Der Versuch wurde durchgeführt von: Alexander Steding und Viktor Lau
Die Wiki-Seite wurde angelegt am: 2 January 12021 11:36

Auf dieser Wiki Seite werden Messwerte, Versuchsdurchführungen und theoretische Überlegungen zum Versuch kippender Besenstiel multimedial dokumentiert.

Die Messung des Winkels φ wurde über geometrische Überlegungen gelöst wie in folgender Abbildung verdeutlicht wird.

Gemessen wurde die Länge der Seite h. Die Länge der Seite L ist hier jeweils die Länge des Besenstiels. Über die Cosinusbeziehung \begin{equation} Cos=\frac{Ankathete}{Hypotenuse} \end{equation} bzw. in diesem Fall \begin{equation} Cos=\frac{h}{l} \end{equation} kann der Winkel α berechnet werden. Gemäß dem Wechselwinkelsatz ist α exakt genauso groß wie φ . Die Gleichung (2) liefert also die gewünschte Berechnung des Winkels φ .

An dieser Stelle soll kurz auf die Versuchsdurchführung eingegangen werden. Zunächst wurde der Versuch ohne Berücksichtigung der Luftreibung durchgeführt. Dazu wurden zuerst die beiden Stäbe mittels einem Maßband vermessen.

Der Messfehler der Länge wurde mit 50% der kleinsten messbaren Größe, in diesem Fall 50% von 1mm ensprächend 0,5mm angenommen. Um den Nachbarschaftsfrieden nicht zu sehr überzustrapazieren, wurde der Küchenboden mit einigen Handtüchern abgefedert. Daraus resultierende Fehler wurden in der Auswertung betrachtet. Wie oben beschrieben wurde im zweiten Schritt der Winkel durch Messen der Seite h errechnet.

Im nächsten Schritt wurde mit einem Geräusch die akustische Stoppuhr in Phyphox gestartet während gleichzeitig der Besen fallen gelassen wurde. Dabei wurde darauf geachtet, dass dieser fallengelassen wird ohne diesem Anschwung oder sonst eine Beschleunigung zusätzlich zugeben. Die akustische Stoppuhr stoppt die Messung sobald der Besen den Boden ereicht. Das folgende Video zeigt den Versuchsablauf:

Auf diese Weise wurden zunächst für beide Stiele für insgesammt fünf Winkel φ (5°, 20°, 35°, 50°, 65°) jeweils fünf mal die Fallzeit gemessen.

Um den Einfluss der Reibung durch Luftwiderstand zu berücksichtigen, wurde der Besenstiel wie folgt modifiziert. Um den Luftwiderstand zu erhöhen, wurde die Aerodynamik des Besens durch eine zusätzliche Pappe mit den Maßen 34cm±0,01mm x 21cm±0,01mm “verschlechtert”:

Die Messung wurde dann analog zu der Messung ohne Pappe durchgeführt für eine Besenlänge von 132,8cm ±0,5mm und für die Winkel φ (5°, 20°, 35°, 50°, 65°)

Das nachfolgende Video veranschaulicht die Messung.

An dieser Stelle werden die Messwerte aus dem Versuch dargestellt. Es wurden 5 verschiedene Winkel φ (5°, 20°, 35°, 50°, 65°) betrachtet

Hier wurden die gemessenen Fallzeiten für den Stiel 1/ Stiel mit Pappe mit Länge 1,33 m ± 0,5 mm und Stiel 2 mit 74,9 m ± 0,5 mm aufgetragen. Weiterhin wurden die gemessenen Längen von h zur Berechnung des Winkels, sowie der Mittelwert und berechneter Standardfehler der gemessenen Fallzeiten dargestellt.

Für einen Winkel von φ=5° ergeben sich folgende Messwerte

Für einen Winkel von φ=20° ergeben sich folgende Messwerte

Für einen Winkel von φ=35° ergeben sich folgende Messwerte

Für einen Winkel von φ=50° ergeben sich folgende Messwerte

Für einen Winkel von φ=65° ergeben sich folgende Messwerte

Für die berechneten Winkel wurden die Fehler gemäß Auswertung berechnet:

Für die numerische Berechnung der Bewegunsgleichung wurde der folgende Code in Python geschrieben. In der überarbeiteten Fassung berechnet er für alle Winkel im Intervall [0,05;1,5] Radiant die Fallzeiten. Die Daten werden automatisch als Plot und formatierte Textdatei zur weiteren Verwendung(z.B. QTIPlot) gespeichert.

