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Besenstiel -- Gruppe 314

Der Versuch wurde durchgeführt von: Lisa Digiacomo und Zoe Lohmann
Die Wiki-Seite wurde angelegt am: 18 December 2020 15:55

Zur Physik der Besenjonglage

Vorüberlegungen

Bei dieser Kippbewegung handelt es sich um ein Kippmoment. Dieses Drehmoment führt beim überschreiten zum Kippen des Körpers. Dieses wirkt um die Kippachse des Körpers, um die bei Überschreiten des Drehmoments das Kippen erfolgt.
Der Winkel φ_0 ist der Kippwinkel, der die Neigung des Körpers angibt, bei dem der Körper kippt.
Die Masse des Besenstiels beeinflusst den Betrag der Gewichtskraft. Je höher diese ist, desto größer ist die wirkende Kraft auf den Schwerpunkt des Stiels.
Die Länge des Besenstiels bestimmt mit dem Kippwinkel die Kippzeit. Also die Zeit, die der Besenstiel braucht, um auf dem Boden aufzukommen bzw. um den Winkel von 90° zu erreichen. Je länger der Stab ist, desto größer ist sein Trägheitsmoment und damit resultierend auch die Kippzeit.
Vernachlässigt man die Luftreibung (Vakuum), so hängt die Kippzeit bei gleicher Stablänge nicht mehr von der Masse ab. Die Luftreibung wirkt der Gewichtskraft entgegen. Dabei ist die Luftreibung bei schwereren und großflächigeren Körpern größer und verlangsamt den Fall des Körpers. Bei dem Besenstiel soll diese vernachlässigt werden, sodass keine entgegengesetzte Kraft auf den Körper wirken kann und die Masse keinen weiteren Einfluss auf die Kippzeit hat.
Je kleiner der Kippwinkel ist, desto größer ist die Kippzeit, da mehr Weg zurückgelegt werden muss. Die Stablänge hat hier den Einfluss, dass sie, je länger er ist, desto größer wird auch das zu überwindene Trägheitsmoment, sodass das Kippen verzögert wird.
Damit nun das Balancieren auf einen Finger möglichst einfach gelingt, muss der Stab möglichst lang sein, damit der Jongleur während der Besen kippt, genügend Zeit hat, um den Stiel auszubalancieren. Der Stab sollte möglichst senkrecht gehalten werden, damit sein Drehmoment gering bleibt.

Computerprogramm

Die numerische Lösung wurde mit Hilfe von einem Tabellenkalkulationsprogramm programmiert: numerische_loesung.ods

Es werden nur Startwinkel, Zeitschritt und Stablänge angepasst. Je nach Wahl des Zeitschritts muss die Tabelle weitergeführt werden.

Messwerte

Da aufgrund von Corona keine gemeinsame Messung möglich war, wurde jeweils eine eigene Messung durchgeführt. Diese können vergleichend und ergänzend sein. Die Fallzeit T wird mit der Smartphone - App PhyPhox ermittelt. Dazu wird eine akustische Stoppuhr verwendet, die bei Aufnahme eines Geräusches startet und bei Aufnahme eines weiteren Geräusches stoppt. So können Loslassen (Geräusch wird durch Klopfen o. ä. erzeugt) und Aufprall die Fallzeit bestimmen.
Der Versuchsaufbau ist im Folgenden Bild dargestellt.


Um den Kippwinkel zu bestimmen, wurde mit Winkelbeziehungen gerechnet. Dabei wird der Winkel $\alpha$, der Winkel zwischen Stab und Boden bestimmt und daraus dann der Winkel $\varphi_0$. Mit Hilfe von $\sin{\alpha}=\frac{a}{l}$ wurde der Winkel $\alpha$ bestimmt. Ein Lot dient zur Berechnung des Kippwinkels durch $\varphi_0=90° - \alpha$. Die Messungen wurden jeweils für verschieden lange Stäbe durchgeführt. Die Unsicherheit der Länge folgt aus der Ungenauigkeit beim Ablesen am Maßband.

