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a_mechanik:schwingungen [ 5 May 2014 15:34] – angelegt chnowak | a_mechanik:schwingungen [24 June 2014 15:01] (current) – chnowak | ||
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- | =====Schwingungen===== | + | =======Schwingungen======= |
- | ===Welche physikalischen Größen charakterisieren ganz periodische Schwingungen==== | ||
+ | =====Harmonische-, | ||
- | ====Harmonische-, gedämpfte-, | + | ====Harmonische Schwingung==== |
+ | [{{ : | ||
- | Harmonische Schwingungen sind umgedämpfte Schwingungen, | + | **Harmonische Schwingungen** sind umgedämpfte Schwingungen, |
- | Differentialgleichung: | + | Differentialgleichung: |
Schwingungsfunktion: | Schwingungsfunktion: | ||
+ | In der Schwingungsfunktion ist $x_0$ die Amplitude zum Zeitpunkt t=0. Bei einer harmonischen Schwingung bleib die Amplitude zeitlich erhalten, d.h. sie wird nicht gedämpft und hat für alle Zeiten den gleichen Wert (wie man auch am Graphen ablesen kann). $\omega \cdot t +\varphi$ bezeichnet man als die Phase und $\varphi$ alleine ist die Phasenverschiebung. | ||
- | ====Resonanz und Phasenverschiebung==== | ||
+ | Eigenfrequenz: | ||
+ | Im Falle der harmonischen Schwingung hängt die Eigenfrequenz $\omega$ nur von der Federkonstante k und der Masse m ab. Da keine Dämpfung vorliegt ist hier der Dämpfungskoeffizient $\delta=0$ und fällt somit weg. | ||
- | ====Grenzfälle bei Schwingungen==== | + | $$\Rightarrow\omega=\sqrt{\frac k m}$$ |
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+ | Im Graphen ist der typische Verlauf einer harmonischen Schwingung zu sehen. Zur Zeit t=0 ist $x_0=1$ und fällt dann auf den Wert x=-1 zum Zeitpunkt $t=\pi$ ($\approx 3.14$). Anschließend steigt die Amplitude wieder auf den Wert 1 zum Zeitpunkt $t=2\cdot\pi$ ($\approx 6.28$) an. Nun hat die Schwingung genau eine Periode beendet und schwingt genau gleich unendlich weiter. | ||
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+ | ====Gedämpfte Schwingung==== | ||
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+ | [{{ : | ||
+ | **Gedämpfte Schwingungen** stellen reale Schwingungen dar. Ihr Amplitude nimmt exponentiell ab. | ||
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+ | Differentialgleichung: | ||
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+ | Schwingungsfunktion: | ||
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+ | wie schon bei der harmonischen Schwingung ist auch hier wieder $ x_0 $ die Amplitude, die aber in diesem Fall durch $e^{-\delta t}$ gedämpft wird. Das bedeutet konkret, dass die Auslenkung (z.B. des Federpendels) exponentiell abnimmt. Die Dämpfung ist im Graphen durch die rote Kurve dargestellt. | ||
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+ | Eigenfrequenz: | ||
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+ | In diesem Graphen sieht man, wie sich unterschiedliche Dämpfungen auf den zeitlichen Verlauf der Auslenkung auswirkt. Wenn das Quadrat der Dämpfung kleiner ist als das Verhältnis von der Federkonstanten k und der Masse m tritt der zu erwartende Schwingfall mit exponentiellen Abfall der Amplitude. Ist Das Verhä | ||
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+ | ====Erzwungene Schwingungen==== | ||
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+ | **Erzwungenen Schwingungen** wird der schwingende Oszillator konstant mit einer Anregungsfrequenz $\omega$ angeregt. Somit schwingt er mit einer konstanten Amplitude. Der Verlauf des Graphen ist genau wie bei einer harmonischen Schwingung. | ||
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+ | Differentialgleichung: | ||
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+ | Auf der rechten steht die Kraft $F_a$ und ein Kosinus für die periodische Anregung. Diese kompensieren die Dämpfung und lassen das System weiter schwingen. | ||
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+ | Schwingungsfunktion: | ||
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+ | Die Eigenfrequenz ist nach einer Einschwingzeit gleich der anregenden Frequenz | ||
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+ | $$ \omega = \omega_a$$ | ||
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+ | ======Resonanz und Phasenverschiebung====== | ||
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+ | Als **Resonanz** beschreibt man das verstärkte Mitschwingen eines Systems, dass in der Lage ist zu schwingen. Dabei ist es wichtig wie groß die anregende Frequenz und die Resonanzfrequenz des Systems ist. | ||
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+ | $$x_0=\frac{ \frac{F_a}{m}}{\sqrt{(\omega_0^2-\omega_a^2)^2+(2\delta \omega_a)^2}}$$ | ||
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+ | Nähern sich $\omega_0$ und $\omega_a$ immer weiter an, so wird der Nenner minimal und die Amplitude maximal. Im Falle eines umgedämpften Systems ($\delta=0$) wird der Nenner Null und wir erhalten die so genannte Resonatorkatastrophe und das System zerstört sich (Amplitude $x_0=\infty$) | ||
+ | |||
+ | Man bezeichnet zwei Sinus Funktionen als **Phasenverschoben**, | ||
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+ | $$\tan \varphi = \frac{2\delta \omega_a}{\omega_0^2-\omega_a^2}$$ | ||
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