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a_mechanik:harmonischer_oszillator [18 December 2016 14:54] – ruben.boesche@t-online.dea_mechanik:harmonischer_oszillator [20 December 2016 07:24] (current) – Bild: Kräfte am Fadenpendel ruben.boesche@t-online.de
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 ====Differentialgleichung des Harmonischen Oszillators==== ====Differentialgleichung des Harmonischen Oszillators====
-Die Bewegung eines Harmonischen Oszillators, also die Bewegung des Teilchens, welches Schwingungen vollführt, wird durch die Differentialgleichung (Bewegungsgleichung) $\ddot{\mathbf{x}}=-\omega \displaystyle x^{\displaystyle 2} $beschrieben.+Die Bewegung eines Harmonischen Oszillators, also die Bewegung des Teilchens, welches Schwingungen vollführt, wird durch die Differentialgleichung (Bewegungsgleichung) $\ddot{\mathbf{x}}=-\omega \displaystyle x^{\displaystyle 2}$ ((Ein Punkt über einer Größe steht für die zeitliche Ableitung. Entsprechend stehen zwei Punkte für die zweite zeitliche Ableitung.))beschrieben.
  
 Ein wichtiges Beispiel für einen harmonischen Oszilator ist das Fadenpendel. Ein wichtiges Beispiel für einen harmonischen Oszilator ist das Fadenpendel.
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 [{{ :a_mechanik:pendelschwingung.gif?direct&200 |Animation: Pendelschwingung}}] [{{ :a_mechanik:pendelschwingung.gif?direct&200 |Animation: Pendelschwingung}}]
 ==== Mathematisches Pendel ==== ==== Mathematisches Pendel ====
 +<WRAP group>
 +<WRAP 20% right>
 +{{ :a_mechanik:kraefte_am_fadenpendel_gross.svg|Kräfte am Fadenpendel}} 
 +Kräfte am Fadenpendel
 +</WRAP>
  
 Das mathematische Pendel beschreibt die Schwignung eines solchen Körpers mithilfe einiger Vereinfachungen: Das mathematische Pendel beschreibt die Schwignung eines solchen Körpers mithilfe einiger Vereinfachungen:
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 Die Differentialgleichung für das mathematische Pendel ergibt sich aus der Rückstellkraft. Die Differentialgleichung für das mathematische Pendel ergibt sich aus der Rückstellkraft.
 Einerseits erhält man die Rückstellkraft aus der Gravitationskraft (siehe Abbildung): Einerseits erhält man die Rückstellkraft aus der Gravitationskraft (siehe Abbildung):
-$$F_R=-m \cdot g \cdot sin(\phi(t))$$+$$F_R=-m \cdot g \cdot \sin(\phi(t))$$
 Andererseits kann man die Rückstellkraft auch über die (normale) Kraftgleichung $F=m\cdot a$(vgl. [[a_mechanik:newton_sche_axiome|Newtonsche Axiome]]) und mit $ a_{tan} = l \cdot \ddot{\phi}(t)$: Andererseits kann man die Rückstellkraft auch über die (normale) Kraftgleichung $F=m\cdot a$(vgl. [[a_mechanik:newton_sche_axiome|Newtonsche Axiome]]) und mit $ a_{tan} = l \cdot \ddot{\phi}(t)$:
 \begin{eqnarray*} \begin{eqnarray*}
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 \end{eqnarray*} \end{eqnarray*}
 Insgesamt erhält man also: Insgesamt erhält man also:
-$$-m \cdot g \cdot sin(\phi(t)) = m \cdot \ddot{\phi}(t)$$+$$-m \cdot g \cdot \sin(\phi(t)) = m \cdot \ddot{\phi}(t)$$
  
 Nun nimmt man als Näherung an, dass für kleine Winkel $\phi$ gilt ((Anmerkung: Man kann die Differentialgleichung auch exakt lösen, jedoch wird die Lösung dadurch deutlich komplizierter. Für die meisten Anwendungen reicht allerdings die Lösung mithilfe der Näherung vollkommen aus.)): Nun nimmt man als Näherung an, dass für kleine Winkel $\phi$ gilt ((Anmerkung: Man kann die Differentialgleichung auch exakt lösen, jedoch wird die Lösung dadurch deutlich komplizierter. Für die meisten Anwendungen reicht allerdings die Lösung mithilfe der Näherung vollkommen aus.)):
-$$\phi \approx sin(\phi)$$+$$\phi \approx \sin(\phi)$$
  
 Damit erhält man die Differentialgleichung Damit erhält man die Differentialgleichung
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 mit der Lösung ++++ mit der Lösung ++++
-$$\phi(t) = \phi_{max} \cdot sin(\sqrt{\frac{g}{l}}\cdot t + \phi_0).$$+$$\phi(t) = \phi_{max} \cdot \sin(\sqrt{\frac{g}{l}}\cdot t + \phi_0).$$
 Hierbei bezeichnet $\phi_{max}$ die Winkelamplitude und $\phi_0$ die Phasenverschiebung (also den Startwinkel bei $t=0$). Aus der Lösung kann man außerdem die Winkelfrequenz $\omega$ ablesen und daraus die Periodendauer $T$ bestimmen:  Hierbei bezeichnet $\phi_{max}$ die Winkelamplitude und $\phi_0$ die Phasenverschiebung (also den Startwinkel bei $t=0$). Aus der Lösung kann man außerdem die Winkelfrequenz $\omega$ ablesen und daraus die Periodendauer $T$ bestimmen: 
 \begin{eqnarray*} \begin{eqnarray*}
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 $$F=k \cdot y(t) = - m \cdot \ddot{y}(t).$$ $$F=k \cdot y(t) = - m \cdot \ddot{y}(t).$$
 Dabei ist $k$ die Federkonstante (Erinnerung: die Kraft hängt linear von der Auslenkung ab), $m$ ist die Masse und $y$ ist die Auslenkung parallel zur Kraft. Die Lösung dieser Differentialgleichung ist gegeben durch Dabei ist $k$ die Federkonstante (Erinnerung: die Kraft hängt linear von der Auslenkung ab), $m$ ist die Masse und $y$ ist die Auslenkung parallel zur Kraft. Die Lösung dieser Differentialgleichung ist gegeben durch
-$$y(t) = y_{max} \cdot sin(\omega_0 \cdot t)$$ +$$y(t) = y_{max} \cdot \sin(\omega_0 \cdot t)$$ 
-,wobei $\omega_0 = \sqrt{\frac{D}{m}}$ die Eigenfrequenz und $y_{max}$ die Amplitude sind.+, wobei $\omega_0 = \sqrt{\frac{D}{m}}$ die Eigenfrequenz und $y_{max}$ die Amplitude sind. 
 + 
 +====Elektrischer Schwingkreis==== 
 +[{{ :a_mechanik:2000px-schwingkreis.svg.png?direct&200|Schwingkreis. \\ C: Kondensator \\ L: Spule}}] 
 +Der elektrische Schwingkreis ist eine elektrische Schaltung, welche aus Spule und Kondensator besteht. Hierbei schwingt die Energie zwischen dem elektrischen Feld des Kondensators und dem magnetischen Feld der Spule. 
 +Die Diffenrentialgleichung dieses Systems ist gegeben durch 
 +$$\frac{1}{C} q(t) = -L \cdot \ddot{q}(t).$$ 
 +Dabei ist die Ladung $q(t)$ abhängig von der Zeit, $C$ ist die Kapazität des Kondensators und $L$ ist die Induktivität der Spule. 
 +Die Lösung ist 
 +$$q(t) = C \cdot U_0 \cdot \cos( \sqrt{\frac{1}{CL}} \cdot t)$$ 
 +, wobei $\omega = \sqrt{\frac{1}{CL}}$ die Eigenfrequenz und $U_0$ die Maximalspannung am Kondensators ist. 
 +Daraus lässt sich auch die Lösung für die Stromstärke ermitteln durch 
 +$$I(t) = -\dot{q}(t) = C \cdot \omega \cdot U_0 \cdot \sin(\omega\cdot t).$$ 
 +Durch das Hinzufügen eines Ohmschen Widerstandes R wird der Schwingkreis zu einem gedämpften Schwingkreis und die Differentialgleichung lässt sich analog zu der einer gedämpften Schwingung lösen. Sie ist gegeben durch  
 +$$\frac{1}{C} q(t) + R \cdot \dot{q}(t) = -L \cdot \ddot{q}(t).$$