_s=&& | ||
+ | P_s=&& | ||
+ | P_s=&& | ||
+ | \end{eqnarray} | ||
+ | ++++ | ||
- | === Geometrisch === | + | Kompakt kann das Ganze mit einer Summe ausgedrückt werden: |
- | Durch bestimmte Methoden kann der Schwerpunkt von geometrischen Figuren ermittelt werden. Bei einem Kreis beispielsweise ist der geometrische Schwerpunkt genau in der Mitte zu finden. Ermittelt werden kann dieser durch den Schnittpunkt zweier Linien, welche den Kreis halbieren. | + | $$ P_s=\frac{1}{M}\sum_{i=1}^{3}x_i m_i$$ |
- | Bei einem Dreieck ist der Geometrische Schwerpunkt zu ermitteln, indem die Punkte genommen werden, welche die Seiten halbieren, und von ihnen jeweils Linien in die gegenüberliegenden Eckpunkte zeichnet. | + | mit |
+ | * $M$ Summe aller Massen (anzahl $n$) ($\sum_{i=1}^{n}m_i$) | ||
+ | * $i$ Summationsindex, | ||
+ | * $x_i$ Orte der Massen | ||
+ | * $m_i$ Massen | ||
+ | Durch ersetzen der oberen Grenze durch eine Variable, ist die Gleichung für $n$ Massen gültig: | ||
+ | $$ P_s=\frac{1}{M}\sum_{i=1}^{n}x_i m_i$$ | ||
+ | |||
+ | Bei einer Homogenen Masseverteilung wird statt der Summe ein Integral verwendet. Dies wäre z.B bei einem Stab der Fall. Gehen wir davonaus, das $x_1$ der Ursprung unserer Koordinatenachse und der Anfang des Stabes ist und $x_2$ das Ende des Stabes. Dann sieht das Integral wie folgt aus: | ||
+ | $$P_s=\frac{1}{M}\int_{x_1}^{x_2}x\rho(x)dx$$ | ||
+ | |||
+ | mit | ||
+ | * $M$ Gesamtmasse (z.B. Masse des Stabes) | ||
+ | * $\rho$ Dichtefunktion ($\frac{dm}{dx}$) | ||
+ | * $x$ Ort | ||
+ | |||
+ | |||
+ | |||
+ | ==== Eigenschaften ==== | ||
+ | Der Schwerpunkt eines Systems versucht immer in eine energetisch günstige Lage zu kommen. Dies wäre im Gravitationsfeld der Erde z.B. eine möglichst tiefe Lage. Wird ein Körper also nicht in seinem Schwerpunkt sondern daneben stabilisiert, | ||
+ | |||
+ | [{{ : | ||
+ | |||
+ | Dies ist in der nebenstehenden Abbildung dargestellt. Position 1 und 3 haben eine energetisch günstige Lage. Position 2 ist instabil. | ||
+ | |||
+ | ==== Geometrisch ==== | ||
+ | Durch bestimmte Methoden kann der Schwerpunkt von geometrischen Figuren ermittelt werden. Bei einem Kreis beispielsweise ist der geometrische Schwerpunkt genau in der Mitte zu finden. Ermittelt werden kann dieser durch den Schnittpunkt zweier Linien, welche den Kreis halbieren. | ||
+ | Bei einem Dreieck wird der geometrische Schwerpunkt ermitteln, indem die Punkte genommen werden, welche die Seiten halbieren. Von ihnen werden jeweils Linien in die gegenüberliegenden Eckpunkte gezeichnet. | ||
- | Bei Homogener Massenverteilung, | + | Bei Homogener Massenverteilung, |
- | ===Schwerpunkt eines inhomogenen Körpers=== | + | ====Schwerpunkt eines inhomogenen Körpers==== |
- | Der Schwerpunkt eines inhomogenen Körpers ist auf dem ersten Blick nicht so leicht ersichtlich. Seine Position kann jedoch trotzdem durch ein recht einfaches Experiment ermittelt werden. Dabei werden die Schwerlinien ausgenutzt. Wird ein Körper an einem Punkt aufgehängt, | + | Der Schwerpunkt eines inhomogenen Körpers ist auf dem ersten Blick nicht so leicht ersichtlich. Seine Position kann jedoch trotzdem durch ein recht einfaches Experiment ermittelt werden. Dabei werden die Schwerlinien ausgenutzt. Wird ein Körper an einem Punkt aufgehängt, |