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a_mechanik:schwerpunkt [19 December 2016 08:28] – fricke | a_mechanik:schwerpunkt [29 April 2020 10:38] (current) – [Mathematische Beschreibung] Keine Sternchen als Malzeichen. Kein Malzeichen bei Produkten von Skalaren knaak@iqo.uni-hannover.de | ||
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===== Schwerpunkt ===== | ===== Schwerpunkt ===== | ||
- | Der Schwerpunkt ist die Summe über mehrere Massenpunkte unter Berücksichtigung | + | Der Schwerpunkt ist die Summe über mehrere Massenpunkte unter Berücksichtigung |
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====Mathematische Beschreibung==== | ====Mathematische Beschreibung==== | ||
===Berechnung des Schwerpunktes zweier Massen=== | ===Berechnung des Schwerpunktes zweier Massen=== | ||
- | Um den Schwerpunkt zweier Massen $m_1$ und $m_2$ an den Orten $x_1$und $x_2$ zu berechnen, gilt folgende Gleichung: | + | Um den Schwerpunkt zweier Massen $m_1$ und $m_2$ an den Orten $x_1$ und $x_2$ zu berechnen, gilt folgende Gleichung: |
- | \begin{eqnarray} P_s= \frac{m_1}{m_1+m_2}*a \end{eqnarray} | + | \begin{eqnarray} P_s= \frac{m_1}{m_1+m_2} a \end{eqnarray} |
Hierbei ist: | Hierbei ist: | ||
Line 22: | Line 22: | ||
* $m_2$ Masse mit 1Kg | * $m_2$ Masse mit 1Kg | ||
* $a$ Der Abstand der beiden Massen ($x_2-x_1=1$, | * $a$ Der Abstand der beiden Massen ($x_2-x_1=1$, | ||
- | \begin{eqnarray*} P_s=& \frac{2[Kg]}{2Kg+1[Kg]}*1 \\ | + | \begin{eqnarray*} P_s=& \frac{2[\mathrm{Kg}]}{2[\mathrm{Kg}]+1[\mathrm{Kg}]} \cdot 1 \\ |
- | | + | |
- | | + | |
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\end{eqnarray*} | \end{eqnarray*} | ||
- | Die Positionen der Massen ($x_1$ und $x_2$) sind im Bild von liks nach rechts auf einer Achse abzulesen. Um Abstände zu Berechnen | + | Die Positionen der Massen ($x_1$ und $x_2$) sind im Bild von links nach rechts auf einer Achse abzulesen. Um die Abstände zu berechnen, |
- | $P_s$ hat also den Abstand $\frac{2}{3}$ zu der Masse mit 1Kg. (In der Abbildung ist der Abstand nur im Verhältnis angegeben. Normalerweise liegen diese Angaben in Metern vor.) | + | $P_s$ hat also den Abstand $\frac{2}{3}$ zu der Masse mit $1$ $\mathrm{Kg}$. (In der Abbildung ist der Abstand nur im Verhältnis angegeben. Normalerweise liegen diese Angaben in Metern vor.) |
++++ | ++++ | ||
===Berechnung des Schwerpunktes mehrerer Massen entlang einer Linie=== | ===Berechnung des Schwerpunktes mehrerer Massen entlang einer Linie=== | ||
Für drei Massen gilt: | Für drei Massen gilt: | ||
- | $$P_s= \frac{x_1*m_1+x_2*m_2+x_3+m_3}{m_1+m_2+m_3}$$ | + | $$P_s= \frac{x_1 m_1+x_2 m_2+x_3+m_3}{m_1+m_2+m_3}$$ |
mit: | mit: | ||
Line 42: | Line 42: | ||
Aus der Gleichung für zwei Massen ist die Gleichung für mehrere Massen herleitbar. Dafür schreiben wir $a$ nocheinmal ganz allgemein | Aus der Gleichung für zwei Massen ist die Gleichung für mehrere Massen herleitbar. Dafür schreiben wir $a$ nocheinmal ganz allgemein | ||
\begin{eqnarray} | \begin{eqnarray} | ||
- | P_s=&& | + | P_s=&& |
P_s=&& | P_s=&& | ||
- | P_s=&& | + | P_s=&& |
- | P_s=&& | + | P_s=&& |
- | P_s=&& | + | P_s=&& |
- | P_s=&& | + | P_s=&& |
\end{eqnarray} | \end{eqnarray} | ||
++++ | ++++ | ||
Kompakt kann das Ganze mit einer Summe ausgedrückt werden: | Kompakt kann das Ganze mit einer Summe ausgedrückt werden: | ||