Stablänge: l = 129,6 cm

a = 20 cm, T in s a = 40 cm, T in s a = 60cm, T in s a = 80cm, T in s a = 100cm, T in s a = 120cm, T in s
0,121 0,153 0,285 0,376 0,492 0,694
0,110 0,148 0,293 0,366 0,517 0,713
0,119 0,151 0,272 0,345 0,506 0,709
0,156 0,133 0,278 0,353 0,520 0,695
0,159 0,142 0,273 0,371 0,519 0,740


Daraus folgt für die Kippzeit und dem Winkel φ_0 :

a in cm φ_0 in ° α in ° <T> in s
20 81,12 8,88 0,133
40 72,02 17,98 0,145
60 62,42 27,58 0,280
80 51,88 38,12 0,362
100 39,5 50,5 0,511
120 22,19 67,81 0,710


Stablänge l = 74,9 cm

a = 12 cm, T in s a = 23 cm, T in s a = 35cm, T in s a = 46cm, T in s a = 58cm, T in s a = 69cm, T in s
0,115 0,202 0,221 0,269 0,327 0,391
0,121 0,186 0,238 0,294 0,313 0,368
0,147 0,182 0,214 0,256 0,317 0,351
0,103 0,209 0,223 0,259 0,316 0,386
0,132 0,173 0,213 0,275 0,308 0,376

Daraus folgt für die Kippzeit und dem Winkel φ_0 :

a in cm φ_0 in ° α in ° <T> in s
12 80,78 9,22 0,132
23 72,12 17,88 0,190
35 62,14 27,86 0,222
46 52,11 37,89 0,271
58 39,25 50,75 0,316
69 22,89 67,11 0,374


Stablänge: l1=118,5 cm

a = 10 cm, T in s a = 30 cm, T in s a = 50cm, T in s a = 70cm, T in s a = 90cm, T in s a = 110cm, T in s
0,143 0,179 0,262 0,352 0,537 0,691
0,149 0,182 0,224 0,277 0,429 0,781
0,128 0,180 0,235 0,288 0,483 0,720
0,186 0,163 0,217 0,227 0,593 0,740
0,135 0,208 0,276 0,355 0,674 0,803

Aus den Messwerten bestimmen wir nun die Winkel φ_0 und die gemittelte Kippzeit <T>:

a in cm φ_0 in ° alpha in ° <T> in s
10 85,16 4,84 0,1482
30 75,34 14,66 0,1824
50 65,04 24,96 0,2428
70 53,79 36,21 0,2998
90 40,58 49,42 0,5432
110 21,83 68,11 0,7470

Die zweite Stablänge beträgt l2=81,6 cm.

a=10 cm, T in s a=30 cm, T in s a=50 cm, T in s a=70 cm, T in s
0,117 0,362 0,420 0,605
0,164 0,301 0,205 0,647
0,150 0,190 0,351 0,607
0,180 0,225 0,372 0,608
0,144 0,290 0,476 0,541

Auch hier berechnen wir die Winkel φ_0 und die gemittelte Kippzeit <T>:

a in cm φ in ° α in ° <T> in s
10 82,96 7,04 0,151
30 68,43 21, 57 0,2736
50 52,21 37,79 0,3648
70 30,92 59,08 0,6016

Unsicherheiten

Zur Berechnung der Unsicherheiten wird die Gaußsche-Fehlerfortpflanzung verwendet.

Die Unsicherheiten für die Längen a und l :

u(a) = 0,0005 m und u(l) = 0,0005 m. Die Unsicherheit folgt aus der Ungenauigkeit des Ablesens am Maßband.

Unsicherheit des Winkels φ_0 bzw. α :

Setzt man nun den Mittelwert von a ein, so ergibt sich für den langen Stab u(α_1) = 0,00065 Rad
Und für den kurzen Stab u(α_2) = 0,00112 Rad.
Da die Berechnung von φ_0 keine andere Unsicherheit beinhaltet als die von α, gilt u(φ_0_1) = 0,00065 Rad und u(φ_0_2) = 0,00112 Rad.