Besenstiel.py

import math
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
############### Voreinstellungen ###############
Erdbeschleunigung= 9.81		# Erdbeschleunigung in m/s^2
Meta=[]				# Liste in der die Berechneten Fallzeiten gespeichert werden
winkelliste=[]
Berechnungswinkel=0.05
while  Berechnungswinkel <= 1.51:
  winkelliste.append(format(Berechnungswinkel,'.3g'))
  Berechnungswinkel += 0.01
Winkelliste=list(map(float, winkelliste))
 
############### Nutzereingabe ###############
print("Bitte Stablänge in Metern angeben")
Stablänge = float(input("Stablänge:")) # Länge des Stabes in Metern
print("Bitte Zeitschritt in Sekunden angeben")
Zeitschritt =float(input("Zeitschritt:"))		# Zeitschritt in Sekunden
############### Berechnungen ###############
Tau= math.sqrt((2*Stablänge)/(3*Erdbeschleunigung)) # Berechnung von Tau
for Winkel in Winkelliste:
  listewes=[]
  Momentanwinkel=Winkel
  Momentangeschwindigkeit=0
  while Momentanwinkel <=math.pi/2 : #Berechnung der Winkel
    Beschleunigung= math.sin(Momentanwinkel)/(Tau**2)
    Geschwindigkeit= Momentangeschwindigkeit + Zeitschritt*Beschleunigung
    neuerwinkel= Momentanwinkel + Zeitschritt*Geschwindigkeit
    listewes.append(neuerwinkel)
    Momentanwinkel=neuerwinkel
    Momentangeschwindigkeit=Geschwindigkeit
 
  k=format((len(listewes))*Zeitschritt, '.3g') # Berechnung der Fallzeit t und Vermeidung des Floating Point Errors durch Signifikante Stellen
  Meta.append(k) #Einhängen der Fallzeiten in die Liste Meta
 
############### Ausgabe der Werte ####################   
data = np.array([np.array(Winkelliste).astype(np.float) , np.array(Meta).astype(np.float) ]).T #Umwandeln der Winkel und Fallzeiten in ein Array und Transponieren der Daten
datafile_path = 'fallzeiten'+'_'+str(Stablänge)+'_'+str(Zeitschritt)+'.txt'# Dateispeicherort
with open(datafile_path, 'w+') as datafile_id:
  np.savetxt(datafile_id, data, fmt=['%.2f','%.2f']) #Schreiben der Daten in Textdatei
 
############### Ploten der Werte ####################
xstart= 0
xend=  1.6
xticks= 0.05
ystart= 0
yend= 1.5
plt.figure(figsize=(20,10), dpi=100)
plt.grid(True,zorder=0)
plt.axis([xstart,xend,ystart,yend])
plt.title('Numerische Berechnung der Fallzeiten für verschiedene Startwinkel mit l='+str(Stablänge)+'m und'+' \u0394'+'t='+str(Zeitschritt)+'s')              # Titel des Plot
plt.xticks(np.arange(xstart,xend,xticks))
a=plt.scatter(Winkelliste,list(map(float, Meta)),zorder=3)
plt.legend([a],['Fallzeiten']) # legende
plt.xlabel('Startwinkel in Radiant')                              # x-axis label
plt.ylabel('Fallzeiten in S')                              # y-axis label
plt.savefig('graph'+'_'+str(Stablänge)+'_'+str(Zeitschritt)+'.png')       # Speichern des Plot als Png
plt.close

Um den Code zu verifizieren wird die Fallzeit bei einer Stablänge von 1.45 m bei einem Startwinkel von 0.25 rad und einem Zeitschritt von 0.01 s berechnet. Diese beträgt 0.8 Sekunden. Der Vergleich mit der Grafik aus der Aufgabenstellung bestätigt die Berechnung.

Ein häufig aufgetauchter systematischer Messfehler, liegt in der gedämpften Schwingung des Besenstiels, nach Auftreffen am Boden. Das nachfolgende Video in Zeitlupe veranschaulicht das wiederholte Aufteffen auf den Boden.

Die dadurch zusätzlich entstehenden Schallwellen interferieren und stören die Messung. Um solchen Effekten vorzubeugen, wurde in der App Phyphox der Wert für Schwelle von 0,1 auf 0,3 a.u. erhöht. Dadurch können Hall-Effekte und andere akustische Probleme herausgefiltert werden.