Wir sollen aus der Kerisfrequenz die Schwingungsdauer T berechnen. Wir wissen um den Zusammenhnag $T=\frac{2\pi}{\omega}$. Das können wir auch so schreiben:

$$T=2\pi\cdot\sqrt{\frac{I}{D_R}}=\sqrt{\frac{8\pi\cdot I\cdot L}{G\cdot r^4}}$$

Diesen Zusammenhang nutzen wir für den Rest der Auswertung.

Wir haben folgende Differentialgleichung gegeben:

$$\ddot\phi=-\frac{D_R}{I}\cdot\phi=-\omega^2\cdot\phi$$

Das ist die Differentialgleichung zum harmonischen Oszillator. Für sie kennen wir die Läsung:

$$\phi(t)=A\cdot sin(\omega t)+B\cdot cos(\omega t)$$

Um auf die gewünschte Lösung zu bekommen, brauchen wir folgende Anfangsbedingung:

$$\phi(0)=\phi_0\longrightarrow\phi(0)=A\cdot sin(0)+B\cdot cos(0)=\phi_0\longrightarrow B=\phi_0$$

Das ist aber erst die halbe Wahrheit. Für unsere gewünschte Lösung muss der erste Term wegfallen, also $A=0$ gesetzt werden. Das verwirklichen wir, indem wir den nulldurchgang zeitlich festlegen. Es muss gelten $\phi(n\cdot T/4)=0$. Mit dem Zusammenhang $\omega=\frac{2\pi}{T}$ erhalten wir dann:

$$\phi\left(n\cdot\frac{T}{4}\right)=A\cdot sin\left(n\cdot\frac{\pi}{2}\right)+\phi_0\cdot cos\left(n\cdot\frac{\pi}{2}\right)=0\longrightarrow A=0$$

Das gilt eben nur für ungerade ganzzahlige n. Diese Bedingung stellt den Nulldurchgang des Schwingkörpers dar. Nach einem Viertel der Periodendauer, seht das Pendel bei null. Dann läuft es weiter bis zum Maximum ($t=\frac{T}{2}$), kehrt um und macht den nächsten Nulldurchgang bei $t=\frac{3T}{4}$. Das geht dann immer so weiter. Zusammenfassend brauchen wir also diese zwei Bedingugungen, um auf die Lösung zu kommen:

$$\phi(0)=\phi_0$$ $$\phi\left(n\cdot\frac{T}{4}\right)=0$$ $$n=0,1,3,5,... $$

Nun sollen wir die Enheiten bestimmen:

$$[D]=\frac{kg\cdot m^2}{s^2}=N\cdot m$$

$$[D_R]=\frac{kg\cdot m^2}{s^2}\cdot\frac{1}{rad}=\frac{N m}{rad}$$

$$[I]=kg\cdot m^2\cdot\frac{1}{rad}=\frac{N m s^2}{rad}$$

$$[\phi]=rad$$

Wir haben diese beiden Gleichungen:

$$\ddot\phi=-\frac{D_R}{I}\phi$$

$$\phi(t)=\phi_0\cdot cos(\omega\cdot t)$$

Nun setzten wir die zweite in die erste ein wir erhalten:

$$\frac{d^2}{dt^2}\left(\phi_0\cdot cos(\omega\cdot t)\right)=-\frac{D_R}{I}\cdot\phi_0\cdot cos(\omega\cdot t)$$

Nun leiten wir also einfach den Ausdruck auf der linken Seite zweimal ab. Dabei beachten wir $\frac{d^2}{dx^2}cos(k\cdot x)=\omega^2\cdot -cos(kx)$. Das folgt aus der Kettenregel. Somit erhalten wir für unsere explizite Gleichung:

$$\omega^2\cdot\phi_0\cdot -cos(\omega\cdot t)=-\frac{D_R}{I}\cdot\phi_0\cdot cos(\omega\cdot t)$$

Es lässt sich nun wunderbar das $-cos(\omega\cdot t)\cdot \phi_0$ rauskürzen.

Dann erhalten wir :

$$\omega^2=\frac{D_R}{I}\longrightarrow\omega=\sqrt{\frac{D_R}{I}}$$

So erhlaten wir die vorgegebene Beziehung für die Winkelgeschwindigkeit $\omega$.

Wir kennen ja den Zusammenhang $D=I\cdot \ddot\omega$. Das Trägheitsmoment ist für viele Körper relativ einfach zu bestimmen. Um das Drehmoment D herauszubekommen, muss man nun einfach die Winkelbschleunigung $\ddot\omega$ herausfinden. Dazu fällt uns ein Fersuchsaufbau ein, bei dem man ein Rad rotieren lässt und an makierten Punkten die Rotaionszeit mit einer Lichtschranke misst. Darüber kann man die Winkelgschwindigkeit messen. Diese kann man dann nach der Zeit auftragen. Die Steigung der Winkelgschwindigkeitskurve, ist dann die Winkelbschleunigung. Diese lässt sich über einen Fit whrscheinlich einfach bestimmen. So erhält man die Winkelbschleunigung $\ddot\omega$ und kann das Drehmoment bestimmen.

Die Arbeit dW kann man auch so darstellen:

$$dW=D\cdot d\phi$$

Nun stellen wir die Arbei mit der Rotationsenergie gleich. $dW=dE_{rot}$, so erhalten wir:

$$D\cdot d\phi=\frac{1}{2}\cdot I\cdot d\dot\phi^2 |\cdot\frac{1}{dt}$$ $$D\cdot \dot\phi=\frac{1}{2}\cdot I\cdot 2\cdot \dot\phi\cdot\ddot\phi$$

Damit erhalten wir also:

$$D=I\cdot\ddot\phi$$

Wenn man die Beziehung $D=-D_R\cdot\phi$ kennt, erhlt man nun ganz einfach die zu zeigende Gleichung(2):

$$-D_R\cdot\phi=I\cdot\ddot\phi$$

Das Trägheitsmoment eines starren Körpers ist keine determinierte Körpereigenschaft. Es hängt auch von der Rotationsachse ab. Wenn man das Trägheitsmoment für eine Rotationsachse, die durch den Schwerpunkt geht, weiß, kann man nun mithilfe des Steinerschen Satzes die Trägheitsmoemnte für zu der Grundachse parallelen Rotationsachsen berechnen. Mathematisch ausgedrückt, lautet er so:

$$I_2=I_1+m\cdot d^2$$

Dabei ist $I_2$ das neu zu errechnenden Trägheitsmoment. $I_1$ ist das bekannte Trägheitsmoemnt, um die Schwerpunktsachse. m ist die Masse des rotiernden Körpers und d ist der Abstand der neuen Rotationsachse zu der Ausgangsrotationsachse, die durch den Schwerpunkt geht.

Kommen wir zu Herleitung:

Wir setzten den Schwerpunkt in den Ursprung unseres Koordinatensystems. Unsere Rotationsachsen sehen wir als Parallel zur z-Achse an. Wenn wir nun eine Rotationsachse durch den Ursprung legen würden, sähe das Trägheitsmoment so aus:

$$I_1=\sum\limits_{i}=m_i(x_i^2+y_i^2)$$

Nun wollen wir jedoch die Rotationsachs nicht durch den Ursprung legen, sondern einfach etwas verschieben. Die Rotaionsachse bleibt jedoch weiterhin parallel zur z-Achse. Wir würden nun diese Formel erhalten:

$$I_2=\sum\limits_{i}m_i((x_i-x_n)^2+(y_i-y_n)^2)$$

Das kann man nun natürlich ausmultplizieren:

$$I_2=\sum\limits_{i}m_i(x_i^2+y_i^2)-2x_n\sum\limits_{i}m_ix_i-2y_n\sum\limits_{i}m_iy_i+(x_n^2+y_n^2)\sum\limits_{i}m_i$$

Da wir den Schwerpunkt in den Ursprung gelegt haben wir der zweite und dritte Term einfach zu null. Der erste Term ist nichts anderes, als das Trägheitsoment, um die Rotationsachse im Schwerpunkt $I_1$ und der letzte Term ist nichts anderes, als das Abstandsquadrat $(x_n^2+y_n^2)=d^2$ und die Gesmatmasse der Körpers $\sum\limits_i m_i=m$. Damit erhalten wir den Steinerschen Satz:

$$I_2=I_1+d^2\cdot m$$

Wir haben das Trägheitsmoment für den Stab gegeben als:

$$I=\frac{1}{4}m\cdot R^2+\frac{1}{12}m\cdot l^2$$

Wir sollten das jetzt überprüfen. Ein experimentelles Überprüfen haben wir jetzt mal ausgeschlossen, da wir das Torsionmodul mit dem wir das Trägheitmoment überprüfen könnten ja mithilfe des Stabes selber bestimmt haben. EIne Überprüfung wäre da also einfach ein Zirkelschluss. Wir überprüfen das Trägheitsmoment also, indem wir es herleiten:

Wir wissen um diesen Zusammenhang:

$$I_{y,x}=\frac{1}{2}\cdot(I_x+I_y)=\frac{1}{2}(\int(y^2+z^2)\,dm+\int(x^2+z^2)\,dm)=\frac{1}{2}(I_z+\int 2z^2\,dm)$$

Wir kennen $I_z=\frac{1}{2}MR^2$ und erhalten somit:

$$I_{x,y}=\frac{1}{4}M\cdot R^2+\delta \iiint z^2\cdot r \,dz\,d\phi\,dr=\frac{1}{4}M\cdot R^2+\delta\cdot2\pi\cdot\frac{1}{2}R^2\cdot\frac{1}{12}l^3$$

Wir wissen ja zudem dass $\delta=\frac{M}{\pi\cdot R^2\cdot l}$ gilt. Deshalb kürzt sich einiges raus und wir erhalten:

$$I_{x,y}=\frac{1}{4}M\cdot R^2+\frac{1}{12}M\cdot l^2$$

Das ist ja genau das gesuchte Trägheitsmoment. Wir haben es also überprüft.

Aufg. 1 Torsionsmodul des Drahtes

Nun messen wir die Schwingungsdauer für jeweils 5 Torsionschwingungen eines 24,8cm langen, 6mm dicken und 55g schweren Stabs. Um die Torsionsaufhängungen zu varrieren, stellen wir unterschiedliche Längen der E-Gitarrensaiten ein. 6 Gitarrensaiten sind 5mm dick. Das enstpricht einem Durchmesser von 0,8333mm und somit einem Radius von 0,41666mm pro Saite.

Als Torsionsaufhängung nehmen wir jetzt einen Bindfaden (Durchmesser 5 Wicklungen= 1,7cm; 1 Wicklung= 0,34cm) mit dem gleichen Stab wie zuvor. Diesmal messen wir nur für 4 komplette Torsionsschwingungen die Zeit, da der Draht scheinbar deutlich “träger” ist.

Aufg. 2 Trägheitsmoment

Nun tauschen wir den Stab gegen einen 209g schweren Topfdeckel aus und erhalten mit dem Draht als Torsionsmodul jetzt folgende Messwerte:

Mit einem 152g schweren, 27,4cm breiten und 24,5cm hohen Eimer als Geometrie und dem Draht erhalten wir folgende Messwerte: