Der Versuch wurde durchgeführt von: Hannah Rohkamm und Linda Wagner
Die Wiki-Seite wurde angelegt am: 23 December 2020 13:35

In diesem Versuch wollen wir das Fallverhalten eines Besenstiels untersuchen, genauer die Fallzeit in Abhängigkeit des anfänglichen Auslenkungswinkels. Diesen Zusammenhang wollen wir einmal experimentell zeigen und einmal numerisch durch ein Computerprogramm bestimmen. Anschließend wollen wir die ermittelten Ergebnisse vergleichen.

Um möglichst genaue Ergebnisse zu erhalten, führen wir den Versuch zwei mal durch. Einmal mit einem Wischerstiel der Länge 1,387m (Linda)und einmal mit einem etwas kürzeren Besenstiel der Länge 1,314m (Hannah). Wir betrachten sechs verschiedene Ausgangswinkel, etwa 10°, 20°,30°,50°,60°und 70°. Bei diesen Winkeln messen wir jeweils fünf mal die Fallzeit. Da die Fallzeit sehr kurz ist, versuchen wir durch den folgenden Versuchsaufbau die Zeitmessung möglichst genau zu machen.

Wir befestigen den Besenstiel mithilfe einer Halterung in einem festen Winkel. Dies tun wir, indem wir den Besen mit einem Faden an der Wand, bzw. einer Halterung an der Wand, befestigen (wie im Bild mit einem anderen Besenstiel gebaut).

Der Faden wurde an der Wohnungstür befestigt, indem er auf der Treppenhausseite der Tür um einen dünnen Holzstab als Halterung geknotet wurde. Der Stab hinderte den Faden am Durchrutschen.

Vor Durchführung jedes Fallversuchs messen wir den Winkel. Hierfür verwenden wir die Funktion “Neigung” der Phyphox App. Diese bestimmt den Neigungswinkel des Smartphones. Hält man das Smartphone also an den fixierten Besenstiel, so wird einem der Neigungswinkel angezeigt.

Die Messungenauigkeit der App sollte hier nicht der Anzeigengenauigkeit entnommen werden (diese entspräche hier 0,5•10^(-6)°, was aber viel zu klein wäre), sondern der experimentellen Schwankung. Letztere konnte herausgefunden werden, indem für ein und dieselbe Fixierung des Besenstiels mehrmals der Winkel gemessen wurde. Die Differenz zwischen niedrigstem und kleinsten Wert, die dabei zustande kamen, ist in etwa die gesuchte Messungenauigkeitsspanne. Es ergab sich eine Messungenauigkeit von aufgerundet ± 0,5°.

Zusätzlich konnte man den Winkel ungefähr mit einem Geodreieck abschätzen oder durch Abmessen der Länge von Besenstielspitze zur Wand (senkrecht) über die Definition des Sinus berechnen. Die Geodreieck-Methode haben wir sehr schnell ausgeschlossen, da sie durch Ablesefehler auf der ohnehin sehr kleinen Skala sehr ungenau war. Da wir die Messungen für jeden Winkel mehrmals durchgeführt haben, stellten wir fest, dass auch die Trigonometrie-Methode bei einigen Winkeln eine größere Streuung der Winkel lieferte als die Phyphox-App. Außerdem hätte man hier wieder mit Fehlern aus der Fehlerfortpflanzung zu tun, die durch Messunsicherheiten bei der Besenstiellänge und der Länge zur Wand zu Stande kämen. Durch die recht ungenaue Messung mit einem Zollstock sowie der Tatsache, dass von der Wand bis zur Symmetrieachse des Stabes gemessen werde müsste (der Besenstiel hat ja einen gewissen Durchmesser und deshalb wäre es falsch, nur bis zu einer Kante des Stabes zu messen), diese mittlere Achse jedoch nicht genau zu finden ist, müsste man hier Messunsicherheiten von bis zu 0,5 cm annehmen. In der unten stehenden Tabelle (L = 1,314 m) findet man auch die durch Trigonometrie bestimmten Werte. Auch für diese wurde der Standardfehler bestimmt. Wir stellten fest, dass dieser bei manchen Winkeln kleiner und bei manchen Winkeln größer ist als der Standardfehler bei der Messung mit der App. Da wir also keinen Vorteil in der Genauigkeit dieser Messmethode feststellen konnten, verwenden wir im Folgenden die handlichere Messung mit der Neigungs Funktion der Phyphox-App.

Für die Zeitmessung verwenden wir die akustische Stoppuhr der App Phyphox, die durch ein akustisches Signal gestartet und gestoppt wird. Als stoppendes Signal eignet sich der Aufprall des Besens auf dem Boden. Stellt man die Schwelle der App recht niedrig ein (etwa 0,1 bis 0,2), so kann man als startendes Signal das Geräusch der Schere verwenden, mit der man den Faden durchtrennt und somit gleichzeitig den Fall startet. Auf diese Weise minimiert man die Verzögerung zwischen startendem Signal und Start des Falles, menschliche Reaktionszeiten müssen nicht berücksichtigt werden. Die Stoppuhr hat eine im Voraus eingestellte Mindestlaufdauer von 0,1 Sekunde, um ein kürzeres Auslösen als diese Zeit zu vermeiden (beispielsweise durch Echos oder Hall). Da die Falldauern alle über diesem Wert lagen, konnten wir diese Einstellung so beibehalten.

Beim Versuch wurde darauf geachtet, das Handy möglichst nahe am aufschlagenden Besenstiel zu platzieren, um Messverfälschungen durch Schallreflexionen o.Ä. zu vermeiden. Dass der Schall trotz allem eine bestimmte Geschwindigkeit besitzt, dürfte für die Fehlerbetrachtung so gut wie keine Rolle spielen, da die Schallgeschwindigkeit vergleichsweise sehr groß (in Luft 343,2 m/s)ist. Es kommt also nur zu einer sehr geringen Verfälschung, dadurch, dass das Handy nicht exakt gleich weit von Schere und Besen entfernt war und somit der Schall unterschiedliche Strecken zurücklegen muss.

Leider ist der Bildschirm des Smartphones im Video etwas überblendet, bei genauem Hinschauen (am besten im Vollbildmodus) kann man aber sehen, dass die akustische Stoppuhr beim Geräusch der Schere startet, und beim ersten Aufprall des Besenstiels stoppt. Zu hören ist außerdem, dass der Besen nach dem ersten Aufprall noch einmal hochspringt und ein zweites mal aufschlägt. Dies Beeinflusst die Zeitmessung nicht, gemessen wird nur die Zeit bis zum ersten Aufprall.

Auf der Stielseite wurde der Faden erst einmal hindurchgefädelt, noch nicht geknotet. Dadurch konnte ich mit der linken Hand die Neigung des Stiels justieren und jeweils in einer stabilen Position halten, mit der rechten Hand das Handy an den Stiel halten und den Winkel überprüfen, indem ich dem Verlauf des Graphen auf Phyphox mit den Augen folgte und darauf achtete, dass er sich annähernd gut der Skalierung des jeweils angepeilten Winkels annäherte. Anschließend wurde der Faden festgeknotet, natürlich bei gleichzeitigem Aufpassen, dass sich die Neigung des Stiels dabei nicht (bzw. kaum) änderte.

Nun wurde das Handy erneut parallel an den Stiel gehalten und somit der endgültige Winkel bestimmt. (In den Fotos wurde als Attrappe für das eigentliche Handy, was hier als Fotoapparat herhalten musste, ein kleines Büchlein genommen. Ich hatte hier nämlich nicht so viel Glück wie bei obigem Foto, wo mein Mitbewohner gerade Zeit hatte und mich mit seinem Handy fotografieren konnte)

Dann wurde das Handy auf die im Bild zu sehende Kachon (Kastentrommel) gelegt und die akustische Stoppuhr aktiviert, anschließend die Zeitmessung durch das Durchschneiden des Fadens automatisch gestartet.

Um den Einfluss der Luftreibung auf die Falldauer zu untersuchen, versuchen wir nun die Luftreibung unseres Besenstiels zu erhöhen. Dazu befestigen wir ein Luftsegel aus Pappkarton an unserem Besen und führen den Versuch erneut durch.

Nun ermitteln wir mit dem gleichen Verfahren wie vorher die Fallzeit des Besenstiels. Wir erhalten die folgenden Werte:

Diese Werte unterscheiden sich nur wenig von den zuvor ermittelten Werten. Im bei liegendem Versuchsbericht findet sich eine Grafik, in der man dies noch genauer Beobachten kann. Wir können daraus also schliessen, dass die Erhöhung der Fallzeit durch die Pappe nur einen sehr kleinen Einfluss hat.

Nach dem experimentellen Versuchsteil haben wir nun ein Programm geschrieben, das die Lösung numerisch ermittelt. Wir verwenden hier ein Zeitschrittverfahren, geschrieben mit Wolfram Mathematica 12.0.

Mathematica 12.0

l= 1.45;g= 9.81;τ = Sqrt[(2 l)/(3 g)];
 
Φ[0]=0.25; Φ´[0]= 0;Φ´´[0]= Sin[Φ[0]]/(τ^2);
Δt= 0.01;
 
f[ϕ0_]:=
Module[{Φ0=ϕ0},
Φ[0]=Φ0;
 
Catch[For[n=1,Φ[n-1]<= N[Pi/2],n++,
Φ´[n]=Φ´[n-1]+Δt*Φ´´[n-1];
Φ[n]= Φ[n-1] +Δt*Φ´[n];
Φ´´[n]= Sin[Φ[n-1]]/(τ^2);
list=Append[{},{Φ[n],n*Δt}];
If[Φ[n]>N[Pi/2],Throw[(n-1)*Δt]]
]]
]
 
Plot[f[ϕ0],{ϕ0,0.20,1.3},AxesLabel->{Ausgangswinkel Φ0, Fallzeit t},AxesOrigin-> {0,0},PlotRange-> {0,1.0},PlotLabel-> "Numerische Lösung für die Fallzeit", PlotLegends-> "Fallzeiten für τ= 0,314s"]

Die ersten zwei Zeitschritte werden dem Programm gegeben, danach wird anhand von Definitionen die Winkel und Winkelgeschwindigkeiten mit den neu ermittelten nach einem Zeitschritt von 0,01 Sekunden ersetzt. Danach haben wir eine Liste definiert, die alle Winkel nach n Zeitschritten ausgibt.

Wir setzen zunächst die obere Grenze von n auf 120, damit der Zeitpunkt, bei dem der Besenstiel auf dem Boden fällt auf jeden Fall mit ausgegeben wird. Mit dem Befehl “Select” lassen wir uns nun nur die Listeneinträge ausgeben, die kleiner als 1,5708 rad sind, also kleiner als π/2. So haben wir nur die Werte bis zum Aufschlag auf dem Boden in der Liste. Mit dem Befehl “Length” lassen wir uns nun die Anzahl der Elemente in dieser Liste anzeigen. Wir wissen nun also wie viele Zeitschritte gegangen worden sind, bis der virtuelle Besenstiel auf den Boden aufschlägt. Da zwei Zeitschritte durch die Definitionen zuvor schon gegangen worden sind, müssen wir jeweils 2 addieren (Daher sie +2 im Code). Multiplizieren wir nun mit der Länge der Zeitschritte (hier Δt= 0,01s), erhalten wir die Fallzeiten der Winkel.

Der Plot Befehl gibt uns gleich einen Graphen der Fallzeit in Abhängigkeit des Anfangswinkels aus. Alternativ können wir ein Φ0 angeben und uns direkt die Fallzeit für diesen Startwinkel ausgeben lassen.

Hat man eine andere Besenstiellänge, so berechnet man τ neu und kann das Programm mit diesem Wert neu durchlaufen lassen. Durch Verkleinerung der Zeitschritte kann man die numerische Lösung genauer machen, das Programm braucht dem entsprechend allerdings etwas länger.

Auf diese Art können wir nun auch die theoretischen Fallzeiten für unsere Besen bei den zuvor betrachteten Winkeln bestimmen. Wir erhalten die folgenden Werte:

Hierfür reichte es, die Funktion l*(∂²/∂t²)φ in Abhängigkeit des Auslenkungswinkels φ zu definieren und sie sich in einem Plot ausgeben zu lassen. Als Vergleichswert wurde im Plot die konstante Gerade g=9,81 (in m/s²) hinzugefügt. Der Schnittpunkt der beiden Graphen wurde mithilfe des Befehls “Solve” gelöst (hätte man aber auch mit Papier und Stift schnell machen können).

Mathematica 7.0

l=1.387; g=9.81;
 
τ= Sqrt[(2l)/(3g)];
 
lϕpp[ϕ_]=(3Sin[ϕ])/2*g
 
 
Plot[{lϕpp[ϕ],y[ϕ]=9.81},{ϕ,0,1.56},AxesLabel-> {"Auslenkwinkel ϕ in rad","Winkelbeschleunigung*Stablänge in m/s^2"}]
 
Solve[lϕpp[ϕ]==g,ϕ]