Fehleranalyse

Das Grundpraktikum hat die Absicht, den Stoff zu vertiefen und praktische Erfahrungen im Umgang mit typischen Messgeräten zu sammeln. Ein wesentlicher Teil umfasst die Aufzeichnung der aus dem Experiment gewonnenen Daten und deren Auswertung. Bei den Messungen einer physikalischen Große $x$ treten grundsätzlich(!) Fehler auf, die unterschiedlicher Natur sein können. Man unterscheidet dabei zwischen statistischen und systematischen Fehlern. Man spricht auch von Fehlern des Typs A und B. Auf Grund dieser auftretenden Fehler, kann das Resultat solcher Messungen immer nur in der Form: $$x=\bar{x}\pm\Delta x \quad \mathrm{mit} \quad \Delta x = |\Delta x_{sys}| + |\Delta x_{stat}|$$

Wird eine Größe berechnet, welche sich aus mehreren fehlerbehafteten Größen zusammensetzt spielt Fehlerfortpflanzung eine Rolle.

Systematische Fehler sind meistens schon im Versuchsaufbau zu begründen und zeichnen sich bei mehrmaliger Wiederholung unter gleichen Bedingungen z.B. durch einen konstanten Wert aus. Typische systematische Fehler sind unvollkommende Geräte (z.B. Spannungsversorgung), die Rückwirkung eines Messgerätes oder der Versuchsdurchführende selbst. Gerade im Anfängerpraktikum werden häufig aus mangelnder Objektivität mit unzureichenden Daten Resultate konstruiert, die der Experimentator gerne hätte.

Nach dem Ausschluss aller systematischen Fehler, treten weitere häufig nicht präzise Ergründbare statistische Fehler auf. Zu diesen Fehlertypen werden z.B. unkontrollierbare Signalschwankungen, das Signalrauschen oder Temperaturschwankungen gezählt. Statistische Fehler lassen sich kaum vermeiden und machen unsere Messungen somit unsicher. Diese Unsicherheiten lassen sich jedoch durch wiederholtes Messen reduzieren

Da es bei einer einzigen Messung unmöglich ist eine Aussage über die Zuverlässigkeit der Messung zu treffen, werden mehrere Messungen benötigt. Wir erhalten die Messungen $(x_1, x_2, ..., x_n)$ bezüglich unserer Messgröße $x$. Für unendlich viele Messwerte würden diese Gaußverteilt vorliegen, da wir aber nur eine begrenzte Anzahl von Messungenn durchführen können, müssen wir ein paar Hilfsmittel benutzen, um wichtige Größen schätzen zu können:

Um den Erwartungswert zu berechnen benutzen wir das arithmetische Mittel: $$ \bar{X_n}=\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n x_i $$

Wir benutzen hier die empirische Varianz $$ S_n^2=\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^n (x_i-\bar{X_n})^2 $$

Aus der vorher berechneten Varianz, kann die Standartabweichung erechnet werden. Sie ist ein Maß für die Abweichung des Messwertes $x_i$ vom Mittelwert $\bar{X_n}$ $$S_n=\sqrt{S_n^2}=\sqrt{\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^n (x_i-\bar{X_n})^2}$$

Aus der Standartabweichung erhält man auch die mittlere Abweichung des Mittelwertes $X_n$. Sie lässt leicht erkennen, dass wir für eine Verdopplung der Genauigkeit die vierfache Anzahl von Messwerten brauchen $$ S_m=\frac{S_n}{\sqrt{n}}=\sqrt{\frac{1}{n(n-1)}\sum_{i=1}^n (x_i-\bar{X_n})^2} $$