Der Versuch wurde durchgeführt von: Nele-Marie Knoop und Tobias Otte

Bei diesem Versuch geht es um die Bestimmung des Einflusses von Stab-länge, -masse und dem Anfangswinkel auf den zeitlichen Ablauf der Kippbewegung eines fallenden Besenstiels. Hierzu werden zwei Besenstiele verschiedener Länge aus unterschiedlichen Winkeln fallen gelassen, wobei die Zeit mit einer Stoppuhr gemessen wird.

Bei dieser Durchführung wurden Besenstiele der Länge 1,23m und 1,425m genutzt. Zur Messung des Winkels wurde eine Konstruktion bestehend aus einer Wasserwaage und eines Geodreiecks, mittels Klebeband erstellt, wobei die Fallzeit mit Hilfe einer manuellen Stoppuhr bestimmt wurde. Die Konstruktion ist im folgenden Bild erkenntlich:

Länge:142,5 cm (+/-2mm)

Länge:123 cm(+/-2mm)

Es entstehen durch verschiedene Faktoren Messfehler:

• Schrecksekunde bei der Zeitmessung (+/-95ms), weil der Start und Stoppknopf nicht genau beim Loslassen und Aufprall gedrückt werden
• Fehler beim Ablesen des Winkels (+/-2°) bzw. (+/- 0,03490659 rad), da der Stab zu dick und das Geodreieck zu klein sind um diesen genau abzulesen und sich nach der Winkelmessung die Haltung der Hand noch verändern könnte.
• Fehler beim Ablesen der Länge (+/-2mm)
• Schwankungen beim Halten
• Anstoßen beim Fallen lassen (Der Stab fällt schneller, wodurch T kleiner wird)
• ein Abrutschen des Besens (Der Stab könnte auf dem Boden beim Fall wegrutschen, was das Messergebnis ungenau machen würde)
• ein unebener Boden (Es sind nicht genau 90°)
• die Winkel sind nicht genau bestimmbar (da der Stab sehr dick und das Geodreieck sehr klein ist)
• der Start und Stoppknopf der Stoppuhr wird verzögert gedrückt (was dazu führt dass das gemessene T von dem realen T abweicht)

All diese Messfehler stellen systematische Fehler dar.

Die Zeitabweichung wurde hierbei durch das Durchführen von 10 Messungen mit der Stoppuhr bestimmt:

0,2; 0,09; 0,09; 0,09; 0,1; 0,22; 0,09; 0,09; 0,08; 0,08

Der Mittelwert beträgt 0,095 s

Des Weiteren wurde mit OpenOfficeCalc die Standardabweichung der Messwerte berechnet: unbenannt_4.ods

Um die Standardabweichung zu bilden wird zunächst der Mittelwert (Sume der Messwerte durch Anzahl dieser) der Messwerte gebildet. Dann wird von jedem Messwert der Mittelwert abgezogen, das Ergebnis davon wird dann quadriert. Nun wird die Summe dieser Quadrate gebildet, welche dann wieder durch die Anzahl der Messwerte geteilt wird. Von diesem Ergebnis wird dann die Wurzel gezogen, was dann die Standardabweichung ergibt. Da OpenOfficeCalc jedoch einen Befehl für die Standardabweichung (STABW()) enthält, wurde dieser für die Berechnung genutzt.

Das Zeitschrittverfahren löst Anfangswertprobleme gewöhnlicher Differentialgleichungen, vom Anfangswinkel in Abhängigkeit von der Zeit ausgehend, von Zeitschritt zu Zeitschritt. Folgendes Dokument enthält eine Dokumentation eines solchen Programms:

programm_zur_modellierung_des_kippenden_besenstiels.pdf

Bei dem Besenstiel handelt es sich um einen starren Körper und bei der Kippbewegung um eine Rotation um eine Achse auf dem Boden senkrecht zu Fallrichtung und dem stehenden Besenstiel. Nun kann das System über die Energie definiert werden. Dabei lässt sich die potentielle Energie im System eines starren Körpers m*g* h, wobei h die Höhe des Schwerpunktes, g die Erdbeschleunigung und m die Masse definiert. Da der Stiel näherungsweise eine Gleichmäßige Massenverteilung beinhaltet ist das hier die halbe Stiellänge l/2. Für die kinetische Energie T hingegen gilt bei starren Körpern T= ½ * I * w^2, wobei I für das Trägheitsmoment des Stabs, was bei der Rotation durch I = ½ m * l^2 und w die Winkelgeschwindigkeit beschreibt. Steht der Stiel gerade, so gibt es keine kinetische Energie und die potentielle Energie beläuft sich auf l/2. Fängt der Besen in zu kippen so verringert sich die Höhe und man erhält eine kinetische Energie. Bildet man nun geometrisch betrachtet ein Dreieck zwischen Hochachse und dem gekippten Stiel spannt, kann man die Höhe vom Auslenkungswinkel phi und der halbe Stablänge abhähngig machen. Dabei ergibt sich die Höhe von l/2 * cos(phi). Da aber in diesem System die Energie erhalten bleibt folgt dabei: m*g* l/2 = m*g* l/2 * cos(phi) + ½ * ½ m * l^2 * w^2. Dabei kürzt sich die Masse aus der Gleichung raus. Stellt man nun die Formel nach der w um so ergibt sich: w = Wurzel¹⁾)/l) = Wurzel²⁾)/l). In diesem Falle kann die Länge l auf jeden Punkt des Stiels übertragen werden. Diese entspricht hier nämlich dem Abstand zum Boden. Nimmt man nun Phi=90°, kommt raus: v=w*l=l*Sqrt[3*g/l]=Sqrt[3*g*l]. Vergleicht man dies mit der Formel für den freien Fall: v=Sqrt[2*g*h], fällt auf dass die Formeln sich dadurch unterscheiden, dass bei dem Besenstiel Die Wurzel von 3 anstatt 2 mal der Länge des Besenstiels, anstatt der Höhe des Punktes (was in dem Fall aber äquivalent ist), mal der Erdbeschleunigung genommen wird. Der einzige Unterschied ist also, dass bei der Besenstielspitze die Wurzel von 3*g*h genomen wird und beim freien Fall der Punktmasse die Wurzel von 2*g*h, die Geschwindigkeit bei der Besenstielspitze also höher ist.

