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a_mechanik:drehschwingungen:gruppenseiten:gruppe313:start [17 January 2021 13:37] – maltesaathoff | a_mechanik:drehschwingungen:gruppenseiten:gruppe313:start [22 January 2021 12:50] (current) – [Drehschwingungen - Gruppe 313] maltesaathoff | ||
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Line 3: | Line 3: | ||
===Theoretische Vorüberlegungen/ | ===Theoretische Vorüberlegungen/ | ||
+ | ===Periodendauer herleiten=== | ||
+ | Wir sollen aus der Kerisfrequenz die Schwingungsdauer T berechnen. Wir wissen um den Zusammenhnag $T=\frac{2\pi}{\omega}$. Das können wir auch so schreiben: | ||
+ | |||
+ | $$T=2\pi\cdot\sqrt{\frac{I}{D_R}}=\sqrt{\frac{8\pi\cdot I\cdot L}{G\cdot r^4}}$$ | ||
+ | |||
+ | Diesen Zusammenhang nutzen wir für den Rest der Auswertung. | ||
+ | |||
+ | ==Aufgabe 1== | ||
+ | Wir haben folgende Differentialgleichung gegeben: | ||
+ | |||
+ | $$\ddot\phi=-\frac{D_R}{I}\cdot\phi=-\omega^2\cdot\phi$$ | ||
+ | |||
+ | Das ist die Differentialgleichung zum harmonischen Oszillator. Für sie kennen wir die Läsung: | ||
+ | |||
+ | $$\phi(t)=A\cdot sin(\omega t)+B\cdot cos(\omega t)$$ | ||
+ | |||
+ | Um auf die gewünschte Lösung zu bekommen, brauchen wir folgende Anfangsbedingung: | ||
+ | |||
+ | $$\phi(0)=\phi_0\longrightarrow\phi(0)=A\cdot sin(0)+B\cdot cos(0)=\phi_0\longrightarrow B=\phi_0$$ | ||
+ | |||
+ | Das ist aber erst die halbe Wahrheit. Für unsere gewünschte Lösung muss der erste Term wegfallen, also $A=0$ gesetzt werden. Das verwirklichen wir, indem wir den nulldurchgang zeitlich festlegen. Es muss gelten $\phi(n\cdot T/4)=0$. Mit dem Zusammenhang $\omega=\frac{2\pi}{T}$ erhalten wir dann: | ||
+ | |||
+ | $$\phi\left(n\cdot\frac{T}{4}\right)=A\cdot sin\left(n\cdot\frac{\pi}{2}\right)+\phi_0\cdot cos\left(n\cdot\frac{\pi}{2}\right)=0\longrightarrow A=0$$ | ||
+ | |||
+ | Das gilt eben nur für ungerade ganzzahlige n. Diese Bedingung stellt den Nulldurchgang des Schwingkörpers dar. Nach einem Viertel der Periodendauer, | ||
+ | |||
+ | $$\phi(0)=\phi_0$$ | ||
+ | $$\phi\left(n\cdot\frac{T}{4}\right)=0$$ | ||
+ | $$n=0, | ||
+ | |||
+ | ==Aufgabe 2== | ||
+ | Nun sollen wir die Enheiten bestimmen: | ||
+ | |||
+ | $$[D]=\frac{kg\cdot m^2}{s^2}=N\cdot m$$ | ||
+ | |||
+ | $$[D_R]=\frac{kg\cdot m^2}{s^2}\cdot\frac{1}{rad}=\frac{N m}{rad}$$ | ||
+ | |||
+ | $$[I]=kg\cdot m^2\cdot\frac{1}{rad}=\frac{N m s^2}{rad}$$ | ||
+ | |||
+ | $$[\phi]=rad$$ | ||
+ | |||
+ | ==Aufgabe 3== | ||
+ | |||
+ | Wir haben diese beiden Gleichungen: | ||
+ | |||
+ | $$\ddot\phi=-\frac{D_R}{I}\phi$$ | ||
+ | |||
+ | $$\phi(t)=\phi_0\cdot cos(\omega\cdot t)$$ | ||
+ | |||
+ | Nun setzten wir die zweite in die erste ein wir erhalten: | ||
+ | |||
+ | $$\frac{d^2}{dt^2}\left(\phi_0\cdot cos(\omega\cdot t)\right)=-\frac{D_R}{I}\cdot\phi_0\cdot cos(\omega\cdot t)$$ | ||
+ | |||
