Der Versuch wurde durchgeführt von: Marius Burgath, Matr.Nr.: 10028062

Anmerkung: Mein Gruppenpartner ist abgesprungen - Herr Weber wurde bereits benachrichtigt. Bisher hat sich noch kein neuer Gruppenpartner finden können, weshalb ich den Versuch alleine durchführe und entsprechend auch dieses “Wiki-Logbuch” sowie den Versuchsbericht alleine bearbeite.

Auf dieser Wiki-Seite werden ergänzend zu dem Versuchsbericht meine Versuchsdurchführung sowie meine aufgenommenen Messwerte genauer dokumentiert.
Im ersten Teil dieses “Logbuchs” gehe ich auf die theoretischen Grundlagen ein und beantworte im Zuge dessen die Vorbereitungsfragen aus der Versuchsanleitung. Anschließend werden Versuchsaufbau und Versuchsdurchführung mit Bildern/Videos dokumentiert. Im letzten Abschnitt sind meine aufgenommenen Messwerte tabellarisch aufgeführt.

Der grundlegende Versuchsaufbau ist wie folgt: Ein Faden wird mit einer “Drehscheibe” (in unserem Versuch zunächst eine Metallstange) verbunden und anschließend aufgehängt. Zunächst befindet sich der ganze Aufbau in Ruhe. Wird der Drehstab dann allerdings um einen kleinen Winkel $\phi$ aus der Ruhelage gedreht, so wird auch der Draht etwas “verdrillt”. Beim Loslassen kommt es dann zu harmonischen Schwingungen mit Periodendauer $T$, da ein rücktreibendes Drehmoment die Stange wieder zurück in die Ruhelage drückt. Das rücktreibende Drehmoment kann beschrieben werden durch $M = -D_{R}\cdot \phi$. Dabei ist $D_{R}$ die Winkelrichtgröße und im Allgemeinen von Drahtmaterial und Abmessungen abhängig.
Analog zur bekannten Newton-Gleichung ($F = m \cdot a$) kann für die Drehbewegungen die Differentialgleichung $I \cdot \ddot{\phi} = M = -D_{R}\cdot \phi$ aufgestellt werden. Es ergibt sich also insgesamt die folgende Differentialgleichung für den Winkel $\phi$: $$\ddot{\phi} = \frac{-D_{R}}{I} \cdot \phi$$ Dies ist der bekannte “harmonische Oszillator”. Die DGL für $\phi$ hat also die allgemeine Lösung $\phi(t) = A\cdot \cos(\omega t) + B\cdot \sin(\omega t)$, wobei $\omega = \sqrt\frac{D_{R}}{I}$ für die Kreisfrquenz der Schwingung gilt und $A$ und $B$ Konstanten sind. Die Konstanten werden durch die Anfangsbedingungen festgelegt. Für ein bestimmtes Paar an Anfangsbedingungen $\phi(t = 0)$ und $\dot{\phi}(t = 0)$ ergibt sich die Lösung der Bewegungsgleichung zu $\phi(t) = \phi_{0}\cos(\omega t)$. Zunächst gilt es herausfinden, für welche Anfangsbedingungen sich diese spezielle Lösung ergibt (Aufgabe 1.) aus der Versuchsanleitung). Durch direktes Nachrechnen sieht man, dass sich die gesuchte Lösung für die Anfangswerte $\phi(t = 0) = \phi_{0}$ und $\dot{\phi}(t = 0) = 0$ ergibt. Bei den Anfangsbedingungen $\phi(t = 0) = \phi_{0}$ und $\dot{\phi}(t = 0) = 0$ ergeben sich nämlich die Konstanten $A$ und $B$ wie folgt: $$\phi_{0}\overset{!}{=} \phi(t = 0) = A\cdot \cos(\omega \cdot 0) + B\cdot \sin(\omega \cdot 0) = A \cdot 1 + B\cdot 0 = A \; \Rightarrow A = \phi_{0}$$ $$0\overset{!}{=} \dot{\phi}(t = 0) = -A\omega\cdot\sin(\omega t) + B\omega\cdot\cos (\omega t)\bigg\rvert_{t = 0} = -A\omega\cdot 0 + B\omega\cdot 1 = B\omega \; \Rightarrow B\omega = 0 \; \Rightarrow B = 0$$ Es ergibt sich also insgesamt die folgende Lösung der Bewegungsgleichung, wenn die Anfangswerte $\phi(t = 0) = \phi_{0}$ und $\dot{\phi}(t = 0) = 0$ genutzt werden: $$\phi(t) = \phi_{0}\cos(\omega t)$$


Nun lässt sich durch Einsetzen in die Bewegungsgleichung noch zeigen, dass tatsächlich $\omega = \sqrt\frac{D_{R}}{I}$ die Frequenz ist (also Aufgabe 3.) der Versuchsanleitung). Aus $\phi(t) = \phi_{0}\cos\Biggl(\sqrt\frac{D_{R}}{I} t\Biggr)$ folgt die zweite Ableitung $\ddot{\phi(t)} = -\phi_{0}\Biggl(\sqrt\frac{D_{R}}{I}\Biggr)^2\cos\Biggl(\sqrt\frac{D_{R}}{I} \cdot t\Biggr)$. Setzt man dies in die Bewegungsgleichung $I \cdot \ddot{\phi} = M = -D_{R}\cdot \phi$ ein, so folgt: $$\Rightarrow -I\cdot\phi_{0} \Biggl( \sqrt\frac{D_{R}}{I} \Biggr) ^2 \cdot\cos \Biggl( \sqrt\frac{D_{R}}{I} \cdot t\Biggr) = -D_{R}\cdot \phi_{0}\cdot\cos \Biggl( \sqrt\frac{D_{R}}{I} \cdot t\Biggr) \Rightarrow -\phi_{0}\cdot I\cdot \frac{D_{R}}{I} = -D_{R}\cdot \phi_0 \Rightarrow -D_{R}\cdot \phi_{0} = -D_{R}\cdot \phi_{0} \Rightarrow 1 = 1 \Rightarrow \textbf{wahre Aussage!}$$

Also: $\phi(t) = \phi_{0}\cos(\omega t)$ mit $\omega = \sqrt\frac{D_{R}}{I}$ löst tatsächlich die obige Differentialgleichung für $\phi$!