Unsicherheit der Kippzeit T

Die Unsicherheit der Kippzeit lässt sich durch den Standardfehler der Messung ausdrücken. Dieser wird durch den Quotient der Standardabweichung und der Wurzel der Anzahl der Messungen berechnet.

l = 1,296 m <T> in s u(T) in s l = 0,749 m <T> in s u(T) in s
0,133 0,0102 0,124 0,007
0,145 0,004 0,190 0,007
0,280 0,004 0,222 0,004
0,362 0,006 0,271 0,007
0,511 0,005 0,316 0,003
0,710 0,008 0,374 0,007


l = 1,185 m <T> in s u(T) in s l = 0,816 m <T> in s u(T) in s
0,1485 0,0090 0,151 0,0105
0,1824 0,0072 0,2736 0,0302
0,2428 0,0113 0,3648 0,0454
0,2998 0,0242 0,6016 0,0171
0,5432 0,0426 - -
0,7470 0,0203 - -

Vergleich von Simulation und Messung

Es handelt sich hierbei um den Stab der Länge 1,296 m.

Winkel phi_0 in rad Fallzeit T in s (Messung) Fallzeit T in s (Simulation) Abweichung in s
1,42 0,133 0,163 0,030
1,26 0,145 0,237 0,092
1,089 0,280 0,303 0,023
0,91 0,362 0,371 0,009
0,69 0,511 0,462 0,049
0,39 0,710 0,635 0,075


Der Stab der Länge 0,749 m:

phi_0 in rad Fallzeit T in s (Messung) Fallzeit T in s (Simulation) Abweichung in s
1,41 0,132 0,128 0,005
1,26 0,190 0,180 0,010
1,085 0,222 0,232 0,010
0,91 0,271 0,281 0,010
0,69 0,316 0,351 0,035
0,40 0,374 0,477 0,103


Stablänge l1=1,185 m

phi_0 in rad Fallzeit T in s (Messung) Fallzeit T in s (Simulation) Abweichung in s
1,49 0,1482 0,113 0,0352
1,31 0,1824 0,207 0,0246
1,14 0,2428 0,272 0,0292
0,94 0,2998 0,343 0,0432
0,71 0,5432 0,433 0,1102
0,38 0,7470 0,615 0,132


Stablänge l2=0,816 m

phi_0 in rad Fallzeit T in s (Messung) Fallzeit T in s (Simulation) Abweichung in s
1,45 0,151 0,115 0,036
1,2 0,2736 0,207 0,0666
0,91 0,3648 0,294 0,0708
0,54 0,6016 0,426 0,1756

Einfluss von Luftwiderstand

Stablänge l = 0,749 m

φ_0 = 80,78°, T in s φ_0 = 72,12°, T in s φ_0 = 62,14°, T in s φ_0 =52,11°, T in s φ_0 = 39,25°, T in s φ_0 = 22,89°, T in s
0,214 0,275 0,285 0,376 0,406 0,546
0,195 0,257 0,323 0,398 0,439 0,552
0,153 0,223 0,318 0,383 0,434 0,526
0,176 0,252 0,346 0,322 0,434 0,549
0,196 0,226 0,295 0,324 0,409 0,522

Stablänge: l = 81,6 cm

φ_0 = 82,96°, T in s φ_0 = 68,43°, T in s φ_0 = 52,21°, T in s φ_0 = 30,92°, T in s
0,319 0,395 0,505 0,617
0,253 0,439 0,524 0,503
0,102 0,302 0,491 0,625
0,132 0,295 0,524 0,629
0,206 0,365 0,509 0,703
Unsicherheiten:
l = 0,749 m <T> in s u(T) in s l = 0,816 m <T> in s u(T) in s
0,187 0,0104 0,2024 0,0395
0,245 0,010 0,3592 0,0275
0,313 0,0108 0,5106 0,0062
0,361 0,00158 0,6154 0,0321
0,424 0,007 - -
0,539 0,006 - -
Unterschiede
l = 0,749 m <T> in s (mit Pappe) <T> in s (normale Messung) Abweichung in s
0,187 0,132 0,055
0,245 0,190 0,055
0,313 0,222 0,091
0,361 0,271 0,090
0,424 0,316 0,108
0,539 0,374 0,165
l = 0,816 m <T> in s (mit Pappe) <T> in s (normale Messung) Abweichung in s
0,2024 0,1510 0,0514
0,3592 0,2736 0,0856
0,5106 0,3648 0,1458
0,6154 0,6016 0,0138
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