Besenstiel -- gruppe319

Der Versuch wurde durchgeführt von: Moritz Fock und Lea Zybur
Die Wiki-Seite wurde angelegt am: 17 December 2020 15:52

Der Stab wird senkrecht an die Wand gestellt ein paar Zentimeter parallel zu einer anderen Wand, so dass er während des Falls nicht gegen diese kommen kann. Leicht oberhalb des Stabs wird ein Klettverschluss an die Wand geklebt. An diesem Klettverschluss wird der Faden befestigt, mit dem der Stab in der Startposition gehalten wird indem er in die entstehende Schlaufe gelegt wird, wenn beide Enden um den Klettverschluss gewickelt werden. Diese Aufhängung garantiert für gleiche Fadenlängen die gleiche Startposition, also den gleichen Startwinkel. Da der Stab durch die Aufhängung ein wenig instabil steht, bekommt er eine lockere Führung in der Nähe des Standpunktes, welche aber vernachlässigbaren Einfluss und Reibung erzeugt. Die Führung besteht aus zwei kurzen Holzbalken, die an die Wand gelehnt sind.

Zuerst muss die Länge der Stäbe gemessen werden.

Danach wird der Versuch für den ersten Stab aufgebaut. Jetzt muss die Höhe des Stabs gemessen werden, da sich mit dieser der Startwinkel ausrechnen lässt. Mit dem aufgebauten Laser kann wird garantiert, dass der Zollstock senkrecht an der Wand steht und mit einer Wasserwaage kann horizontal die Höhe abgelesen werden.

Jetzt kann der eigentliche Versuch durchgeführt werden.

Zur Messung der Zeiten wird die App phyphox verwendet. Diese bietet die Möglichkeit einer akustischen Stoppuhr; sobald ein akustischen Signal einen Schwellenwert übersteigt, startet das Signal und beim zweiten akustischen Signal wird die Zeitmessung gestoppt. Der Fall des Stabs auf den Boden sorgt direkt für das zweite akustische Signal. Um keine Messunsicherheiten durch die eigene Reaktionszeit zu haben, soll das erste Signal direkt an den Start der Kippbewegung gekoppelt sein. Dafür wird der Faden mit einer Schere durchschnitten. Wird das Mikrofon nahe genug an die Schere gehalten, ist das Geräusch durch ruckartiges Schneiden ausreichend.

Folgende Messungen werden durchgeführt:

• Messung I : Stablänge: l=197,4cm.
• Messung II : Stablänge: l=150,3cm.
• Messung III: Stablänge: l=197,4cm mit Verschiebung des Schwerpunkts durch Anbringen einer zusätzlichen Masse.

Messung II:

Messung III:

Eine Zusammenfassung der in diesem Versuch auftretenden Messunsicherheiten:

• Messung der Stablänge. Da der Stab dafür ruhig liegt kann diese sehr genau gemessen werden: $u(l)=1mm$
• Messung der Höhe. Schwieriger, da die Messung senkrecht zum Boden stattfinden muss. Außerdem kann der Boden uneben sein. Ein senkrechter Laser und eine Wasserwaage helfen die Unsicherheit zu minimieren: $u(h)=5mm$
• Messung der Zeit. Sehr genau, da mit akustischen Signalen gearbeitet wird, welche direkt mit den zu messenden Ereignissen zusammenhängen. Schallreflexion tritt hier nicht auf, da die Schere zu leise ist und nach dem zweiten Signal die Zeit schon gestoppt ist. Es muss geprüft werden, ob die Schallgeschwindigkeit berücksichtigt werden werden muss. Zudem werden für jeden Winkel 5 Messungen durchgeführt, sodass sich ein Standardfehler berechnen lässt.

Stablänge: l=197,4cm.

Stablänge: l=150,3cm.

Stablänge: l=197,4cm mit Verschiebung des Schwerpunkts durch anbringen einer extra Masse.