Wichtig ist nun noch zu wissen, in welchen Einheiten die beteiligten Größen gemessen und angegeben werden (Aufgabe 2.) aus der Versuchsanleitung):

• Drehmoment $M$ : $[M] = \textbf{N}\cdot\textbf{m}$. In der Praxis kann ein Drehmoment beispielsweise mit einer Balkenwaage gemessen werden (Aufgabe 4.) aus der Versuchsanleitung). Auf der einen Seite der Waage greift eine Kraft ($F_{1}$) im Abstand $l_{1}$ zur Drehachse der Waage an. Auf der anderen Seite der Waage kann man dann im Abstand $l_{2}$ einen Kraftmesser ansetzten, um eine so große Gegenkraft ($F_{2}$) einzustellen, dass die Balkenwaage ausgeglichen ist. Dann gilt das Kräftegleichgewicht $F_{2}\cdot l_{2} = F_{1} \cdot l_{1} = M$. Damit ist das Drehmoment bestimmt.
  
• Winkelrichtgröße $D_{R}$ : $[D_{R}] = \frac{\textbf{N}\cdot\textbf{m}}{\textbf{rad}}$
  
• Trägheitsmoment $I$ : $[I] = \textbf{kg}\cdot\textbf{m}^2$
  
• Winkel $\phi$ : $[\phi] = \textbf{rad}$ oder $[\phi] =\: ^\circ$. Dabei ist zu beachten, dass “Radiant” natürlich nur eine Hilfseinheit ist, also die Dimension einer Zahl hat ($ 1 \: \textbf{rad} = 1$)
  

Aus der Kreisfrequenz $\omega = \sqrt\frac{D_{R}}{I}$ kann nun leicht die Schwingungsdauer $T$ bestimmt werden. Es gilt nämlich, dass $\omega = 2\pi f$ und $f = \frac{1}{T}$, also $\omega = \frac{2\pi}{T}$. Damit folgt $\sqrt\frac{D_{R}}{I}=\omega = \frac{2\pi}{T}$. Durch Umstellen ergibt sich dann direkt die Schwingungsdauer: $$ T = 2\pi\sqrt\frac{I}{D_{R}}$$ Diese Periodendauer ist die zentrale Größe, die in den folgenden Versuchen gemessen wird. Daraus lassen sich dann das Trägheitsmoment $I$ oder die Winkelrichtgröße $D_{R}$ bestimmen. Die Winkelrichtgröße ist eine spezifische Größe für den verwendeten Draht. Aus der Elastizitätstheorie ergibt sich, dass $D_{R} = \frac{\pi \cdot G\cdot r^4}{2\cdot L}$. Dabei ist $G$ das Torsionsmodul des Drahtes (Materialkonstante) und $r$ der Drahtradius sowie $l$ die Drahtlänge. Sind Drahtradius, Drahtlänge und Trägheitsmoment des angehängten Körpers bekannt, so kann man durch die Messung der Periodendauern $T$ also einen Wert für das Torisonsmodul finden. An der Gleichung für $D_{R}$ ist erkennbar, dass der Einfluss des Drahtradius enorm ist, da vierte Potenz! Wird etwa ein neuer Radius von $r' = 2r$ gewählt, so folgt $D_{R}' = 2^4\cdot D_{R} = 16\cdot D_{R}$. Wird der Radius hingegen vervierfacht, so steigt die Winkelrichtgröße um das 256-fache (also $r' =4r \Rightarrow D_{R}'=256\cdot D_{R}$). Kleine Änderungen des Drahtradius $r$ haben also sehr große Auswirkungen auf $D_{R}$!


Weiter oben wurde die Differentialgleichung für $\phi$ durch die Analogie zweischen der Translations- und Rotationsbewegungen aus der Newton-DGL ermittelt. Dies soll im Folgenden noch aus der Energieerhaltung ermittelt werden (Aufgabe 5.) aus der Versuchsanleitung). Wirkt auf das System ein Drehmoment, so wird Dreharbeit bzw. Rotationsarbeit verrichtet. Es gilt für die Rotationsarbeit dabei $W = \int M \: d\phi$ sowie etwas allgemeiner $W = \int \vec{M} \cdot d{\vec{\phi}}$. Eine Drehung des Systems um $d\phi$ bewirkt folglich eine Änderung der Arbeit um $dW = M \cdot d\phi$. Die verrichtete Rotationsarbeit ist dabei in Form von Rotationsenergie gespeichert. Für die Rotationsenergie gilt allgemein $E_{rot}=\frac{1}{2}I\cdot \omega^2$. Mit der Kettenregel folgt dann $\frac{dE_{rot}}{dt} = \frac{1}{2}I\cdot 2\omega \cdot \frac{d\omega}{dt}$. Beachtet man nun, dass $\omega = \frac{d\phi}{dt}$ die Winkelgeschwindigkeit ist, so folgt $\frac{dE_{rot}}{dt} = \frac{1}{2}I\cdot 2\frac{d\phi}{dt} \cdot \frac{d^2\phi}{dt^2}$. Insgesamt ergibt sich also $dE_{rot} = I\cdot d\phi \cdot \ddot{\phi}$. Da die Rotationsarbeit in Form von Rotationsenergie gespeichert ist, folgt mit dem Energieerhaltungssatz: $$dW = dE_{rot} \Rightarrow M \: d\phi = I \cdot d\phi \cdot \ddot{\phi} \Rightarrow I\cdot \ddot{\phi} = M = -D_{R} \cdot \phi$$ Im letzten Schritt wurde natürlich genutzt, dass $M = -D_{R} \cdot \phi$ das rücktreibende Drehmoment ist.
Insgesamt ließ sich also die DGL $I\cdot \ddot{\phi} = M$ und damit $I\cdot \ddot{\phi} -D_{R} \cdot \phi$ aus dem Energiesatz herleiten.




Die letzte Vorbereitungsaufgabe behandelt den Satz von Steiner (Aufgabe 6.) aus der Versuchsanleitung). Mit diesem kann das Trägheitsmoment für eine Rotation um eine Achse parallel zur Schwerpunktsachse berechnet werden, wenn das Trägheitsmoment für eine Rotation um diese Achse durch den Schwerpunkt bekannt ist. Für den vorliegenden Versuchsaufbau ist der Satz von Steiner nicht von zentraler Bedeutung, da der Metallstab im Schwerpunkt aufgehängt ist und somit um eine Achse durch den Schwerpunkt rotiert. Dennoch ist der Satz von Steiner ein sehr wichtiger Satz in der Physik. Der Satz von Steiner lautet $I_{B} = I_{S} + a^2 \cdot m$. Dabei ist $I_{s}$ das Trägheitsmoment für eine Rotation um eine Achse durch den Schwerpunkt und $I_{B}$ das Trägheitsmoment bei Rotation um eine Achse parallel dazu im Abstand $a$. Mit folgender Skizze lässt er sich leicht beweisen, wobei die Rotationsachsen jeweils aus der Zeichenebene hinaus zeigen:

Man zerlegt also den Ortsvektor eines Massenelements bezüglich der Achse $B$ in zwei Anteile: Einen Ortsvektor bzgl. der Rotationsachse $S$ durch den Schwerpunkt sowie den Abstandsvektor $\vec{a}$ zwischen den Achsen $B$ und $S$. Das Trägheitsmoment für eine Rotation um die Achse $B$ parallel zur Schwerpunktsachse kann dann mit obiger Skizze wie folgt bestimmt werden: $$I_{B} = \int_{V} r^2 \: dm =\int_{V} \Bigl( \vec{r_{sp}}+\vec{a} \Bigr)^2 \: dm = \int_{V} r_{sp}^2 \: dm + \int_{V} 2\vec{a}\cdot \vec{r_{sp}} \: dm + a^2 \int_{V} \: dm = \int_{V} r_{sp}^2 \: dm + 2\vec{a}\int_{V} \vec{r_{sp}} \: dm + a^2 \cdot m = I_{s} + a^2 \cdot m$$

Beim vorletzten Gleichheitszeichen wurde benutzt, dass eine Volumenintegration über alle Massenelemente natürlich die Gesamtmasse ergibt. Beim letzten Gleichheitszeichen wurde die Definition des Trägheitsmoment bezüglich des Schwerpunktes benutzt. Ebenso wurde genutzt, dass aus der Definition $\vec{r_{s}} = \frac{1}{m}\int_{V}\vec{r} \: dm$ des Schwerpunktes folgt, dass $\int_{V}\vec{r_{sp}} \: dm = 0 $, weil die $\vec{r_{sp}}$ ja genau die Ortsvektoren bezüglich des Schwerpunktes sind. Wir befinden uns also im Scherpunktsystem, sodass natürlich $\vec{r_{s}} = 0$ und damit dann $\int_{V}\vec{r_{sp}} \: dm = m\cdot \vec{r_{s}}= 0$.
Insgesamt ergibt sich also der Satz von Steiner zu $I_{B} = I_{S} + a^2 \cdot m$, wie behauptet.