Bei der Berechnung der Geschwindigkeit geht die Abhängigkeit von der Masse durch kürzen verloren, weshalb beim betrachten der Kippbewegung ohne Reibung die Masse keine Relevanz hat.

Betrachtet man nun den Verlauf des kippenden Besenstiels, so stellt man fest, dass bei der Fall bei kleinen Winkel für die Fallzeit erst immer schneller abnimmt, diese Entwicklung dann immer weiter abflacht, bis dann irgendwann der Abfall der Zeit immer geringer wird. Dies lässt sich mit der Höhe und der Geschwindigkeit des Falls erklären. Wenn man nämlich die Formel von der Theorie mit einem Startwinkel ausstattet, so erhält man einfach in der Wurzel statt “1-cos(phi)“ „cos(Phi 0)-cos(phi 1)“. Das bedeutet das am Ende die maximale Geschwindigkeit geringer wird und damit auch die durchschnittliche Geschwindigkeit abnimmt. Nun verändert sich zum Winkel aber auch die Fallhöhe. Betrachtet man den Fall von beispielsweise den äußersten Punktes des Stiels, so kann man die Bahn dieses Massenpunktes als eine Kreisbahn beschreiben welche im höchsten Punkt startet und in diesem Falle mit dem Uhrzeigersinn fällt. Wenn man aber auf diesem Kreis sich nur wenig vom höchsten Punkt sich entfernt nimmt die Höhe nur ein wenig an. Wenn man sich aber weiter entfernt nimmt dieser Abfall der Höhe immer mehr zu. Nun ist hier beides gleichzeitig vorhanden. Also ist bei kleineren Startwinkeln die Steigung der Geschwindigkeit stärker, als der Höhenunterschied. Bei größeren Winkeln wird dieser Unterschied immer kleiner bis am Ende der Verlust der Höhe stärker ist als der Gewinn an Beschleunigung, wodurch der Abfall quasi logarithmisch wird.

Je größer die Stablänge und kleiner der Startwinkel sind, desto länger dauert der Fall also. Aus diesem Grund sollte der Jongleur einen möglichst langnr Stab verwenden, denn dann hat er mehr Zeit für Gegenbewegungen. Dann sollte er probieren den Auslenkungswinkel gering zu halten, da bei größerem Winkel die Beschleunigungszeit weniger wird. Leichter wird das Balancieren außerdem, sollte man ihn quer auf 2 Finger legen und diese zusammenschieben, bis der Schwerpunkt erreicht ist.

Im letzten Graphen wurde bei gleichen Eingaben bezüglich des Stiels die Zeitschritte vergrößert. Dabei lässt sich beobachten, dass bei größeren Zeitschritten der Graph kantiger ist als bei kleineren Schritten. Dies lässt sich damit erklären, dass bei großen Zeitschritten auch mehr Zeit nötig ist, um eine Änderung festzustellen. Dadurch entstehen bei gleichbleibender Anzahl der Werte und zu hohen Zeitschritten irgendwann zwei Zeiten im gleichen Intervall und somit mit gleichem Wert. Dadurch entsteht dann der Stufenartige Teil der Funktion. Außerdem wird der Graph auch ungenauer, weil er zu weniger Zeiten eine Veränderung zeigt.

Um den Einfluss der Reibung auf den Fall des Stabes herauszufinden, wird ein Blatt Papier daran befestigt und die Fallzeit sowohl mit, als auch ohne Papier wieder mittels der Stoppuhr erfasst.

reibung.ods

Das Gewicht des Stabes spielt ohne Luftwiederstand keine Rolle, mit Luftwiederstand jedoch die Beschaffenheit dieses, da der Besenstiel dann ausgebremst wird und immer langsamer fällt. Dies wird von diesem Versuch bestätigt, denn die Fallzeiten des Besenstiels mit der Pappe sind länger, als die ohne Pappe.