Wird der Draht mit der Drehscheibe um den Winkel $\varphi$ aus der Ruhelage ausgelenkt, so wirkt ein rücktreibendes Drehmoment D: \begin{align*} D &= -D_R \varphi \label{form:drehmoment} \end{align*} Die Lösung der Bewegungsgleichung dieses Systems \begin{align*} I \ddot{\varphi} &= -D_R \varphi \label{form:dgl} \end{align*} ist die harmonische Schwingung \begin{align*} \varphi(t)&=\varphi \cos{\omega t}; & \omega = \sqrt{\frac{D_R}{I}} \label{form:dgl-loesung} \end{align*} ist die Kreisfrequenz der Schwingung. Mit $\omega = \frac{2\pi}{T} \Rightarrow T = \frac{2\pi}{\omega}$ folgt für die Periodendauer T: \begin{align} T &= \frac{2\pi}{\omega} = 2\pi \sqrt{\frac{I}{D_R}} \label{form:periodendauer} \end{align} Die Winkelrichtgröße $D_R$ hängt von dem Material des Drahtes und seinen Abmessungen ab: Je härter das Material, je größer der Drahtradius, je kürzer der Draht, desto größer ist das rücktreibende Moment. Die Elastizitätstheorie (s. z. B. Gerthsen, Kap. 3.4) liefert: \begin{align} D_R &= \frac{\pi}{2} \frac{G \cdot r^4}{L} \label{form:berechnung-drehmoment} \end{align} Da der Radius mit der vierten Potenz einfließt, haben schon kleine Veränderungen von $r$ eine große Auswirkung. Zur Veranschaulichung eine Beispielrechnung: Seien $L=0,1m$ und $G=100GPa$. Seien $r_1 = 0,01m$ und $r_2=0,02m$. Dann folgt für $D_{R1}=\frac{\pi}{2} \frac{100 GPa \cdot 0,01m^4}{0,1m}= 1,6 \cdot 10^4 N\cdot m$ und $D_{R2}=\frac{\pi}{2} \frac{100 GPa \cdot 0,02m^4}{0,1m}= 2,5 \cdot 10^5 N\cdot m$.

Ansatz zur Lösung der DGL: \begin{align} A\cdot sin(\omega t)+B\cdot cos(\omega t) \end{align} Zur Bestimmung der Konstanten $A$ und $B$ werden die Anfangsbedingungen benötigt. Damit wie in der angegebenen Lösung $A=0$ und $B=\varphi_0$ sind, muss folgendes erfüllt sein: \begin{align} \varphi(0)&=A\cdot sin(\omega \cdot 0)+B\cdot cos(\omega\cdot 0)=B \overset{!}{=}\varphi_0\\ \dot{\varphi}(0)&=A\cdot cos(\omega\cdot 0)-B\cdot sin(\omega\cdot 0)=A \overset{!}{=} 0 \end{align}

$D$ hat die Einheit $N\cdot m$, da es sich um ein Drehmoment handelt.
$D_R$ hat nach oben die Einheit $\frac{N\cdot m}{rad}$.
Das Trägheitsmoment $I$ hat die Einheit $kg \cdot m^2$.
$\varphi$ hat die Einheit $rad$.

Setzt man Gleichung 3 in Gleichung 2 ein, erhält man: \begin{align*} - I\omega^2\varphi_0 cos(\omega t)&=-D_R\varphi_o cos(\omega t) && | : - \varphi_o cos(\omega t)\\ \Rightarrow I \omega^2&= D_R \\ \Rightarrow \omega^2 &= \frac{D_R}{I}\\ \Rightarrow \omega& = \sqrt{\frac{D_R}{I}} \end{align*}

Das Drehmoment lässt sich über $D= I \cdot \alpha$ berechnen, wobei $I$ das Trägheitsmoment ist und $\alpha$ die Winkelbeschleunigung. Ist das Trägeheitsmoment bekannt, lässt sich die Winkelbeschleunigung bestimmen, indem die Periodendauer gemessen wird. Es gilt $\alpha=\dot{\omega}=\frac{2\pi}{\dot{T}}$ und damit $D=\frac{I\cdot 2\pi}{\dot{T}}$

Die Arbeit, die man bei einer Drehung um $d\varphi$ verrichten muss, lässt sich analog zum Fall einer gradlinigen Bewegung durch $dW=D\cdot d\varphi$ berechnen. Zudem erhält man die Rotationsenergie aus $E_{rot}= \frac{1}{2} I \omega^2 = \frac{1}{2} I \dot{\varphi}^2$. Die Änderung der Rotationsenergie entspricht der Änderung der Arbeit. Leitet man also die beiden Formeln ab und setzt diese gleich, bekommt man:
\begin{align} D \dot{\varphi}&=I \dot{\varphi} \ddot{\varphi}\\ \Rightarrow D&=I \ddot{\varphi} \end{align} Setzt man nun die $D=-D_R \varphi$ ein, erhält man die gesuchte Formel.

