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a_mechanik:schwerpunkt [18 November 2019 13:17] – Rechtschreibkorrekturen oliver@blackblast.dea_mechanik:schwerpunkt [29 April 2020 10:38] (current) – [Mathematische Beschreibung] Keine Sternchen als Malzeichen. Kein Malzeichen bei Produkten von Skalaren knaak@iqo.uni-hannover.de
Line 9: Line 9:
 ===Berechnung des Schwerpunktes zweier Massen=== ===Berechnung des Schwerpunktes zweier Massen===
 Um den Schwerpunkt zweier Massen $m_1$ und $m_2$ an den Orten $x_1$ und $x_2$ zu berechnen, gilt folgende Gleichung: Um den Schwerpunkt zweier Massen $m_1$ und $m_2$ an den Orten $x_1$ und $x_2$ zu berechnen, gilt folgende Gleichung:
-\begin{eqnarray} P_s= \frac{m_1}{m_1+m_2}*a \end{eqnarray}+\begin{eqnarray} P_s= \frac{m_1}{m_1+m_2} a \end{eqnarray}
  
 Hierbei ist:    Hierbei ist:   
Line 22: Line 22:
   * $m_2$ Masse mit 1Kg   * $m_2$ Masse mit 1Kg
   * $a$ Der Abstand der beiden Massen ($x_2-x_1=1$, da $x_1$ ganz vorne (Position 0) und $x_2$ ganz hinten (Position 1))   * $a$ Der Abstand der beiden Massen ($x_2-x_1=1$, da $x_1$ ganz vorne (Position 0) und $x_2$ ganz hinten (Position 1))
-\begin{eqnarray*} P_s=& \frac{2[\mathrm{Kg}]}{2[\mathrm{Kg}]+1[\mathrm{Kg}]}*1 \\ +\begin{eqnarray*} P_s=& \frac{2[\mathrm{Kg}]}{2[\mathrm{Kg}]+1[\mathrm{Kg}]} \cdot 1 \\ 
- P_s=& \frac{2[\mathrm{Kg}]}{3[\mathrm{Kg}]}*1 \\ + P_s=& \frac{2[\mathrm{Kg}]}{3[\mathrm{Kg}]} \cdot 1 \\ 
- P_s=& \frac{2}{3}*1 \\+ P_s=& \frac{2}{3} \cdot 1 \\
  P_s=& \frac{2}{3}\\  P_s=& \frac{2}{3}\\
 \end{eqnarray*} \end{eqnarray*}
Line 33: Line 33:
 ===Berechnung des Schwerpunktes mehrerer Massen entlang einer Linie=== ===Berechnung des Schwerpunktes mehrerer Massen entlang einer Linie===
 Für drei Massen gilt: Für drei Massen gilt:
-$$P_s= \frac{x_1*m_1+x_2*m_2+x_3+m_3}{m_1+m_2+m_3}$$+$$P_s= \frac{x_1 m_1+x_2 m_2+x_3+m_3}{m_1+m_2+m_3}$$
  
 mit: mit:
Line 42: Line 42:
 Aus der Gleichung für zwei Massen ist die Gleichung für mehrere Massen herleitbar. Dafür schreiben wir $a$ nocheinmal ganz allgemein  auf: $a=x_2+x_1$. Falls der Koorinatenursprung nicht direkt in $x_1$ liegt, müssen wir diesen zusätlich von der Koordinate des Schwerpunktes abziehen. Diese Vorraussetzungen setzen wir nun in die Gleichung ein:  Aus der Gleichung für zwei Massen ist die Gleichung für mehrere Massen herleitbar. Dafür schreiben wir $a$ nocheinmal ganz allgemein  auf: $a=x_2+x_1$. Falls der Koorinatenursprung nicht direkt in $x_1$ liegt, müssen wir diesen zusätlich von der Koordinate des Schwerpunktes abziehen. Diese Vorraussetzungen setzen wir nun in die Gleichung ein: 
 \begin{eqnarray} \begin{eqnarray}
-P_s=&& \frac{m_1}{m_1+m_2}*(x_2-x_1)&&+x_1\\+P_s=&& \frac{m_1}{m_1+m_2} (x_2-x_1)&&+x_1\\
 P_s=&&\frac{m_1(x_2-x_1)}{m_1+m_2}&&+x_1\\ P_s=&&\frac{m_1(x_2-x_1)}{m_1+m_2}&&+x_1\\
-P_s=&&\frac{m_1*x_2-m_1*x_1}{m_1+m_2}&&+\frac{(m_1+m_2)*x_1}{m_1+m_2}\\ +P_s=&&\frac{m_1 x_2-m_1 x_1}{m_1+m_2}&&+\frac{(m_1+m_2) x_1}{m_1+m_2}\\ 
-P_s=&&\frac{m_1*x_2-m_1*x_1}{m_1+m_2}&&+\frac{m_1*x_1+m_2*x_1)}{m_1+m_2}\\ +P_s=&&\frac{m_1 x_2-m_1 x_1}{m_1+m_2}&&+\frac{m_1 x_1+m_2 x_1)}{m_1+m_2}\\ 
-P_s=&&\frac{m_1*x_2-m_1*x_1+m_1*x_1+m_2*x_1}{m_1+m_2}\\ +P_s=&&\frac{m_1 x_2-m_1 x_1+m_1 x_1+m_2 x_1}{m_1+m_2}\\ 
-P_s=&&\frac{m_1*x_2+m_2*x_1}{m_1+m_2}\\+P_s=&&\frac{m_1 x_2+m_2 x_1}{m_1+m_2}\\
 \end{eqnarray} \end{eqnarray}
 ++++ ++++
  
 Kompakt kann das Ganze mit einer Summe ausgedrückt werden: Kompakt kann das Ganze mit einer Summe ausgedrückt werden:
-$$ P_s=\frac{1}{M}\sum_{i=1}^{3}x_i*m_i$$+$$ P_s=\frac{1}{M}\sum_{i=1}^{3}x_i m_i$$
 mit mit
   * $M$ Summe aller Massen (anzahl $n$) ($\sum_{i=1}^{n}m_i$)   * $M$ Summe aller Massen (anzahl $n$) ($\sum_{i=1}^{n}m_i$)
Line 60: Line 60:
  
 Durch ersetzen der oberen Grenze durch eine Variable, ist die Gleichung für $n$ Massen gültig: Durch ersetzen der oberen Grenze durch eine Variable, ist die Gleichung für $n$ Massen gültig:
-$$ P_s=\frac{1}{M}\sum_{i=1}^{n}x_i*m_i$$+$$ P_s=\frac{1}{M}\sum_{i=1}^{n}x_i m_i$$
  
 Bei einer Homogenen Masseverteilung wird statt der Summe ein Integral verwendet. Dies wäre z.B bei einem Stab der Fall. Gehen wir davonaus, das $x_1$ der Ursprung unserer Koordinatenachse und der Anfang des Stabes ist und $x_2$ das Ende des Stabes. Dann sieht das Integral wie folgt aus: Bei einer Homogenen Masseverteilung wird statt der Summe ein Integral verwendet. Dies wäre z.B bei einem Stab der Fall. Gehen wir davonaus, das $x_1$ der Ursprung unserer Koordinatenachse und der Anfang des Stabes ist und $x_2$ das Ende des Stabes. Dann sieht das Integral wie folgt aus: