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a_mechanik:schwingungen [ 6 May 2014 15:38] – chnowaka_mechanik:schwingungen [24 June 2014 15:01] (current) – chnowak
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 =======Schwingungen======= =======Schwingungen=======
  
-=====Welche physikalischen Größen charakterisieren ganz periodische Schwingungen====== 
  
 =====Harmonische-, gedämpfte-, erzwungene Schwingung===== =====Harmonische-, gedämpfte-, erzwungene Schwingung=====
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 +====Harmonische Schwingung====
 +[{{ :a_mechanik:harmonische_schwingung.jpg?300|}}]
  
 **Harmonische Schwingungen** sind umgedämpfte Schwingungen, die sinusförmig unendlich weiter Schwingen **Harmonische Schwingungen** sind umgedämpfte Schwingungen, die sinusförmig unendlich weiter Schwingen
Line 12: Line 14:
 Schwingungsfunktion:   $$x(t)=x_\text{0}\cos (\omega t+\varphi) $$ Schwingungsfunktion:   $$x(t)=x_\text{0}\cos (\omega t+\varphi) $$
  
 +In der Schwingungsfunktion ist $x_0$ die Amplitude zum Zeitpunkt t=0. Bei einer harmonischen Schwingung bleib die Amplitude zeitlich erhalten, d.h. sie wird nicht gedämpft und hat für alle Zeiten den gleichen Wert (wie man auch am Graphen ablesen kann). $\omega \cdot t +\varphi$ bezeichnet man als die Phase und $\varphi$ alleine ist die Phasenverschiebung.
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 +Eigenfrequenz:$$\omega=\sqrt{\frac {k}{m} -\delta^{2}}$$
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 +Im Falle der harmonischen Schwingung hängt die Eigenfrequenz $\omega$ nur von der Federkonstante k und der Masse m ab. Da keine Dämpfung vorliegt ist hier der Dämpfungskoeffizient $\delta=0$ und fällt somit weg.
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 +$$\Rightarrow\omega=\sqrt{\frac k m}$$
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 +Im Graphen ist der typische Verlauf einer harmonischen Schwingung zu sehen. Zur Zeit t=0 ist $x_0=1$ und fällt dann auf den Wert x=-1 zum Zeitpunkt $t=\pi$ ($\approx 3.14$). Anschließend steigt die Amplitude wieder auf den Wert 1 zum Zeitpunkt $t=2\cdot\pi$ ($\approx 6.28$) an. Nun hat die Schwingung genau eine Periode beendet und schwingt genau gleich unendlich weiter.
 + 
  
-Eigenfrequenz:$$\omega=\sqrt{\frac k m}$$ 
  
-{{ :a_mechanik:harmonische_schwingung.jpg?300 |}} 
  
-**Gedämpfte Schwingungen** stellen reale Schwingungen dar. Ihr Amplitude nimmt exponentiell ab. 
  
 +====Gedämpfte Schwingung====
 +[{{ :a_mechanik:gedaempfte_schwingung.png?300|}}]
 +[{{ :a_mechanik:schwingugnen_mit_verschiendenen_dämpfungen.jpg?300|Hier sieht man die verschiedenen Grenzfälle der gedämpften Schwingung. Diese entstehen durch das Verhältnis von Federkonstanten und Masse zur Dämpfung des Systems $\delta$}}]
 +**Gedämpfte Schwingungen** stellen reale Schwingungen dar. Ihr Amplitude nimmt exponentiell ab. 
  
 Differentialgleichung: $$\frac{d^{2}x}{dt^{2}}+\frac{b}{m} \frac{dx}{dt} +\frac{k}{m}x=0$$ Differentialgleichung: $$\frac{d^{2}x}{dt^{2}}+\frac{b}{m} \frac{dx}{dt} +\frac{k}{m}x=0$$
Line 25: Line 42:
 Schwingungsfunktion:$$x(t)=x_\text{0} e^{-\delta t} \cos (\omega t) $$ Schwingungsfunktion:$$x(t)=x_\text{0} e^{-\delta t} \cos (\omega t) $$
  
 +wie schon bei der harmonischen Schwingung ist auch hier wieder $ x_0 $ die Amplitude, die aber in diesem Fall durch $e^{-\delta t}$ gedämpft wird. Das bedeutet konkret, dass die Auslenkung (z.B. des Federpendels) exponentiell abnimmt. Die Dämpfung ist im Graphen durch die rote Kurve dargestellt.
  
 Eigenfrequenz:$$\omega=\sqrt{\frac {k}{m} -\delta^{2}}$$ Eigenfrequenz:$$\omega=\sqrt{\frac {k}{m} -\delta^{2}}$$
  
  
-{{ :a_mechanik:gedämpfte_schwingung.jpg?300 |}} 
  
  
-**Erzwungenen Schwingungen** wird der schwingende Oszillatior konstant mit einer Anregungsfrequenz $\omega$ angeregt. Somit schwingt er mit einer konstanten Amplitude+ 
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 +In diesem Graphen sieht man, wie sich unterschiedliche Dämpfungen auf den zeitlichen Verlauf der Auslenkung auswirkt. Wenn das Quadrat der Dämpfung kleiner ist als das Verhältnis von der Federkonstanten k und der Masse m tritt der zu erwartende Schwingfall mit exponentiellen Abfall der Amplitude. Ist Das Verhä  
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 +====Erzwungene Schwingungen==== 
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 +**Erzwungenen Schwingungen** wird der schwingende Oszillator konstant mit einer Anregungsfrequenz $\omega$ angeregt. Somit schwingt er mit einer konstanten Amplitude. Der Verlauf des Graphen ist genau wie bei einer harmonischen Schwingung.
  
 Differentialgleichung: $$\frac{d^{2}x}{dt^{2}}+\frac{b}{m} \frac{dx}{dt} +\frac{k}{m}x=\frac {F_a}{m} \cos (\omega_a t - \varphi)$$ Differentialgleichung: $$\frac{d^{2}x}{dt^{2}}+\frac{b}{m} \frac{dx}{dt} +\frac{k}{m}x=\frac {F_a}{m} \cos (\omega_a t - \varphi)$$
 +
 +Auf der rechten steht die Kraft $F_a$ und ein Kosinus für die periodische Anregung. Diese kompensieren die Dämpfung und lassen das System weiter schwingen.
  
  
Line 42: Line 71:
  
 $$ \omega = \omega_a$$ $$ \omega = \omega_a$$
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Line 57: Line 88:
 $$\tan \varphi = \frac{2\delta \omega_a}{\omega_0^2-\omega_a^2}$$ $$\tan \varphi = \frac{2\delta \omega_a}{\omega_0^2-\omega_a^2}$$
  
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-======Grenzfälle bei Schwingungen====== 
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-[{{ :a_mechanik:schwingugnen_mit_verschiendenen_dämpfungen.jpg?500|asdg}}] 
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