Der Versuch wurde durchgeführt von: Franziska Niele und Malija Haida

Die Schwingungsdauer kann mithilfe der Kreisfrequenz bestimmt werden. Der Zusammenhang von einer Perioden dauer und der Frequez lautet $f=\frac{1}{T}$. Da wir die Kreisfrequenz betrachten, gilt: $f=\frac{\omega}{2\pi}$. Damit lässt sich die Schwingungsdauer berechnen durch:
$T=\frac{2\pi}{\omega}=\frac{2\pi}{\sqrt{\frac{D_R}{I}}}$

Um die Schwingungssgleichung $\varphi' '=-\frac{D_R}{I}\varphi$, mit $\omega=\sqrt{\frac{D_R}{I}}$ zu lösen machen wir den Ansatz:
$\varphi(t)=A\cdot cos(\omega t)+B\cdot sin(\omega t)$

An dem Punkt t=0 müssen folgende Bedingungen erfüllt sein:
$\varphi(t=0)=A\cdot cos(\omega t)+B\cdot sin(\omega t)=\varphi_0$
Daraus folgt, dass: $A=\varphi_0$

$\varphi'(t=0)=-A\cdot sin(\omega t)+ B\cdot cos(\omega t)=0$
Damit bekommen wir $B=0$

Somit lautet die Lösung der Gleichung:
$\varphi(t)=\varphi_0cos(\omega t)$

Mit den Anfangsbedinungen:
$\varphi(t=0)=\varphi_0$
$\varphi' (t=0)=0$

Einheit des Drehmoment D: $[Nm]$
Einheit der Winkelrichtgröße $D_R$: $[\frac{Nm}{rad}]$
Einheit des Trägheitsmoments I:$[kgm^2]$
Einheit des Winkels $\varphi$: $[rad]$

Gleichung (2): $I\varphi' '=D_R\varphi$
Gleichung (3):$\varphi(t)=\varphi_0cos(\omega t)$

Wobei nach Gleichung (3) gilt:
$\varphi' '(t)=-\omega^2\varphi_0cos(\omega t)$

Setzt man dies nun in Gleichung (2) ein, erhält man:
$-I\omega^2\varphi_0cos(t\omega)=-D_R\varphi_0cos(t\omega)$ |$:(-I\varphi_0$)
$\omega^2cos(t\omega)=\frac{D_R}{I}cos(t\omega)$ |$:cos(t\omega)$
$\omega^2=\frac{D_R}{I}$
$\omega=\sqrt{\frac{D_R}{I}}$

In der ersten Aufgabe haben wir bereits den Zusammenhang zwischen Schwingungsdauer und Kreisfrequenz hergeleitet. Damit ist es uns möglich die Kreisfrequenz zu berechnen und daraus dann mit $I=\frac{D_R}{\omega^2}$ den Trägheitstensor zu bestimmen. Weiter erkennt man aus Gleichung (2) ($I\varphi' '=D$) den Zusammenhang von dem Trägheitsmoment I und dem Drehmoment D.
Es ist uns somit möglich das Drehmoment experimentell zubestimmen, indem wir die Schwingungsdauer messen.

Die Arbeit bei einer Drehung um $d\varphi$ ist beschrieben durch:
$dW=D\cdot d\varphi$

Die Rotationsenergie kann man berechnen mit:
$E=\frac{1}{2}I\cdot d\varphi'^2$

Gleichsetzen liefert:
$D\cdot d\varphi=\frac{1}{2}I\cdot d\varphi'^2$ |dt

$D\cdot d\varphi'=\frac{1}{2}I\cdot d\varphi'\varphi' '$ |$:\varphi'$

$D=I\phi' '$ |$D=D_R\varphi$

$D_R\varphi=I\phi' '$

Damit wurde die Beziehung aus Gleichung (2) gezeigt.

Der Steinersche Satz lautet:
$I=I_S+md^2$
Mit dieser Formel wird der Zusammenhang zwischen zwei Trägheitsmomenten beschrieben, dessen Rotationachsen parallel zueinander liegen.
Dabei verläuft die Rotationsachse des Trägheitsmoments $I_S$ durch den Schwerpunkt des Körpers, der bertachtet wird und $d$ gibt den Abstand der beiden Achsen zueinander an.
Das physikalische Gesetz, das zu betrachten ist, das Verhalten des Trägheitsmoment im Schwerpunkt. Denn das Trägheitsmoment ist am geringsten, wenn es durch den Schwerpunkt des Körpers verläuft.