In einem Programm soll die numerische Lösung der DGL aus dem Problem des Versuchs gelöst werden. Das Vorgehen dazu in im Versuchsbericht ausführlich beschrieben.

Wir wählen dafür die Programmiersprach Mathematica. Hauptsächlich besteht das Programm aus zwei Modulen: findphi und fallzeit.

Mit findphi lösen wir die DGL. Es benötigt den Startwinkel $\phi_0$, die Schrittweite der Zeitabstände $\Delta t$ und die Länge des Stabs $l$.
In einer While-Schleife wird im ersten Schritt erst die Winkelgeschwindigkeit berechnet. Danach wird damit der Winkel am Ende des ersten Zeitintervalls berechnet, dieser dient später auch als neuer Startwinkel. Die Zeit wird um den Wert des Intervalls erhöht und zusammen mit dem Winkel in einer Tabelle gespeichert. Schlussendlich werden noch $\phi_0$ und $\omega$ auf ihre neuen Startwerte gesetzt. Die Schleife läuft so lange, wie der Winkel kleiner als π/2 ist.
Das Ergebniss des Moduls ist also eine Tabelle mit Werten, die die Trajektorie des Fallenden Stabs repräsentieren.

Das zweite Modul fallzeit soll die Gesamtfallzeit in Abhängig des Startwinkels für eine vorgegebene Stablänge plotten. Dazu muss die Stablänge und das gewünschte Zeitintervall übergeben werden. Innerhalb der Funktion Table[] wird das erste Modul mit dem Startwinkel π/30 und den beiden anderen Angaben aufgerufen. Vom Ergebnis wird der Letzte Eintrag genommen und die Zeit rausgeschrieben, da diese der Gesamtfallzeit entspricht. Dieses Ergebnis wird in einer Tabelle zum getesteten Startwinkel geschrieben. Die Funktion Table[] erhöht den Startwinkel so lange um π/300 bis er bei π/2 angekommen ist.

Das Modul findphiPlot ruft findphi auf und plottet uns die Trajektorie.
findhi2 nimmt ein viertes Argument entgegen, welches als Zeitpunkt der Abbruchbedingung dient. Dadurch kann gezeigt werden, dass unsere numerische Lösung tatsächlich auch periodisch ist. In dem Modul fallzeit2 wird fallzeit so erweitert, dass es anstelle einer einzelnen Länge eine Liste von Länge entgegen nimmt und diese in ein Diagramm plottet.

Für das Ausführen des Mathematica Notebooks werden folgende CSV-Dateien mit unseren Messwerten im gleichen Dateipfad benötigt: tab_197cm.csvtab_150cm.csvtab_197cmsp.csvtab_140cmpappe.csv

Besenfall.nb

\[Tau][l_]:=Sqrt[2*l/(3*9.81)]
findphi[\[Phi]0_,\[CapitalDelta]t_,l_]:=Module[{\[Phi]=\[Phi]0,\[Omega],a=0,\[Omega]0=0,phi0=\[Phi]0,list={{0,\[Phi]0}}},
While[\[Phi]<Pi/2,
\[Omega]=\[Omega]0+\[CapitalDelta]t*Sin[phi0]/\[Tau][l]^2;
\[Phi]=phi0+\[CapitalDelta]t*\[Omega];
a=a+\[CapitalDelta]t;
list=Append[list,{a,\[Phi]}];
\[Omega]0=\[Omega];
phi0=\[Phi]];
list
]
 
findphiPlot[\[Phi]0_,\[CapitalDelta]t_,l_]:=Module[{plot},
plot=findphi[\[Phi]0,\[CapitalDelta]t,l];
ListPlot[plot,AxesLabel-> {"Zeit t","Winkel \[Phi](t)"},PlotLabel->Style["Bewegung des kippenden Besenstiels",Bold,Red,Underlined],
AxesStyle -> Arrowheads[{0.0, 0.02}]]]
 
