meta data for this page
Differences
This shows you the differences between two versions of the page.
Both sides previous revisionPrevious revision | |||
a_mechanik:schwerpunkt [18 November 2019 13:17] – Rechtschreibkorrekturen oliver@blackblast.de | a_mechanik:schwerpunkt [29 April 2020 10:38] (current) – [Mathematische Beschreibung] Keine Sternchen als Malzeichen. Kein Malzeichen bei Produkten von Skalaren knaak@iqo.uni-hannover.de | ||
---|---|---|---|
Line 9: | Line 9: | ||
===Berechnung des Schwerpunktes zweier Massen=== | ===Berechnung des Schwerpunktes zweier Massen=== | ||
Um den Schwerpunkt zweier Massen $m_1$ und $m_2$ an den Orten $x_1$ und $x_2$ zu berechnen, gilt folgende Gleichung: | Um den Schwerpunkt zweier Massen $m_1$ und $m_2$ an den Orten $x_1$ und $x_2$ zu berechnen, gilt folgende Gleichung: | ||
- | \begin{eqnarray} P_s= \frac{m_1}{m_1+m_2}*a \end{eqnarray} | + | \begin{eqnarray} P_s= \frac{m_1}{m_1+m_2} a \end{eqnarray} |
Hierbei ist: | Hierbei ist: | ||
Line 22: | Line 22: | ||
* $m_2$ Masse mit 1Kg | * $m_2$ Masse mit 1Kg | ||
* $a$ Der Abstand der beiden Massen ($x_2-x_1=1$, | * $a$ Der Abstand der beiden Massen ($x_2-x_1=1$, | ||
- | \begin{eqnarray*} P_s=& \frac{2[\mathrm{Kg}]}{2[\mathrm{Kg}]+1[\mathrm{Kg}]}*1 \\ | + | \begin{eqnarray*} P_s=& \frac{2[\mathrm{Kg}]}{2[\mathrm{Kg}]+1[\mathrm{Kg}]} |
- | | + | |
- | | + | |
| | ||
\end{eqnarray*} | \end{eqnarray*} | ||
Line 33: | Line 33: | ||
===Berechnung des Schwerpunktes mehrerer Massen entlang einer Linie=== | ===Berechnung des Schwerpunktes mehrerer Massen entlang einer Linie=== | ||
Für drei Massen gilt: | Für drei Massen gilt: | ||
- | $$P_s= \frac{x_1*m_1+x_2*m_2+x_3+m_3}{m_1+m_2+m_3}$$ | + | $$P_s= \frac{x_1 m_1+x_2 m_2+x_3+m_3}{m_1+m_2+m_3}$$ |
mit: | mit: | ||
Line 42: | Line 42: | ||
Aus der Gleichung für zwei Massen ist die Gleichung für mehrere Massen herleitbar. Dafür schreiben wir $a$ nocheinmal ganz allgemein | Aus der Gleichung für zwei Massen ist die Gleichung für mehrere Massen herleitbar. Dafür schreiben wir $a$ nocheinmal ganz allgemein | ||
\begin{eqnarray} | \begin{eqnarray} | ||
- | P_s=&& | + | P_s=&& |
P_s=&& | P_s=&& | ||
- | P_s=&& | + | P_s=&& |
- | P_s=&& | + | P_s=&& |
- | P_s=&& | + | P_s=&& |
- | P_s=&& | + | P_s=&& |
\end{eqnarray} | \end{eqnarray} | ||
++++ | ++++ | ||
Kompakt kann das Ganze mit einer Summe ausgedrückt werden: | Kompakt kann das Ganze mit einer Summe ausgedrückt werden: | ||
- | $$ P_s=\frac{1}{M}\sum_{i=1}^{3}x_i*m_i$$ | + | $$ P_s=\frac{1}{M}\sum_{i=1}^{3}x_i m_i$$ |
mit | mit | ||
* $M$ Summe aller Massen (anzahl $n$) ($\sum_{i=1}^{n}m_i$) | * $M$ Summe aller Massen (anzahl $n$) ($\sum_{i=1}^{n}m_i$) | ||
Line 60: | Line 60: | ||
Durch ersetzen der oberen Grenze durch eine Variable, ist die Gleichung für $n$ Massen gültig: | Durch ersetzen der oberen Grenze durch eine Variable, ist die Gleichung für $n$ Massen gültig: | ||
- | $$ P_s=\frac{1}{M}\sum_{i=1}^{n}x_i*m_i$$ | + | $$ P_s=\frac{1}{M}\sum_{i=1}^{n}x_i m_i$$ |
Bei einer Homogenen Masseverteilung wird statt der Summe ein Integral verwendet. Dies wäre z.B bei einem Stab der Fall. Gehen wir davonaus, das $x_1$ der Ursprung unserer Koordinatenachse und der Anfang des Stabes ist und $x_2$ das Ende des Stabes. Dann sieht das Integral wie folgt aus: | Bei einer Homogenen Masseverteilung wird statt der Summe ein Integral verwendet. Dies wäre z.B bei einem Stab der Fall. Gehen wir davonaus, das $x_1$ der Ursprung unserer Koordinatenachse und der Anfang des Stabes ist und $x_2$ das Ende des Stabes. Dann sieht das Integral wie folgt aus: |