Mit dem Versuchsaufbau soll unter anderem das Torsionsmodul des Drahtes aus den gemessenen Periodendauern bestimmt werden, wofür das Trägheitsmoment des angehängten Metallstabes benötigt wird. Die sich drehende Stange kann als Zylinder mit homogener Dichte $\rho$, Radius $R$ und Länge bzw. Höhe $l$ angesehen werden. Bei den Experimenten zur Drehschwingung rotiert die Stange um eine Achse durch den Schwerpunkt, allerdings nicht um die Achse mit dem kleinsten Hauptträgheitsmoment, sondern um eine der beiden Achsen mit dem größeren Trägheitsmoment. Ich platziere den Zylinder für die folgende Berechnung so im Koordinatensystem, dass seine Längsachse in z-Richtung zeigt. Die Zylinderstänge rotiere dann o.B.d.A. um die y-Achse (wegen Zylindesymmetrtie ergäbe sich für eine Rotation um die x-Achse das gleiche Ergebnis). Aus dem ersten Semester ist bekannt, dass sich das entsprechende Trägheitsmoment um die y-Achse dann wie folgt berechnen lässt: $$I_{yy}=\int\limits_{V}((|\vec{r}|^2-y^2)\:dm = \int\limits_{V}(|\vec{r}|^2-y^2)\cdot\rho\:dV$$ Für die Integration wählt man sinnvoller Weise Zylinderkoordinaten. Dann ist das neue Volumenmaß $dV = r\:dr\:d\theta\:dz$ sowie $\vec{r} = (r\cdot\cos(\theta),\: r\cdot\sin(\theta),\:z)$ ein Vektor in Zylinderkoordinaten. Damit gilt $|\vec{r}|^2 = r^2 + z^2$ und $y^2 = r^2\cdot\sin(\theta)^2$. Damit lässt sich die Integration ausführen: $$ I_{yy} = \rho\int\limits_{-\frac{l}{2}}^{\frac{l}{2}}\int\limits_{0}^{2\pi}\int\limits_{0}^R (r^2+z^2-r^2\cdot\sin(\theta)^2)\cdot r \:dr\:d\theta\:dz =\rho\int\limits_{-\frac{l}{2}}^{\frac{l}{2}}\int\limits_{0}^{2\pi}\int\limits_{0}^R (r^3+rz^2-r^3\cdot\sin(\theta)^2) \:dr\:d\theta\:dz = \rho\int\limits_{0}^{2\pi}\int\limits_{0}^R \Bigl\lbrack zr^3+\frac{1}{3}rz^3-zr^3\cdot\sin(\theta)^2)\Bigr\rbrack_{z = -l/2}^{z = l/2} \:dr\:d\theta = \rho\int\limits_{0}^{2\pi}\int\limits_{0}^R (lr^3+\frac{1}{12}rl^3-lr^3\cdot\sin(\theta)^2) \:dr\:d\theta$$ $$I_{yy} = \rho\int\limits_{0}^{2\pi} \Bigl\lbrack \frac{1}{4}lr^4+\frac{1}{24}r^2l^3-\frac{1}{4}lr^4\cdot\sin(\theta)^2)\Bigr\rbrack_{r = 0}^{r = R} \:d\theta = \rho\int\limits_{0}^{2\pi} \frac{1}{4}lR^4+\frac{1}{24}R^2l^3-\frac{1}{4}lR^4\cdot\sin(\theta)^2\:d\theta = \rho\int\limits_{0}^{2\pi} \frac{1}{4}lR^4(1-\sin(\theta)^2)+\frac{1}{24}R^2l^3\:d\theta = \rho\int\limits_{0}^{2\pi} \frac{1}{4}lR^4\cos(\theta)^2+\frac{1}{24}R^2l^3\:d\theta$$ Dies ist nun ein “Standardintegral”. Ein Blick in die Integraltabelle liefert $\int \cos(x)^2 \:dx = \frac{\cos(x)\cdot\sin(x)+x}{2}$. Damit gilt für das Integral: $$I_{yy} = \rho\: \Bigl\lbrack \frac{1}{4}lR^4\cdot \frac{\cos(\theta)\cdot\sin(\theta)+\theta}{2}+\frac{1}{24}l^3R^2\theta \Bigr\rbrack_{0}^{2\pi} = \rho \:\Bigl( \frac{1}{4}R^4\cdot l\cdot\pi + \frac{1}{12}l^3\cdot R^2 \cdot \pi \Bigr) $$ Ein Zylinder mit Radius $R$ und Höhe $l$ hat das Volmen $V_{zyl} = \pi\cdot R^2\cdot l$. Mit der homogenen Dichte $\rho$ ergibt sich dann die Zylindermasse zu $\rho \cdot V_{zyl} = M_{zyl} =:m$. Damit folgt: $$I_{yy} = \rho \: (\pi R^2\cdot l) \Bigl( \frac{1}{4}R^2 + \frac{1}{12}l^2 \Bigr)= m\: \Bigl( \frac{1}{4}R^2 + \frac{1}{12}l^2 \Bigr)$$ Insgesamt ist also das Trägheitsmoment des Zylinderstabes bei Rotation um eine Achse wie im Versuchsaufbau: $$I_{yy}= \frac{1}{4}m\cdot R^2 + \frac{1}{12}m\cdot l^2 $$

Meine Messungen führe ich nicht nur mit dem Metallstab als Pendelkörper durch, sondern auch mit anderen Geometrien wie bspw. einem Quader. Die dafür benötigten Formeln für die Trägheitsmomente entnehme ich Tabellen aus dem Internt; mehr dazu in der Versuchsauswertung.

Es sollten mehrere Versuche zu Drehschwingungen durchgeführt werden. In den ersten Versuchen ging es darum, das Torsionsmodul eines Drahtes (Gitarrensaite) zu bestimmen. Als grundlegender Versuchsaufbau wurde dafür eine Metallstange mit der Gitarrenseite verbunden und anschließend an einer Aufhängvorrichtung angebracht. Man konnte dann, wenn der Aufbau zunächst in Ruhe ist, den Metallstab um einen kleinen Anfangswinkel $\phi$ auslenken, sodass der Metallstab aufgrund der Verdrillung des Drahtes in der Ebene schwingt bzw. eine Drehbewegung um eine Achse entlang des Drahtes ausführt, die durch den Stabschwerpunkt stößt.
Für die Messung war das Trägheitsmoment des Drahtes von Bedeutung, welches von der Drahtmasse, der Drahtdicke und der Drahtlänge abhängt. Diese Drehbewegung ist periodisch mit Schwingungsdauer $T$. In Abhängigkeit von der Stablänge kann dann die Zeit $T$ gemessen und daraus dann das Torsionsmodul $G$ ermittelt werden.
Für die Messung muss das Trägheitsmoment des angehängten Metallstabes bekannt sein, also dessen Eigenschaften. Die Stabmasse wurde mit einer normalen Küchenwaage gemessen, die Länge des Drahtes mit einem Zollstock (bis auf einen Millimeter genau) und die Dicke des Drahtes mit einem Geodreieck, da man dieses am Stabende besser als den Zollstock ansetzen konnte:

Anschließend habe ich mir Gedanken gemacht, wie man den Metallstab gut mit der Gitarrensaite (im Schwerpunkt des Stabes!) verbinden und auslenken kann, um für die Drehschschwingung zu sorgen. Die Gitarrensaite habe ich dafür fest um den Metallstab gewickelt, damit dieser beim Rotieren nicht hin - und herrutscht, sondern sich mit dem Draht bewegt. Als Aufhängvorrichtung habe ich einen alten Stock benutzt. Dieses habe ich an meinem Schreibtisch festgeklebt und beschwert, damit er nicht rutscht. Das andere Ende der Gitarrensaite ließ sich dann gut mit dem Stock verknoten:


Der Versuch war also aufgebaut. Nun zur eigentlichen Messung. Insgesamt ging es darum, das Torsionsmodul $G$ der verwendeten Gitarrensaite zu bestimmen. Wird der Metallstab aus der Ruhelage um einen kleinen Winkel $\phi$ ausgelenkt, so kommt es zu Schwingungen mit Periodendauer $T$. Für diese Periodendauer gilt, wie bereits weiter im oberen Theorieabschnitt begründet: $$ T = 2\pi\sqrt\frac{I}{D_{R}}=2\pi\sqrt\frac{I}{\frac{\pi \cdot G\cdot r^4}{2\cdot L}} $$ Es lässt sich also bei bekanntem Drahtradius $r$ sowie bekanntem Trägheitsmoment $I$ der angehängten Metallstange durch eine Messung der Periodendauer $T$ bestimmen, wie groß das Torsionsmodul $G$ des Drahtes ist. Die Periodendauer habe ich händisch mit einer Stoppuhr am Handy gestoppt und das Trägheitsmoment des Metallstabes lässt sich mit der gemessenen Masse sowie Länge und Stabdicke (siehe die ersten drei Bilder) bestimmen. Der Drahtradius ist nun die größte Herausforderung, da dieser deutlich kleiner als 1 mm war, meine Längenmessgeräte aber alle nur eine Millimeterskala hatten. Ich bin letztendlich mehr oder weniger durch Zufall auf eine Möglichkeit gekommen, die Drahtdicke abzuschätzen: Die verwendete Gitarrensaite war in sehr guter Näherung genau so breit wie die Strichstärke eines Fineliners von mir:

Die Strichstärke meines Fineliners ist aber genormt und ist im rechten Bild zu sehen: Die Strichstärke ist $\Delta s=0,4\:\textbf{mm}$. Dies habe ich dann auch als Durchmesser für die Gitarrensaite verwendet und als Radius entsprechend die halbe Länge. Das ist natürlich keine Präzisionsmessung, da mir keine guten Geräte zur Längenmessung zur Verfügung stehen. Es geht eher darum, eine realistische Abschätzung für die Drahtdicke zu erhalten. Dennoch habe ich mit dem grünen Fineliner einen Stift genutzt, den ich sehr selten zum Schreiben benutze, sodass die Finelinespitze noch recht gut dem “Idealzustand” entsprechen und nicht plattgedrückt oder “ausgefranst” sein sollte. Ein Blick in eine Wikipedia-Tabelle (https://de.wikipedia.org/wiki/Saitenst%C3%A4rke) zeigt, dass meine Abschätzung eine realistische Größenordnung für den Saitendurchmesser ist.
Nun konnte die Periodendauer $T$ in Abhängigkeit von der Länge $L$ der Gitarrensaite bestimmt werden. Um unterschiedliche Längen einzustellen, habe ich die Gitarrensaite immer etwas nach oben gezogen und neu befestigt (ungefähr in Abständen von $\Delta l=10\:\textbf{cm}$). Hier sind zwei Bilder, links mit einer größeren Drahtlänge und rechts mit einer sehr kurzen Drahtlänge. Auf dem rechten Bild lässt sich dann auch die Umwickelng des Metallstabes mit der Gitarrensaite besser erkennen:

Für verschiedene Saitenlängen habe ich nun die Periodendauer gemessen. Eine Messwerttabelle befindet sich im nächsten Abschnitt dieses “Log-Buchs”. Um das Messverfahren abschließend zu verdeutlichen, habe ich ein kleines Video erstellt:

Für das Viedo habe ich die Anfangsauslenkung recht groß eingestellt, damit die Drehschwingung in der Ebene gut erkennbar ist. Bei den tatsächlichen Messungen habe ich die Auslenkung etwas kleiner gewählt. Ebenso befindet sich an dem einen Stabende ein kleiner weißer Sticker als Markierung. Diesen habe ich nur angebracht, um mich besser orientieren zu können und die Periodendurchgänge besser ablesen zu können (also wann der Stab wieder in der Anfangsausrichtung ist!).