fallzeit[l_,\[CapitalDelta]t_]:=Module[{start,tab},
tab=Table[{N[start],First[Last[findphi[start,\[CapitalDelta]t,l]]]},{start,Pi/30,Pi/2,Pi/300}];
ListPlot[tab,PlotStyle->PointSize[Small],AxesLabel-> {"\!\(\*SubscriptBox[\(\[Phi]\), \(0\)]\) in rad","Fallzeit(\!\(\*SubscriptBox[\(\[Phi]\), \(0\)]\))"},PlotLabel->Style["Abhängigkeit der Fallzeit vom Startwinkel \!\(\*SubscriptBox[\(\[Phi]\), \(0\)]\)",Bold,Red,Underlined],
AxesStyle -> Arrowheads[{0.0, 0.02}],PlotLegends->"Expressions"]]
 
(*Test von findphi.*)
h = findphi[0.25, 0.01, 1.45]
findphiPlot[0.25, 0.01, 1.45]
 
(*Vergleich von NDSolve mit unserer Numerischen Berechnung.*)
g = NDSolve[{\[Phi]''[t] == Sin[\[Phi][t]]*(3*9.81)/(2*1.45), \[Phi][0] == 
     0.25, \[Phi]'[0] == 0}, \[Phi][t], {t, 0, First[Last[h]]}];
Plot[Evaluate[\[Phi][t] /. g], {t, 0, First[Last[h]]}, 
 Epilog -> {PointSize[Small], Red, Point[h]}, 
 AxesLabel -> {"Zeit t", "Winkel \[Phi](t)"}, 
 PlotLabel -> 
  Style["Bewegung des kippenden Besenstiels", Bold, Red, Underlined],
 AxesStyle -> Arrowheads[{0.0, 0.02}]]
 
(*Test von Fallzeit.*)
fallzeit[1.45, 0.001]
 
(*Periodisch:*)
findphi2[\[Phi]0_,\[CapitalDelta]t_,l_,time_]:=Module[{\[Phi]=\[Phi]0,\[Omega],a=0,\[Omega]0=0,phi0=\[Phi]0,list={{0,\[Phi]0}}},
While[a<= time,
\[Omega]=\[Omega]0+\[CapitalDelta]t*Sin[phi0]/\[Tau][l]^2;
\[Phi]=phi0+\[CapitalDelta]t*\[Omega];
a=a+\[CapitalDelta]t;
list=Append[list,{a,\[Phi]}];
\[Omega]0=\[Omega];
phi0=\[Phi]];
list
];
 
ListPlot[findphi2[0.25, 0.01, 1.45, 8]]
 
fallzeit2[l_,\[CapitalDelta]t_]:=Module[{start,tab,list={}},
tab=Table[Table[{N[start],First[Last[findphi[start,\[CapitalDelta]t,laenge]]]},{start,Pi/30,Pi/2,Pi/300}],{laenge,l}];
ListPlot[tab,PlotStyle->PointSize[Small],AxesLabel-> {"\!\(\*SubscriptBox[\(\[Phi]\), \(0\)]\) in rad","Fallzeit(\!\(\*SubscriptBox[\(\[Phi]\), \(0\)]\))"},PlotLabel->Style["Abhängigkeit der Fallzeit vom Startwinkel \!\(\*SubscriptBox[\(\[Phi]\), \(0\)]\)",Bold,Red,Underlined],
AxesStyle -> Arrowheads[{0.0, 0.02}],PlotLegends->Placed[PointLegend[Automatic,{"197.4cm","150.3cm"},LegendFunction->"Frame"],{0.8,0.75}],PlotLegends->Placed[PointLegend[{Red,Blue,Orange},{"197.4cm","150.3cm"},LegendFunction->"Frame"],{0.9,0.75}]]]
 
(*fallzeit2[Range[0.01,4.1,0.1],0.001]*)
fallzeit2[{1.974, 1.503}, 0.001]
 
 
 