Der Steinersche Satz lautet: \begin{align*} I_B=I_S+a^2M \end{align*} Um den Satz zu beweisen, benötigt man $I_B=\int_V r^2\,\mathrm{d}m=\int_V (r_{mS}+a)^2\,\mathrm{d}m=\int_V r^2_{mS}\,\mathrm{d}m+2a\cdot \int_V r_{mS}\,\mathrm{d}m+a^2\int_V \,\mathrm{d}m,\ \int_V r_{mS}\,\mathrm{d}m=r_{sM}M=0$. Bei den im Nachfolgenden durchgeführten Experimenten muss dieser nicht berücksichtigt werden, weil die Rotationsachsen gleich den Hauptträgheitsachsen sind.

Nun wenden wir uns der Versuchsdurchführung zu. Zunächst ein Überblick über die benutzten Materialien:

In diesem Abschnitt wird die Messung durchgeführt, mit deren Werten im Bericht das Torsionsmodul des Drahtes berechnet wird. Dazu habe ich die dickere Saite genutzt. Zunächst habe ich mittels einer Schieblehre den Radius als (0,220 $\pm$ 0,005)mm bestimmt. Dann habe ich das Gewicht, die Länge und den Radius des Stabes bestimmt zu m = (40,0 $\pm$ 0,5)g, R = (3 $\pm$ 1)mm und l= (18.0 $\pm$ 0.1)cm, wie im Folgenden zu sehen ist: Danach habe ich den Draht folgendermaßen aufgehängt: und den Stab sicher daran befestigt. Im Ganzen sah es dann so aus: Die folgenden Videos verdeutlichen den Versuchsablauf, einmal von der Seite und ein mal von oben betrachtet: Wie zu sehen ist, wurden jeweils 5 Periodendauern gemessen. Danach habe ich die Länge des Drahtes verkürzt, indem ich ihn um den Stab gewinkelt habe. Für die neue kürzere Länge wurden erneut 5 Periodendauern gemessen. Dies habe ich für 5 unterschiedliche Längen gemacht, um für den linearen Fit genug Dtanepunkte zu haben. Die Messwerte finden sich in folgender Tabelle:

In der folgenden Tabelle sind die Messwerte aufgeführt:

Die Auswertung findet sich im dazugehörigen Bericht.

Desweiteren haben wir den Versuch mit anderen Aufhängungen durchgeführt. Zuerst mit einem Stahlseil ($r=(4,5\pm 0,5)mm$). Die Versuchsdurchführung ist hier zu sehen: Dann mit einer Naturfaser Schnur ($r=(0,5\pm 0,3)mm$: Zudem einem Plastik Bindfaden ($r=(2,5\pm 0,5)mm$: Und einem Wollfaden $r=(0,5\pm 0,3)mm$:

In diesem Teil werden die Messungen durchgeführt, mit deren Werte später die Trägheitsmomente verschiedener Geometrien bestimmt werden.
Dazu habe ich den Versuch zunächst für ein zylindrisches Gewicht mit Radius r = (1,4 $\pm$ 0,1)cm, Höhe h = (3,7 $\pm$ 0,1)cm und m = (201,0 $\pm$ 0,5)g und Drahtlänge l = (67,0 $\pm$ 0,3)cm durchgeführt. Die Dauer von 5 Perioden betrug 7,98 s. Danach habe ich einen Topfdeckel mit den Werten r = (10,7 $\pm$ 0,1)cm, Höhe h = (0,7 $\pm$ 0,1)cm und m = (607,0 $\pm$ 0,5)g und Drahtlänge l = (58,0 $\pm$ 0,3)cm durchgeführt. Die Dauer von 5 Perioden betrug 83,33 s. Zuletzt habe ich einen nahezu quaderförmigen Tetrapak mit den Maßen a = (7,0 $\pm$ 0,1)cm, b = (21 $\pm$ 0,1)cm und c = (7,0 $\pm$ 0,1)cm benutzt. Dabei habe ich zuerst den halbvollen Tetrapak mit einer Masse von m = (528,0 $\pm$ 0,5)g und Drahtlänge l = (50,0 $\pm$ 0,3)cm verwendet. Den Tetrapak habe ich mit Klebeband so stabilisiert, dass er in der Horizontalen bleibt. Hier habe ich die Schwingungen gefilmt, damit man die starke Dämpfung der Auslenkung im Vergleich zu den Videos oben mit dem Stab erkennen kann. Die Dauer von 5 Perioden betrug 45,55 s. Im Anschluss habe ich den Tetrapak geleert, so dass die Masse nur noch (42 $\pm$ 0,5) g war. Nun haben 5 Perioden nur noch 18,61 s benötigt und es war keine Dämpfung zu erkennen.

Für die Zeitmessung mittels Stoppuhr habe ich meine Reaktionszeit bei einem erwarteten Ereignis bestimmt. Dazu habe ich ein Computerprogramm genutzt. Dort läuft eine Stoppuhr im Format 0.00 s und es soll die Leertaste gedrückt werden, wenn die Uhr 5.00 erreicht. Das Programm berechnet dann die Differenz zwischen Sollwert und gedrückter Zeit. Dies wird 10 mal wiederholt und daraus der Mittelwert als Unsicherheit der Zeitmessung von 5 Perioden genommen. Um die Unsicherheit für eine Periodendauer zu erhalten, wird das Ergebnis nochmal durch 5 geteilt.