+ | Nun leiten wir also einfach den Ausdruck auf der linken Seite zweimal ab. Dabei beachten wir $\frac{d^2}{dx^2}cos(k\cdot x)=\omega^2\cdot -cos(kx)$. Das folgt aus der Kettenregel. Somit erhalten wir für unsere explizite Gleichung: | ||
+ | |||
+ | $$\omega^2\cdot\phi_0\cdot -cos(\omega\cdot t)=-\frac{D_R}{I}\cdot\phi_0\cdot cos(\omega\cdot t)$$ | ||
+ | |||
+ | Es lässt sich nun wunderbar das $-cos(\omega\cdot t)\cdot \phi_0$ rauskürzen. | ||
+ | |||
+ | Dann erhalten wir : | ||
+ | |||
+ | $$\omega^2=\frac{D_R}{I}\longrightarrow\omega=\sqrt{\frac{D_R}{I}}$$ | ||
+ | |||
+ | So erhlaten wir die vorgegebene Beziehung für die Winkelgeschwindigkeit $\omega$. | ||
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+ | ==Aufgabe 4== | ||
+ | |||
+ | Wir kennen ja den Zusammenhang $D=I\cdot \ddot\omega$. Das Trägheitsmoment ist für viele Körper relativ einfach zu bestimmen. Um das Drehmoment D herauszubekommen, | ||
+ | ==Aufgabe 5== | ||
+ | |||
+ | Die Arbeit dW kann man auch so darstellen: | ||
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+ | $$dW=D\cdot d\phi$$ | ||
+ | |||
+ | Nun stellen wir die Arbei mit der Rotationsenergie gleich. $dW=dE_{rot}$, | ||
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+ | $$D\cdot d\phi=\frac{1}{2}\cdot I\cdot d\dot\phi^2 |\cdot\frac{1}{dt}$$ | ||
+ | $$D\cdot \dot\phi=\frac{1}{2}\cdot I\cdot 2\cdot \dot\phi\cdot\ddot\phi$$ | ||
+ | |||
+ | Damit erhalten wir also: | ||
+ | |||
+ | $$D=I\cdot\ddot\phi$$ | ||
+ | |||
+ | Wenn man die Beziehung $D=-D_R\cdot\phi$ kennt, erhlt man nun ganz einfach die zu zeigende Gleichung(2): | ||
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+ | $$-D_R\cdot\phi=I\cdot\ddot\phi$$ | ||
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+ | ==Aufgabe 6== | ||
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+ | Das Trägheitsmoment eines starren Körpers ist keine determinierte Körpereigenschaft. Es hängt auch von der Rotationsachse ab. Wenn man das Trägheitsmoment für eine Rotationsachse, | ||
+ | |||
+ | $$I_2=I_1+m\cdot d^2$$ | ||
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+ | Dabei ist $I_2$ das neu zu errechnenden Trägheitsmoment. $I_1$ ist das bekannte Trägheitsmoemnt, | ||
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+ | Kommen wir zu Herleitung: | ||
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+ | Wir setzten den Schwerpunkt in den Ursprung unseres Koordinatensystems. Unsere Rotationsachsen sehen wir als Parallel zur z-Achse an. Wenn wir nun eine Rotationsachse durch den Ursprung legen würden, sähe das Trägheitsmoment so aus: | ||
+ | |||
+ | $$I_1=\sum\limits_{i}=m_i(x_i^2+y_i^2)$$ | ||
+ | |||
+ | Nun wollen wir jedoch die Rotationsachs nicht durch den Ursprung legen, sondern einfach etwas verschieben. Die Rotaionsachse bleibt jedoch weiterhin parallel zur z-Achse. Wir würden nun diese Formel erhalten: | ||
+ | |||
+ | $$I_2=\sum\limits_{i}m_i((x_i-x_n)^2+(y_i-y_n)^2)$$ | ||
+ | |||
+ | Das kann man nun natürlich ausmultplizieren: | ||
+ | |||