(*Importieren der experimentell bestimmten Werte von den aus QTI exportierten Tabellen.*)
dir = NotebookDirectory[];
 
data1 = Import[FileNameJoin[{dir, "Tab_197cm.csv"}], "TextDelimiter" -> ","];
cleanData1 = Table[data1[[i, {4, 11}]], {i, 1, Length[data1]}]
 
data2 = Import[FileNameJoin[{dir, "Tab_150cm.csv"}], "TextDelimiter" -> ","];
cleanData2 = Table[data2[[i, {4, 11}]], {i, 1, Length[data2]}]
 
data3 = Import[FileNameJoin[{dir, "Tab_197cmSP.csv"}], "TextDelimiter" -> ","];
cleanData3 = Table[data3[[i, {4, 11}]], {i, 1, Length[data3]}]
 
fallzeit3[l_, \[CapitalDelta]t_] := Module[{start, tab, list = {}},
  tab = Table[
    Table[{N[start], 
      First[Last[findphi[start, \[CapitalDelta]t, laenge]]]}, {start, Pi/30, 
      Pi/2, Pi/300}], {laenge, l}];
  tab = Append[Append[Append[tab, cleanData1], cleanData2], cleanData3];
  ListPlot[tab, 
   PlotStyle -> {PointSize[Small], PointSize[Small], PointSize[Medium], 
     PointSize[Medium], PointSize[Medium]}, 
   AxesLabel -> {"\!\(\*SubscriptBox[\(\[Phi]\), \(0\)]\) in rad", 
     "Fallzeit(\!\(\*SubscriptBox[\(\[Phi]\), \(0\)]\))"}, 
   PlotLabel -> 
    Style["Abhängigkeit der Fallzeit vom Startwinkel \!\(\*SubscriptBox[\(\
\[Phi]\), \(0\)]\)", Bold, Red, Underlined],
   AxesStyle -> Arrowheads[{0.0, 0.02}], 
   PlotLegends -> 
    Placed[PointLegend[
      Automatic, {"Num.: 197.4cm", "Num.: 150.3cm", "Messung 1", "Messung 2", 
       "Messung 3"}, LegendFunction -> "Frame"], {0.8, 0.75}], 
   ImageSize -> Large]]
 
fallzeit3[{1.974, 1.503}, 0.001]
Export[FileNameJoin[{dir, "VergleichTheorieundPraxisMathematica.png"}], %]
 
data4 = Import[FileNameJoin[{dir, "Tab_140cmPappe.csv"}], 
   "TextDelimiter" -> ","];
cleanData4 = Table[data4[[i, {4, 11}]], {i, 1, Length[data4]}]
 
fallzeit4[l_, \[CapitalDelta]t_] := Module[{start, tab, list = {}},
  tab = Table[
    Table[{N[start], 
      First[Last[findphi[start, \[CapitalDelta]t, laenge]]]}, {start, Pi/30, 
      Pi/2, Pi/300}], {laenge, l}];
  tab = Append[tab, cleanData4];
  ListPlot[tab, PlotStyle -> {PointSize[Small], PointSize[Medium]}, 
   AxesLabel -> {"\!\(\*SubscriptBox[\(\[Phi]\), \(0\)]\) in rad", 
     "Fallzeit(\!\(\*SubscriptBox[\(\[Phi]\), \(0\)]\))"}, 
   PlotLabel -> 
    Style["Abhängigkeit der Fallzeit vom Startwinkel \!\(\*SubscriptBox[\(\
\[Phi]\), \(0\)]\)", Bold, Red, Underlined],
   AxesStyle -> Arrowheads[{0.0, 0.02}], 
   PlotLegends -> 
    Placed[PointLegend[Automatic, {"Num.: 140cm", "Messung 4"}, 
      LegendFunction -> "Frame"], {0.8, 0.75}], ImageSize -> Large]]
 
fallzeit4[{1.40}, 0.001]
(*Export[FileNameJoin[{dir,"VergleichTheorieundPraxisMathematica140.png"}],%]*)
 
(* genaue Ausgabe der theoretische Werte fuer die experimentell verwendeten \
Winkel *)
Table[{cleanData1[[i]], 
  First[Last[findphi[cleanData1[[i, 1]], 0.001, 1.974]]]}, {i, 1, 
  Length[cleanData1]}]
Table[{cleanData2[[i]], 
  First[Last[findphi[cleanData2[[i, 1]], 0.001, 1.503]]]}, {i, 1, 
  Length[cleanData2]}]
Table[{cleanData3[[i]], 
  First[Last[findphi[cleanData3[[i, 1]], 0.001, 1.974]]]}, {i, 1, 
  Length[cleanData3]}]
Table[{cleanData4[[i]], 
  First[Last[findphi[cleanData4[[i, 1]], 0.001, 1.400]]]}, {i, 1, 
  Length[cleanData4]}]
 
Export[FileNameJoin[{dir, "TheorieWerte197.csv"}], 
  Table[{N[start], First[Last[findphi[start, 0.001, 1.197]]]}, {start, Pi/30, 
    Pi/2, Pi/300}], "TextDelimiter" -> ";"];
Export[FileNameJoin[{dir, "TheorieWerte150.csv"}], 
  Table[{N[start], First[Last[findphi[start, 0.001, 1.530]]]}, {start, Pi/30, 
    Pi/2, Pi/300}], "TextDelimiter" -> ";"];
Export[FileNameJoin[{dir, "TheorieWerte140.csv"}], 
  Table[{N[start], First[Last[findphi[start, 0.001, 1.400]]]}, {start, Pi/30, 
    Pi/2, Pi/300}], "TextDelimiter" -> ";"];

In den ersten drei Versuchen liegt der Fokus hauptsächlich auf dem Einfluss der Länge des Stabs sowie des Startwinkels. Deshalb wurde in diesen drei verschiedenen Versuchsreihen der Stab selber in seiner Form und damit sein Luftwiderstand nicht variiert. Auch im Coputerprogramm wurde dieser Aspekt nicht berücksichtigt.

In dieser Versuchsreihe werden die Stablänge mit 1,40m und der Startwinkel mit 0,278 rad unverändert gelassen. Es werden 4 verschiedene Messungen durchgeführt:

I. 5-mal nur der Stab
II. 5-mal Stab mit Pappe, diese ist rechteckig (50cm*35,4cm) und wird quer mit Tape im oberen Bereich des Besens befestigt
III. 5-mal Stab mit Pappe aus II., diesmal hochkant aufgeklebt
IV: 5-mal Stab mit kleinerer Pappe (rechteckig: 35cm*24,5cm , quer befestigt)

Zu beachten ist der etwas andere Versuchsaufbau:

1. kleinerer Stab
2. er fällt und steht auf einem dünnen, platten Teppich, da auch dieser Versuch in der Wohnung durchgeführt wurde
3. eine glatte Box bildet das Widerlager für den Aufstellpunkt des Besens, damit er nicht rutscht
4. Bücher mit einer glatten Oberfläche stehen seitlich des Stabs, um auch hier eine leichte Führung des Stabes zu haben, die ein seitliches Kippen verhindert
5. An der Stabspitze befindet sich ein Loch durch das ein Faden gezogenwerden kann, welches am Treppengeländer befestigt wird
6. um möglichst dieselbe Höhe einzustellen, wir durch das Treppengeländer bis gegen die Wand ein zweiter Stock geschoben und auf Höhe der Stabspitze markiert, zusätzlich wird ein Faden darüber gelegt, dass die Markierung auch auf höhe der Stabspitze zu sehen ist
7. die Höhe wird in regelmäßigen Abständen durch Messung mit dem Zollstock kontrolliert
8. auch hier wird phyphox als akustische Stoppuhr verwendet, das Schneiden der Schere ist das Startsignal
9. die Messunsicherheiten schätzen wir wie in den ersten drei Versuchsreihen ab

Stablänge: l=140cm.