In weiteren Versuchen sollte nun das Experiment wiederholt werden, nur mit anderen Drähten als Torsionsaufhängung. Dabei wird zunächst weiterhin der gleiche Metallstab wie eben als Pendel genutzt. Zunächst einmal wurde mir eine weitere, sehr dünne Gitarrensaite zur Verfügung gestellt, mit der das gleiche Experiment wie eben wiederholt werden konnte. Die dünne Gitarrensaite war allerdings sehr starr und ließ sich schlecht biegen. Anders als bei der dicken Saite von eben konnte insbesondere der Metallstab nicht durch bloßes Umwickeln fixiert werden - er ist während der Drehbewegung hin - und hergerutscht, was die Messung verfälscht hat, da der Stab dann keine Drehung mehr um eine Schwerpunktsachse ausgeführt hat. Zudem kam es zu einer sehr starken “Torkelbwegung”. Aus diesem Grund musste ich zusätzlich mit Klebeband fixieren. An den beiden Bildern ist zudem erkennbar, dass die verwendete Gitarrensaite wirklich sehr dünn war:

Die Periodendauer konnte dann exakt wie im Versuch gemessen werden; Messwerte im nächsten Abschnitt dieser Wiki-Seite. Auch hierzu ein kleines Video:

Man sieht in dem Video, dass es trotzdem zu einer kleinen Torkelbewegung kam. Der Stab musste gerade und im Gleichgewicht losgelassen werden, um die reine Pendelbewegung ohne Störung beobachten zu können. Ebenso ist der Draht so dünn gewesen, dass ich die Dicke des Drahtes, die für die Berechnung des Torsionsmoduls $G$ benötigt wird, nicht gut bestimmen konnte. Wie im theoretischen Abschnitt von eben aber gesehen, hat die Veränderung der Drahtdicke einen extremen Einfluss, da dieser in der 4. Potenz eingeht! Eine gute Auswertung wäre aufgrund der sehr groben Abschätzung also nicht möglich gewesen. Mit den aufgenommenen Messwerten aus dem nächsten Abschnitt dieses “Log-Buchs” ließ sich trotzdem recht gut der allgemeine lineare Zusammenhang zwischen $T^2$ und der Drahtlänge $L$ bestätigen. Näheres dazu in der Versuchsauswertung.





Um noch eine weitere Messreihe aufnehmen zu können, habe ich einen anderen Draht genutzt, den ich bei mir gefunden habe (vmtl. eine Art “Blumendraht”). Er war allerdings nur auf einen bloßen Holzblock aufgewickelt, sodass das Drahtmaterial unklar war:

Der Draht war etwas mehr als doppelt so dick wie die Gitarrensaite aus der ersten Versuchsreihe, was sich prüfen ließ, indem die Gitarrensaite gebogen wurde, um beide Enden der Saite nebeneinader halten und mit der Dicke des Blumendrahtes vergleichen zu können. Auch mit einem Geodreieck konnte dieser Eindruck bestätigt werden, sodass sich die Dicke mit dem Geodreieck zu etwa 0,9 mm abschätzen ließ:

Exakt so wie in den ersten beiden Versuchsreihen auch, konnte die Periodendauer in Abhängigkeit von der Drahtlänge gemessen werden. Der neue Draht war wesentlich biegsamer bzw. besser formbar als die beiden Gitarrensaiten von eben. Am Bambusstab konnte der Draht durch festes Umwickeln deshalb sehr gut fixiert werden; durch neue Umwicklungen ließen sich sehr leicht neue Drahtlängen einstellen. Als Pendelkörper habe ich den gleichen Metallstab wie eben genutzt, wobei ich mit etwas Klebeband zur Fixierung nachhelfen musste:

Die Periodendauer habe ich wieder mit der Handy-Stoppuhr gemessen und das Torsionsmodul $G$ des neuen Drahtes konnte bestimmt werden, woraus sich auf das Drahtmaterial schließen lässt (siehe Versuchsbericht). Allgemein waren die Periodendauern aufgrund des neuen Drahtmaterials sehr klein und die Messung entsprechend schwierig. Die Messwerte sind wieder im nächsten Abschnitt dieser Wiki-Seite. Zuletzt ein kleines Video:









In den ersten Versuchen sollte stets das Torsionsmodul $G$ des Drahtes bei bekanntem Trägheitsmoment des Pendelkörpers bestimmt werden. In den nachfolgenden Versuchsreihen geht es darum, für verschiedene Geometrien als Pendelkörper das Trägheitsmoment durch die Drehschwingungen zu bestimmen, wobei das eben gemessene Torsionsmodul für die Drähte bekannt ist und verwendet wird.
Zuerst habe ich einen alten Holzquader genutzt. Für diesen kann man eine homogene Dichte annehmen und das Trägheitmoment für eine Drehung um den Schwerpunkt ist tabelliert. Nach der Messung kann der experimentelle Wert mit dem Wert aus den geometrischen Abmessungen verglichen werden. Der Quader hatte eine Masse von $m_Q =167\:\textbf{g}$ sowie die Länge $l=12,1\:\textbf{cm}$, Breite $b=9,5\:\textbf{cm}$ und Höhe $h=3,2\:\textbf{cm}$ :

Der Quader musste nun mit dem Draht und der Aufhängung verbunden werden. Als Draht habe ich die Gitarrensaite aus der ersten Versuchsreihe mit $d=0,4\:\textbf{mm}$ als Durchmesser genutzt. Mit einem kleinen Nagel im Schwerpunkt des Holzquaders ließ sich die Drahtsaite gut mit dem Pendel verbinden. Im mittigen und rechten Bild sind zwei unterschiedlich eingestellte Drahtlängen zu sehen:

