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a_mechanik:harmonischer_oszillator [30 April 2014 14:53] – lea | a_mechanik:harmonischer_oszillator [20 December 2016 07:24] (current) – Bild: Kräfte am Fadenpendel ruben.boesche@t-online.de | ||
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- | ====== Harmonischer | + | ====== Harmonischer |
+ | |||
+ | Ein Oszillator ist im Allgemeinen ein schwingungsfähiges System. Dies kann alles Mögliche sein, wie der dünne Zweig eines Baumes oder ein Fadenpendel. Der harmonische Oszillator ist ein Spezialfall, | ||
+ | In diesem Artikel wird nur die ungedämpfte Schwingung betrachtet. Für eine genauere Betrachtung der Dämpfung von Schwingungen betrachte den Artikel [[a_mechanik: | ||
+ | |||
+ | ====Differentialgleichung des Harmonischen Oszillators==== | ||
+ | Die Bewegung eines Harmonischen Oszillators, | ||
+ | |||
+ | Ein wichtiges Beispiel für einen harmonischen Oszilator ist das Fadenpendel. | ||
===== Pendel ===== | ===== Pendel ===== | ||
- | Ein Pendel ist ein schwingender Körper, allgemein | + | Ein Pendel ist ein schwingender Körper. Also eine Masse, welche mithilfe eines Fadens, einer Stange, einer Feder oder etwas Vergleichbarem |
- | ==== Mathmatisches | + | [{{ : |
+ | ==== Mathematisches | ||
+ | <WRAP group> | ||
+ | <WRAP 20% right> | ||
+ | {{ : | ||
+ | Kräfte am Fadenpendel | ||
+ | </ | ||
- | Das mathematische Pendel beschreibt die Schwinung | + | Das mathematische Pendel beschreibt die Schwignung |
* Bei dem schwingenden Körper handelt es sich um eine Punktmasse (d.h. Die gesammte Masse ist in einem Punkt zentriert) | * Bei dem schwingenden Körper handelt es sich um eine Punktmasse (d.h. Die gesammte Masse ist in einem Punkt zentriert) | ||
* Der Faden ist masselos und seine Länge konstant | * Der Faden ist masselos und seine Länge konstant | ||
- | * Es herschen | + | * Es herrschen |
+ | |||
+ | **Differentialgleichung und Lösung: | ||
+ | ++++ Für die Herleitung, bitte hier klicken| | ||
+ | Die Differentialgleichung für das mathematische Pendel ergibt sich aus der Rückstellkraft. | ||
+ | Einerseits erhält man die Rückstellkraft aus der Gravitationskraft (siehe Abbildung): | ||
+ | $$F_R=-m \cdot g \cdot \sin(\phi(t))$$ | ||
+ | Andererseits kann man die Rückstellkraft auch über die (normale) Kraftgleichung $F=m\cdot a$(vgl. [[a_mechanik: | ||
+ | \begin{eqnarray*} | ||
+ | F_R=&m \cdot a_{tan} \\ | ||
+ | =&m \cdot l \cdot \ddot{\phi}(t) | ||
+ | \end{eqnarray*} | ||
+ | Insgesamt erhält man also: | ||
+ | $$-m \cdot g \cdot \sin(\phi(t)) = m \cdot \ddot{\phi}(t)$$ | ||
+ | |||
+ | Nun nimmt man als Näherung an, dass für kleine Winkel $\phi$ gilt ((Anmerkung: | ||
+ | $$\phi \approx \sin(\phi)$$ | ||
+ | |||
+ | Damit erhält man die Differentialgleichung | ||
+ | $$\ddot{\phi}(t) = -\frac{g}{l} \cdot \phi(t)$$ | ||
+ | |||
+ | mit der Lösung ++++ | ||
+ | $$\phi(t) = \phi_{max} \cdot \sin(\sqrt{\frac{g}{l}}\cdot t + \phi_0).$$ | ||
+ | Hierbei bezeichnet $\phi_{max}$ die Winkelamplitude und $\phi_0$ die Phasenverschiebung (also den Startwinkel bei $t=0$). Aus der Lösung kann man außerdem die Winkelfrequenz $\omega$ ablesen und daraus die Periodendauer $T$ bestimmen: | ||
+ | \begin{eqnarray*} | ||
+ | \omega =& \sqrt{\frac{g}{l}} \\ | ||
+ | T =& 2 \pi \sqrt{\frac{l}{g}} | ||
+ | \end{eqnarray*} | ||
==== Physikalisches Pendel ==== | ==== Physikalisches Pendel ==== | ||
- | Bei einem physikalisches Pendel wird nicht mehr von eine Punktmasse ausgegangen, es wird auch die Form und Ausdehnung des Körpers berücksichtigt. Es ist aber trotzdem | + | Bei einem physikalisches Pendel wird nicht mehr von einer Punktmasse ausgegangen. Stattdessen |
+ | |||
+ | **Periodendauer: | ||
+ | $$T=\frac{2\pi}{\omega}=2\pi\sqrt{\frac{I}{mgd}}$$ | ||
+ | |||
+ | |||
+ | =====Weitere harmonische Oszillatoren===== | ||
+ | Außer den üblichen bekannten Pendeln gibt es noch weitere Oszillatoren, | ||
+ | |||
+ | ====Federpendel==== | ||
+ | Das Federpendel ist eine Masse an einer mechanischen Feder, welches durch eine Auslenkung nach unten oder nach oben zum Schwingen angeregt wird. | ||
+ | [{{ : | ||
+ | [{{ : | ||
+ | Die Differentialgleichung des Federpendels ist gegeben durch | ||
+ | $$F=k \cdot y(t) = - m \cdot \ddot{y}(t).$$ | ||
+ | Dabei ist $k$ die Federkonstante (Erinnerung: | ||
+ | $$y(t) = y_{max} \cdot \sin(\omega_0 \cdot t)$$ | ||
+ | , wobei $\omega_0 = \sqrt{\frac{D}{m}}$ die Eigenfrequenz und $y_{max}$ die Amplitude sind. | ||
+ | |||
+ | ====Elektrischer Schwingkreis==== | ||
+ | [{{ : | ||
+ | Der elektrische Schwingkreis ist eine elektrische Schaltung, welche aus Spule und Kondensator besteht. Hierbei schwingt die Energie zwischen dem elektrischen Feld des Kondensators und dem magnetischen Feld der Spule. | ||
+ | Die Diffenrentialgleichung dieses Systems ist gegeben durch | ||
+ | $$\frac{1}{C} q(t) = -L \cdot \ddot{q}(t).$$ | ||
+ | Dabei ist die Ladung $q(t)$ abhängig von der Zeit, $C$ ist die Kapazität des Kondensators und $L$ ist die Induktivität der Spule. | ||
+ | Die Lösung ist | ||
+ | $$q(t) = C \cdot U_0 \cdot \cos( \sqrt{\frac{1}{CL}} \cdot t)$$ | ||
+ | , wobei $\omega = \sqrt{\frac{1}{CL}}$ die Eigenfrequenz und $U_0$ die Maximalspannung am Kondensators ist. | ||
+ | Daraus lässt sich auch die Lösung für die Stromstärke ermitteln durch | ||
+ | $$I(t) = -\dot{q}(t) = C \cdot \omega \cdot U_0 \cdot \sin(\omega\cdot t).$$ | ||
+ | Durch das Hinzufügen eines Ohmschen Widerstandes R wird der Schwingkreis zu einem gedämpften Schwingkreis und die Differentialgleichung lässt sich analog zu der einer gedämpften Schwingung lösen. Sie ist gegeben durch | ||
+ | $$\frac{1}{C} q(t) + R \cdot \dot{q}(t) = -L \cdot \ddot{q}(t).$$ | ||