- | $$ P_s=\frac{1}{M}\sum_{i=1}^{3}x_i*m_i$$ | + | $$ P_s=\frac{1}{M}\sum_{i=1}^{3}x_i m_i$$ |
mit | mit | ||
* $M$ Summe aller Massen (anzahl $n$) ($\sum_{i=1}^{n}m_i$) | * $M$ Summe aller Massen (anzahl $n$) ($\sum_{i=1}^{n}m_i$) | ||
Line 59: | Line 59: | ||
* $m_i$ Massen | * $m_i$ Massen | ||
- | Durch ersetzen der Oberen | + | Durch ersetzen der oberen |
- | $$ P_s=\frac{1}{M}\sum_{i=1}^{n}x_i*m_i$$ | + | $$ P_s=\frac{1}{M}\sum_{i=1}^{n}x_i m_i$$ |
Bei einer Homogenen Masseverteilung wird statt der Summe ein Integral verwendet. Dies wäre z.B bei einem Stab der Fall. Gehen wir davonaus, das $x_1$ der Ursprung unserer Koordinatenachse und der Anfang des Stabes ist und $x_2$ das Ende des Stabes. Dann sieht das Integral wie folgt aus: | Bei einer Homogenen Masseverteilung wird statt der Summe ein Integral verwendet. Dies wäre z.B bei einem Stab der Fall. Gehen wir davonaus, das $x_1$ der Ursprung unserer Koordinatenachse und der Anfang des Stabes ist und $x_2$ das Ende des Stabes. Dann sieht das Integral wie folgt aus: | ||
Line 73: | Line 73: | ||
==== Eigenschaften ==== | ==== Eigenschaften ==== | ||
- | Der Schwerpunkt eines Systems versucht immer in eine energetisch günstige Lage zu kommen. Dies wäre im Gravitationsfeld der Erde z.B. eine möglichst tiefe Lage. Stabilisiert einen Körper also nicht in seinem Schwerpunkt sondern daneben, so greift die Schwerkraft den Körper im Schwerpunkt an und der Körper wird solange kippen, bis der Schwerpuntk | + | Der Schwerpunkt eines Systems versucht immer in eine energetisch günstige Lage zu kommen. Dies wäre im Gravitationsfeld der Erde z.B. eine möglichst tiefe Lage. Wird ein Körper also nicht in seinem Schwerpunkt sondern daneben |
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- | Dies ist in der nebenstehenden Abbildung | + | Dies ist in der nebenstehenden Abbildung |
==== Geometrisch ==== | ==== Geometrisch ==== | ||
Durch bestimmte Methoden kann der Schwerpunkt von geometrischen Figuren ermittelt werden. Bei einem Kreis beispielsweise ist der geometrische Schwerpunkt genau in der Mitte zu finden. Ermittelt werden kann dieser durch den Schnittpunkt zweier Linien, welche den Kreis halbieren. | Durch bestimmte Methoden kann der Schwerpunkt von geometrischen Figuren ermittelt werden. Bei einem Kreis beispielsweise ist der geometrische Schwerpunkt genau in der Mitte zu finden. Ermittelt werden kann dieser durch den Schnittpunkt zweier Linien, welche den Kreis halbieren. | ||
- | Bei einem Dreieck | + | Bei einem Dreieck |
- | + | Bei Homogener Massenverteilung, | |
- | Bei Homogener Massenverteilung, | + | |
====Schwerpunkt eines inhomogenen Körpers==== | ====Schwerpunkt eines inhomogenen Körpers==== | ||
- | Der Schwerpunkt eines inhomogenen Körpers ist auf dem ersten Blick nicht so leicht ersichtlich. Seine Position kann jedoch trotzdem durch ein recht einfaches Experiment ermittelt werden. Dabei werden die Schwerlinien ausgenutzt. Wird ein Körper an einem Punkt aufgehängt, | + | Der Schwerpunkt eines inhomogenen Körpers ist auf dem ersten Blick nicht so leicht ersichtlich. Seine Position kann jedoch trotzdem durch ein recht einfaches Experiment ermittelt werden. Dabei werden die Schwerlinien ausgenutzt. Wird ein Körper an einem Punkt aufgehängt, |