Wie in den ersten Versuchsreihen wurde die Periodendauer $T$ gemessen - entsprechende Messwerte im nächsten Abschnitt. Das folgende Video zeigt die Pendelbewegung des Quaders. Es war eine recht gut Schwingung ohne große “Torkelbewegung” möglich, wobei die kleine Markierung auf dem Quader wider nur eine Orientierung für mich war, um volle Perioden besser ablesen zu können:





Nun sollte noch eine weiterer Gegenstand als Pendelkörper gewählt werden. Ich habe mich für eine sehr dünne, quadratische Pappplatte entschieden. Die Kantenlänge wurde zu $a=20\:\textbf{cm}$ gemessen und die Masse zu $m=33\:\textbf{g}$:


Ursprünglich wollte ich als Torsionsdraht wieder die Gitarrensaite aus der ersten Messreihe mit $d=0,4\:\textbf{mm}$ wählen. Aufgrund der vielen Messungen war der Draht allerdings sehr gewellt und verbogen:

In den vorigen Messungen haben die hohen Pendelgewichte den Gitarrendraht noch straffen können. Bei der sehr leichten Platte war das aber nicht mehr möglich. Deshalb habe ich für das Experiment ein neues, relativ gerades Stück von dem “Blumendraht”, den ich in der zweiten Messreihe verwendet habe, genutzt. Über ein kleines Loch mittig in der Platte (Schwerpunkt!) ließ sich der Draht fixieren, wieder mit Markierung zum besseren Ablesen der Perioden:

Wie in allen Versuchen bisher auch ließ sich die Periodendauer $T$ messen, also die Zeit, bis der Ausgangszustand wieder erreicht ist. Die Messwerte sind wieder im nächsten Abschnitt dieser Wiki-Seite. Das folgende Video zeigt die Pendelbewegung. Es ist eine größere Torkelbewegung erkennbar als bei dem Quader zuvor, aber zumindest eine Periodendauer konnte gemessen werden. Wegen der sehr kurzen Periodendauern war die Messung aber nicht leicht:






In der Versuchsanleitung gab es nun noch die Anregung, mit einer mit Wasser gefüllten Weihnachtskugel zu experimentieren. Eine solche hatte ich nicht parat (zumindest keine, die ich mit Wasser hätte füllen können), weshalb ich ein kleines Glas genutzt habe. Durch ein Loch im Deckel ließ sich dieses mit Draht und Aufhängung verbinden:

Ich hatte also zwei exakt baugleiche Gläser zur Verfügung. In eines habe ich ein wenig Wasser gefüllt. Die Drehbewegungen im Video, links ohne Wasser und rechts mit Wasser:

Beide Gläser wurden in eine gleiche Anfangsauslenkung gebracht und es wurde auch jeweils der gleiche Draht (Der “Blumendraht”) verwendet. Man sieht, wenn man die Videos nebeneinander laufen lässt (das linke Video startet etwa bei 7 Sekunden), dass das Glas mit Wasser etwas stärker gedämpft ist und schneller zur Ruhe kommt. Bei dem mit Wasser gefüllten Glas kommen die Drehschwingungen früher zum Erliegen und es kommt nur noch zu kleinen Pendelbewegungen des “Glases als Ganzes”. Beim linken Video führt das Glas ohne Wasser hingegen auch ganz am Ende des Videos noch kleine Drehschwingungen aus. Der Effekt bzw. Unterschied zwischen den Gläsern ist aber leider wirklich nicht stark zu sehen. Mit Weihnachtskugeln wäre die Dämpfung vmtl. besser zu sehen gewesen. Weitere Kommentare dazu in meinem Versuchsbericht.

Betrachtung der Messunsicherheiten in der Versuchsauswertung. Hier nur die reinen Messwerte. Ich gebe einheitlich auf drei Nachkommastellen an. Weiteres dazu im Versuchsbericht.

1.) Messreihe mit dem Metallstab und der dicken Gitarrensaite
Die angehängte Metallstange als Pendelkörper wurde zu $m_s = 66\: \textbf{g}$ gemessen, mit Länge $l_s = 30\: \textbf{cm}$ sowie Durchmesser $d_s = 0,6\:\textbf{cm}$ (mit Geodreieck, siehe Bild weiter oben).
Die Gitarrensaite ließ sich zu einem Durchmesser von etwa $d = 0,4\:\textbf{mm}$ abschätzen, wie in dem Bild weiter oben ersichtlich (“Abschätzung mit Fineliner”).
Mit einer Stoppuhr wurde für unterschiedliche Drahtlängen $l_{\textbf{Draht}}$ die Periodendauer $T$ gemessen. Die Bewegung war nicht stark gedämpft und ich habe zwei Perioden $T_2$ gemessen, um Zeitunsicherheiten zu verringern. Folgende Messwerte wurden aufgenommen, wobei ich jeweils fünf Messungen durchgeführt habe, um in der Auswertung mitteln zu können. Die folgende Tabelle zeigt die Messwerte $T_2$ für verschiedene Drahtlängen sowie die anschließend berechneten Werte $T=T_2/2$:

