Der Versuch wurde durchgeführt von: Malte Saathoff und Konstantin Schremmer
Die Wiki-Seite wurde angelegt am: 19 December 2020 13:01

Beschreibung der Bewegung: Der Anteil, der Gewichtskraft, der senkrecht auf dem Besen steht, sorgt dafür, dass auf den kippenden Besen ein Drehmoment wirkt. Dieses nimmt je nach Postition des Besens noch zu. Das heißt, dass Fallbewegung des Besens mit voranschreitendem Winkel immer stärker (winkel-)beschleunigt wird. Somit wird die Winkelgeschwindigkeit und damit der Drehimpuls auch immer größer. Bis der Besen mit seiner Maximalwinkelgeschwindigkeit aufschlägt.

Man kann ziemlich schnell Mathematisch begründen, warum die Fallzeit unabhängig von der Masse ist. Das Dehrmoment, welches auf den Stab wirkt, ist:

$$D=m\cdot g\cdot sin(\phi)\cdot\frac{L}{2}$$

Wir rechen dabei mit $L/2$, da sich dort der Schwerpunkt des Stabes befindet. Das Drehmoment lässt sich aber auch mit dem Trägheitsmoment errechnen, dieses kann man einfach nachschlagen.

$$D=I\cdot\ddot\omega=\frac{1}{3}\cdot m\cdot L^2\cdot\ddot\phi $$

Setzt man diese beiden Drehmomente gleich, kürzen sich die Massen heraus und man erhält die uns bekannte Winkelbeschleungiung:

$$\ddot\phi=\frac{3g}{2L}\cdot sin(\phi)$$

Da diese masseunabhängig ist, muss auch die Fallzeit masseunabhängig sein. Stattdessen sind die Variablen, auf die wir Einfluss nehmen können, die Stablänge und der Anfangswinkel.

Aus dem Alltag wissen wir, dass je kleiner der Starwinkel ist, desto länger ist die Kippzeit. Auch das lässt sich wunderbar mit der oben ermittelten Winkelbeschleunigung $\ddot\phi$ begründen. Verkleinert man den Starwinkel $\phi$, so ist auch die Anfangsbeschleunigugn geringer, da $sin(\phi)$ auch geringer wird. Es dauert also länger, bis der Stab eine große Geschwindikgeit erreicht. Zudem vergrößert sich ja auch der Weg, den der Stab bis zum Aufprall zurücklegen muss. Aus diesen beiden Gründen wird die Fallzeit größer.

Wenn man nun die Stablänge vergrößert, wird die Winkelbeschleunigung $\ddot\phi$ kleiner, da die Länge im Nenner steht. Andersherum werden Stäbe mit einer kleineren Länge schneller beschleunigt. Somit ist die Fallzeit T bei langen Stäben größer als bei kleinen.

Wie sollte also ein Jonglier-Besenstil beschaffen sein?

Wir wollen die Fallzeit vergrößern, damit man den Stab besser kontrollieren kann. Also sollte man möglichst einen langen Stab nehmen, wenn man ihn auf der Hand balancieren möchte.

Wir haben unsere Prozedur in Mathematca geschrieben. Sie sieht so aus:

UnsereSchöneProzedur.pl

c[l_] := Sqrt[2/3*l/9.81]
 
schritt[{s0_, v0_}, l_, dt_] :=
 {s0 + v0*dt, v0 + Sin[s0]/c[l]^2*dt}
 
Zeit[s0_, v0_, l_, dt_] :=
 For[n = 0, Nest[schritt[#, l, dt] &, {s0, v0}, n].{1, 0} < Pi/2, n++,
   Print[n]]

Beispiel:

Zeit[0.2,0,1,1/100]
1
2
3
...
74

Dabei steht s0 für den Anfangswinkel und v0 für die Anfangsgeschwindigkeit. Die Länge das Stabes l gibt man ebenfalls einfach dazu ein. Die Länge der Zeitschritte kann man mit der eingabe bei dt festlegen. Die Ausgabe ist aufgrund des Printbefehls etwas lang, aber wir haben trotz langer Suche irgendwie keine schönere Möglichkeit gefunden. Man schaut sich dann einfach den größten Wert an, dieser schien immer gut zu passen.

Hier sieht man nun also das Programm mit seiner Ausgabe. In diesem Fall haben wir einen Stablänge von l=1,45m gewählt. Der Ausgangswinkel betrüg 1,2rad. Die Anfangsgeschwindigkeit ist null. Die Zeitschrittgröße beträgt dt=1/100s.

Wir haben beide Messungen durchgeführt, daher haben wir auch zwei Versuchaufbauten. In der Auswertung nutzen wir beide Aufbauten.

Bei der ersten wurde zuerst ein Zollstock mit einem Geodreieck in einem bestimmten Winkel ausgerichtet. An diesem Winkel wurde dann der Stab ausgrichtet und fallen gelassen. Dadurch, dass das Experiment auf Teppichboden durchgeführt wurde, konnte der Besen nicht wegrutschen. Auf dem Boden lag das Handy mit der Phyphoxx-App, die zu Beginn des Fallens durch ein Fingeschnippsen ausgelöst wurde.

In diesem Messaufbau haben wir die Fallzeit des Stabes mit einem Meter Länge gemessen.

Hier ist die Messtabelle für den Stab mit einer Länge von l=100cm

Hier sieht man den zweiten Messaufbau. Zuerst wurde dafür gesorgt, dass der Besen einen geraden Untergund hat. Dann wurde das Lot an die Hauswand eingezeichnet, sowie eine Waagerechte bei einer Höhe von 1m. Mithilfe des Tangens habe ich dann für jeden Winkel die passende Gegenkathete auf der Waagerechten eingezeichnet. Damit konnte ich dann Hilfsstriche für die Winkel einzeichnen. Zuerst genau mit Bleisift, dann zur Veranschaulichung mit Kreide. Das Handy mit der PhyPhox App lag auf dem Boden. Ich habe die Messung mit einem Schnippsen ausgelöst. Ich habe zwei Stäbe fallen gelassen, einer war l_1=199,5cm lang, der andere l_2=137cm lang.

Anmerkung zu den Bildern: Der Zollstock und die Steine am Ende der Bretter sorgen dafür, dass der Stab nicht verrutscht und dass der Winkel immer von der richtigen Stelle aus eingestellt wird. Zur “Winkerleinstellung”; Ich habe den Stab so fallen lassen, dass er nicht gegen die Mauer schlägt und gebremst wird. Ich habe den Winkel also über Peilung mit einem Auge eingestellt, da der Stab etwas entfernt von der Mauer war. Das hat ziemlich gut funktioniert.

Hier ist die Messtabelle für den Stab mit einer Länge von l_1=199.5cm

Die Werte scheinen immer relativ nahe bei einander zu liegen.

Jetzt kommt die Tabelle für den zweiten Stab mit l_2=137cm

Die Lufwiderstandsmessung haben wir seperat mit einem Wischmopp mit einer Länge von l=130cm durchgeführt. Hier sieht man die Messwerte ohne erhöhten Luftwiderstand und einmal mit einer DIN A4 großen Pappe an der Spitze um den Einfluss der Luftreibung zu untersuchen.

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