+ | $$I_2=\sum\limits_{i}m_i(x_i^2+y_i^2)-2x_n\sum\limits_{i}m_ix_i-2y_n\sum\limits_{i}m_iy_i+(x_n^2+y_n^2)\sum\limits_{i}m_i$$ | ||
+ | |||
+ | |||
+ | Da wir den Schwerpunkt in den Ursprung gelegt haben wir der zweite und dritte Term einfach zu null. Der erste Term ist nichts anderes, als das Trägheitsoment, | ||
+ | |||
+ | $$I_2=I_1+d^2\cdot m$$ | ||
+ | |||
+ | ===Überpfrüfung des Trägheitsmoments=== | ||
+ | |||
+ | Wir haben das Trägheitsmoment für den Stab gegeben als: | ||
+ | |||
+ | $$I=\frac{1}{4}m\cdot R^2+\frac{1}{12}m\cdot l^2$$ | ||
+ | |||
+ | Wir sollten das jetzt überprüfen. Ein experimentelles Überprüfen haben wir jetzt mal ausgeschlossen, | ||
+ | |||
+ | Wir wissen um diesen Zusammenhang: | ||
+ | |||
+ | $$I_{y, | ||
+ | |||
+ | Wir kennen $I_z=\frac{1}{2}MR^2$ und erhalten somit: | ||
+ | |||
+ | $$I_{x, | ||
+ | |||
+ | Wir wissen ja zudem dass $\delta=\frac{M}{\pi\cdot R^2\cdot l}$ gilt. Deshalb kürzt sich einiges raus und wir erhalten: | ||
+ | |||
+ | $$I_{x, | ||
+ | |||
+ | Das ist ja genau das gesuchte Trägheitsmoment. Wir haben es also überprüft. | ||
+ | |||
+ | ====Versuchsaufbau und Durchführung=== | ||
+ | |||
+ | **Aufg. 1 Torsionsmodul des Drahtes** | ||
+ | |||
+ | Nun messen wir die Schwingungsdauer für jeweils 5 Torsionschwingungen eines 24,8cm langen, 6mm dicken und 55g schweren Stabs. Um die Torsionsaufhängungen zu varrieren, stellen wir unterschiedliche Längen der E-Gitarrensaiten ein. 6 Gitarrensaiten sind 5mm dick. Das enstpricht einem Durchmesser von 0,8333mm und somit einem Radius von 0,41666mm pro Saite. | ||
+ | |||
+ | ^ Länge Saite in cm ^ 5*T in s | T in s | | ||
+ | | 69 | 23,47 | ||
+ | | 62,3 | 22,18 | 4,436 | | ||
+ | | 52,9 | 20,84 | 4,168 | | ||
+ | | 38,7 | 18,35 | 3,67 | | ||
+ | | 27,7 | 15,92 | 3,184 | | ||
+ | |||
+ | Als Torsionsaufhängung nehmen wir jetzt einen Bindfaden (Durchmesser 5 Wicklungen= 1,7cm; 1 Wicklung= 0,34cm) mit dem gleichen Stab wie zuvor. Diesmal messen wir nur für 4 komplette Torsionsschwingungen die Zeit, da der Draht scheinbar deutlich " | ||
+ | ^ Länge in cm ^ 4*T in s | T in s | | ||
+ | | 22,3 | 62,68 | 15,67 | | ||
+ | | 24,0 | 65,54 | 16,38 | | ||
+ | | 18,6 | 56,49 | 14,12 | | ||
+ | | 14,9 | 53,34 | 13,33 | | ||
+ | | 9,5 | 43,74 | 10,94 | | ||
+ | |||
+ | **Aufg. 2 Trägheitsmoment** | ||
+ | |||
+ | Nun tauschen wir den Stab gegen einen 209g schweren Topfdeckel aus und erhalten mit dem Draht als Torsionsmodul jetzt folgende Messwerte: | ||
+ | |||
+ | ^ Länge in cm ^ 5*T in s | T in s | | ||
+ | | 64,6 | 50,07 | 10, | ||
+ | | 44,6 | 41,92 | 8,384 | | ||
+ | | 37 | 37,89 | 7,578 | | ||
+ | | 29,5 | 34,75 | 6,95 | | ||
+ | |||
+ | Mit einem 152g schweren, 27,4cm breiten und 24,5cm hohen Eimer als Geometrie und dem Draht erhalten wir folgende Messwerte: | ||
+ | |||
+ | ^ Länge in cm ^ 5*T in s | T in s | | ||
+ | | 41,3 | 62,50 | 12,5 | | ||
+ | | 37,3 | 58,92 | 11,78 | | ||
+ | | 19,7 | 50,6 | 10,12 | | ||
+ | | 8,8 | 47,24 | 9,45 | | ||
+ | | 27,2 | 54,86 | 10,97 | |