Prüfung des Trägheitsmoment:
Das Trägheitsmoment lässt sich in unserem Fall berechnen durch:
$I=\int_V \rho(x^2+z^2)d^3r$
Da wir können die Stange als Zylinder ansehen, weshalb man über die Zylinderkoordinaten integrieiren kann:
$I=\int_0^R dr\int_{-l/2}^{l/2}dz\int_0^{2\pi}d\varphi(\rho r(r^2sin^2(\varphi)+z^2))$
Weiter ist:
$\int_V \rho d^3r=\frac{m}{\pi lR^2}$

$I=\frac{m}{\pi lR^2}\int_0^R dr\int_{-l/2}^{l/2}dz\int_0^{2\pi}d\varphi(r^3sin^2(\varphi)+rz^2)$
$I=\frac{m}{\pi lR^2}\int_{-l/2}^{l/2}dz\int_0^{2\pi}d\varphi(\frac{1}{4}R^4sin^2(\varphi)+\frac{1}{2}R^2z^2)$
$I=\frac{m}{\pi lR^2}\int_{-l/2}^{l/2}dz(\frac{1}{4}R^4(\frac{1}{2}2\pi-sin^2(2\varphi)+\frac{1}{2}R^22\pi z^2)$
$I=\frac{m}{\pi lR^2}\int_{-l/2}^{l/2}dz(\frac{1}{4}R^4\pi+\frac{1}{2}R^22\pi z^2)$
$I=\frac{m}{\pi lR^2}(\frac{1}{4}R^4\pi l+\frac{1}{2}R^22\pi \frac{1}{3}\frac{l^3}{4})$
$I=m\frac{1}{4}R^2+m \frac{1}{12}l^2$

Dieses Ergebnis entscpricht auch der auf der Versuchsdurchführung angegebenen Formel.

In diesem Versuch wollen wir das Torsionsmodul eines Drahtes, genauer gesagt einer Gitarrensaite, bestimmen. Dafür haben wir mithilfe eines Stativs eine Stange an der Saite aufgehangen und dessen Drehschwingung bei verschiedenen Längen der Aufhängung gemessen (siehe Bilder)

Um die Unsicherheiten gering zu halten, haben wir 20 Schwingungen gemessen und daraus die Zeit einer Schwingung errechnet. Außerdem haben wir jeweils vier Messwerte aufgenommen, um später den Standardfehler zu berechnen (mehr siehe Unsicherheiten).

Außerdem sollten wir mit weiteren Torsionsaufhöngungen experimentieren. Dafür haben wir die Stange an einen Kupferdraht gehängt. Die Stärke des Drahtes weiß man leider nicht genau, aber sie wird auf 0,3mm geschätzt. Auch hier haben wir die Länge varriert und die Zeiten gemessen.

Nun wollen wir mithilfe des Torsionspendels für verschiedene Geometrien das Trägheitsmoment bestimmen. Da wir das Torsionsmodul für den Draht aus Versuch 1 kennen, hängen wir an diesem verschiedene Gegenstände auf.
Zunächst haben wir einen Topfdeckel genommen und analog zum ersten Versuch die Schwingungsdauer gemessen.

Als weiteren Gegenstand haben wir ein Buch genommen.

Als nächstes haben wir eine Christbaumkugel mit etwas Wasser gefüllt und ebenfalls an den Draht gehangen. Hier war die Versuchsdurchführung sehr schwierig, da die Schwingung stark gedämpft wird. Durch die sehr kurze Schwingungsdauer war es uns möglich, für drei verschiedene Längen die Dauer für zumindest 4 Schwingungen zu messen. Bei einem noch kürzeren Draht wäre die Unsicherheit der Zeitmessung zu groß, da sich die Kugel zu schnell auspendelt.

Bei diesem Versuch kann es an vielen Stellen zu Messunsicherheiten kommen.

Die Versuche wurden mit einer Stoppuhr durchgeführt. Um die Unsicherheit der Zeiterfassung möglichst gering zu halten, haben wir die Dauer für 20 Schwingungen gemessen und das dann auf eine Schwingung runtergerechnet, da es schwer ist, den genauen Zeitpunkt der Schwingung auf der Stoppuhr festzuhalten. Auf diese Weise kann man aber noch keinen Standardfehler berechnen. Daher haben wir pro Länge vier mal 20 Schwingungen gemessen. Da wir nun 4 Messwerte haben, können wir zunächst den Mittelwert und die Standardabweichung berechnen, um dann den Standardfehler zu ermitteln. Natürlich wird die Messung um so genauer, je mehr Werte man hat, aber aus zeittechnischen Gründen haben wir uns auf 4 Werte beschränkt.

Natürlich ist auch die genaue Länge des Drahtes schwer zu ermitteln, da wir ein Maßband verwendet haben und es zu Ablesefehler kommen kann. Daher wird hier ein Fehler von ±1cm geschätzt.

Für einige Berechnungen benötigt man außerdem das Gewicht der Gegenstände. Diese wurden mit einer handelsüblichen Haushaltswaage gemessen, welche keine Nachkommastellen anzeigt. Somit beläuft sich der Fehler hier auf ±0,5g.