2.) Messreihe mit dem Metallstab und der sehr dünnen Gitarrensaite
Als Pendelkörper wurde wieder die Metallstange mit $m_s = 66\: \textbf{g}$, $l_s = 30\:\textbf{cm}$ sowie Durchmesser $d_s = 0,6\:\textbf{cm}$ genutzt.
Der Durchmesser der Gitarrensaite ließ sich nicht gut abschätzen. Die folgenden Messwerte habe ich also nicht zur Bestimmung des Torsionsmoduls $G$ des Drahtes genutzt, sondern um lediglich den linearen Zusammenhang zwischen $T^2$ und Drahtlänge $l_{\textbf{Draht}}$ zu bestimmen.
Mit einer Stoppuhr wurde für unterschiedliche Drahtlängen $l_{\textbf{Draht}}$ die Periodendauer $T$ gemessen. Die Bewegung war nicht stark gedämpft und ich habe wieder zwei Perioden $T_2$ gemessen, um Zeitunsicherheiten zu verringern. Folgende Messwerte wurde aufgenommen, wobei ich jeweils fünf Messungen durchgeführt habe, um in der Auswertung mitteln zu können:

3.) Messreihe mit dem Metallstab und dem neuen Draht (“Blumendraht”)
Als Pendelkörper wurde wieder die Metallstange mit $m_s = 66\:\textbf{g}$, $l_s = 30\:\textbf{cm}$ sowie Durchmesser $d_s = 0,6\:\textbf{cm}$ genutzt.
Als Torsionsdraht habe ich den neuen Draht mit dem Durchmesser von $d=0,9\:\textbf{mm}$ genutzt. Die gemessenen Periodendauern waren verglichen mit den anderen Messreihen sehr klein, weshalb ich für nur vier verschiedene Drahtlängen gemessen habe; sehr kleine Drahtlängen waren auch wegen starker Dämpfung nicht gut messbar.
Mit einer Stoppuhr wurde für unterschiedliche Drahtlängen $l_{\textbf{Draht}}$ die Periodendauer $T$ gemessen. Die Bewegung war für große Drahtlängen nicht stark gedämpft und ich habe wieder zwei Perioden $T_2$ gemessen, um Zeitunsicherheiten zu verringern. Bei sehr kleinen Drahtlängen war die Amplitude der Bewegung so stark gedämpft, dass sich mehrere hintereinander folgende Periodendauern nicht messen ließen. Dies lag vermutlich an der schnelleren Pendelbewegung bzw. der allgemein stärkeren Verdrillung des Drahtes und der damit verbundenen Dynamik. In der Messwerttabelle ist dies in den $T_{2}$-Zeilen mit “—” markiert. Die Messung nur einer Periodendauer erhöht aber natürlich den Einfluss der Zeitunsicherheit aufgrund meiner persönlichen “Schrecksekunde” - weitere Anmerkungen dazu im Versuchsbericht. Folgende Messwerte wurde aufgenommen, wobei ich jeweils fünf Messungen durchgeführt habe, um in der Auswertung mitteln zu können:

4.) Messreihe mit dem Holzquader und der dicken Gitarrensaite
Als Pendelkörper wurde nun ein Holzquader mit $m_Q = 167\:\textbf{g}$, sowie Länge $l=12,1\:\textbf{cm}$, Breite $b=9,5\:\textbf{cm}$ und Höhe $h=3,2\:\textbf{cm}$ genutzt.
Als Torsionsdraht habe ich wieder die Gitarrensaite aus der ersten Versuchsreihe mit einem Durchmesser von etwa $d = 0,4\:\textbf{mm}$ genutzt.
Mit einer Stoppuhr wurde für unterschiedliche Drahtlängen $l_{\textbf{Draht}}$ die Periodendauer $T$ gemessen. Die Bewegung war nicht stark gedämpft und ich habe zwei Perioden $T_2$ gemessen, um Zeitunsicherheiten zu verringern. Folgende Messwerte wurde aufgenommen, wobei ich jeweils fünf Messungen durchgeführt habe, um in der Auswertung mitteln zu können:

5.) Messreihe mit der Pappplatte und dem neuen Draht (“Blumendraht”)
Als Pendelkörper wurde nun die extrem dünne, starre Pappplatte mit der Masse $m_p=33\:\textbf{g}$ sowie der Kantenlänge $a=b=20\:\textbf{cm}$ (also quadratische Platte) genutzt.
Als Torsionsdraht habe ich den neuen Draht (aus der dritten Messreihe) mit dem Durchmesser von $d=0,9\:\textbf{mm}$ genutzt. Die gemessenen Periodendauern waren verglichen mit den anderen Messreihen sehr klein, weshalb ich für nur vier verschiedene Drahtlängen gemessen habe.
Mit einer Stoppuhr wurde für unterschiedliche Drahtlängen $l_{Draht}$ die Periodendauer $T$ gemessen. Die Bewegung war für große Drahtlängen nicht stark gedämpft und ich habe wieder zwei Perioden $T_2$ gemessen, um Zeitunsicherheiten zu verringern. Bei sehr kleinen Drahtlängen war die Amplitude der Bewegung so stark gedämpft, dass sich mehrere hintereinander folgende Periodendauern nicht messen ließen. Dies lag vermutlich an der schnelleren Pendelbewegung bzw. der allgemein stärkeren Verdrillung des Drahtes und der damit verbundenen Dynamik. In der Messwerttabelle ist dies in den $T_{2}$-Zeilen mit “—” markiert. Die Messung nur einer Periodendauer erhöht aber natürlich den Einfluss der Zeitunsicherheit aufgrund meiner persönlichen “Schrecksekunde” - weitere Anmerkungen dazu im Versuchsbericht. Folgende Messwerte wurde aufgenommen, wobei ich jeweils fünf Messungen durchgeführt habe, um in der Auswertung mitteln zu können. Wegen der sehr kurzen Periodendauern war dies sicherlich die ungenaueste Messung, die ich durchgeführt habe: