Besenstiel -- gruppe331

Der Versuch wurde durchgeführt von: Arne Dykierek und Malte Stoepper
Die Wiki-Seite wurde angelegt am: 2 January 2021 13:26

(1) Das Zeitschrittverfahren zur numerische Lösung der Bewegungsgleichung des Stabes wurde mit Mathematica gelöst. Dabei wurde eine “While-Schleife” genutzt, die bis zur Abbruchbedingung φ=(π/2)rad=90° den Winkel φ im Zeitpunkt t+Δt berechnet, diese Werte mit “Append” in die liste “winkel” einträgt und dann diese wieder als neue Anfangsbedingungen einsetzt. Die Konstanten sowie die Funktionen für φ und dessen Ableitungen wurden vorher definiert. t₀ und φ₀ wurden manuell in die liste eingesetzt. “T = Last[winkel][1]” nimmt aus dem letzten Element der Liste “winkel” den x-Wert, welches die gesuchte Fallzeit T ist.

Im Beispiel von l=1,45m und φ₀=0,25rad ergibt sich T=0,8s

(2) Das gleiche Verfahren wurde auch zur Bestimmung der Beschleunigung a eines Massepunktes der Stabspitze genutzt. Hierbei wurde eine neue Liste “beschleunigung” angelegt, welche den Zeitlichen Verlauf von a=φ´´*l beinhaltet. In der “While-Schleife” blieb die Abbruchbedingung unverändert, jedoch wurde im “Append” Befehl φ(Δt,t) durch a(Δt,t)=φ´´(φ(Δt,t))*l ersetzt. “amax = Last[beschleunigung][2]” nimmt aus dem letztem Element der Liste den y-Wert, welcher gleich der maximalen Beschleunigung amax entspricht. “ListPlot[beschleunigung]” stellt den zeitlichen Verlauf von a graphisch dar.

Für unser Bespiel ergibt sich a_max=14,71ms^-1, welches größer als g=9,81ms^-1 ist. Im Diagramm sieht man, dass g bereits nach ca. 2/3 der Fallzeit erreicht ist.

l = 1.45;
g = 9.81;
\[Tau] = Sqrt[(2 l)/(3 g)];

\[Phi]0 = 0.25;
\[Phi]10 = 0;
\[Phi]20 = Sin[\[Phi]0]/\[Tau]^2;

\[Phi][\[CapitalDelta]t_, 
  t_] := \[Phi][
   t] + \[CapitalDelta]t*(\[Phi]1[t] + \[CapitalDelta]t* 
      Sin[\[Phi][t]]/\[Tau]^2)
\[Phi]1[\[CapitalDelta]t_, 
  t_] := \[Phi]1[t] + \[CapitalDelta]t*Sin[\[Phi][t]]/\[Tau]^2
\[Phi]2[t] := Sin[\[Phi][t]]/\[Tau]^2

\[Phi][0] = \[Phi]0;
\[Phi]1[0] = \[Phi]10;
\[Phi]2[0] = \[Phi]20;

\[CapitalDelta]t = 0.01;
t = 0;

winkel = {{0, \[Phi]0}};

While[\[Phi][\[CapitalDelta]t, t] <= (Pi/2), 
 		winkel = 
  Append[winkel, {t + \[CapitalDelta]t , \[Phi][\[CapitalDelta]t, t]}];
 		\[Phi]1[t + \[CapitalDelta]t] = \[Phi]1[\[CapitalDelta]t, t]; 
 		\[Phi][
   t + \[CapitalDelta]t] = \[Phi][
    t] + \[CapitalDelta]t*\[Phi]1[t + \[CapitalDelta]t];
 		t = t + \[CapitalDelta]t;
 	]

T = Last[winkel][[1]]

\[Phi]0 = 0.25;
\[Phi]10 = 0;
\[Phi]20 = Sin[\[Phi]0]/\[Tau]^2;

\[Phi][0] = \[Phi]0;
\[Phi]1[0] = \[Phi]10;
\[Phi]2[0] = \[Phi]20;

\[CapitalDelta]t = 0.01;
t = 0;

beschleunigung = {{0, \[Phi]20*l}};

While[\[Phi][\[CapitalDelta]t, t] <= (Pi/2), 
 		beschleunigung = 
  Append[beschleunigung, {t + \[CapitalDelta]t , 
    Sin[\[Phi][\[CapitalDelta]t, t]]/\[Tau]^2*l}];
 		\[Phi]1[t + \[CapitalDelta]t] = \[Phi]1[\[CapitalDelta]t, t]; 
 		\[Phi][
   t + \[CapitalDelta]t] = \[Phi][
    t] + \[CapitalDelta]t*\[Phi]1[t + \[CapitalDelta]t];
 		   \[Phi]20 = \[Phi]2[t];
 		t = t + \[CapitalDelta]t;
 	]

amax = Last[beschleunigung][[2]]
ListPlot[beschleunigung]

Wie untersuchen Die Fallzeiten zweier Stäbe bei verschiedenen Anfangswinkeln. Der erste Stab ist eine Gardinenstange der Länge l=2,02m und Radius a=1,25cm. Der zweite Stab ist ein Besenstiel der Länge l=1,413 und Radius a=1,15cm. Die Gardinenstange ist zwar ein hohlzlinder und hat somit ein anderes Trägheitsmoment als ein homogener Zylinder wie der Besenstiel. Da aber in beiden fällen l»a, kann a in der Berechnung des Trägheitsmoments J vernachlässigt werden, wodurch für beide Stäbe J=(1/3)ml2 gilt.

Der Stab wird mit Hilfe eines Fadens, welcher an der Wand fest gehalten wird, in einem Konstanten Anfangswinkel zu der Wand gehalten. Diesen Winkel können über die Fadenlänge und die Befestingungshöhe an der Wand oder am Stab trigonometrisch berechnen. Aufgrund unterschiedlicher Experimentierbedingung wurden beide varianten genutzt. Für konsistente und einfachere Versuchswiederholungen, wurde der Faden vorher gemessen und an bestimmten Längen markiert. Bei der Untersuchung des Einflusses vom Luftwiderstand, wird ein Stück Pappe der Fläche A=0,25 m2 an den Stab geklebt.

Dieser Aufbau ermöglicht uns den Stab ohne externen Impuls los zu lassen und eine geringe Varianz des Anfangswinkels bei Versuchswiderholungen.

Für den Stab mit Länge l=2,02m wurden folgende Fadenlängen gemessen:

Für den Stab mit Länge l=1,413m wurden folgende Fadenlängen gemessen:

Messung der Fallzeit T für einen Stab der Länge l=2,02m

Messung der Fallzeit T für einen Stab der Länge l=1,413m

Messung der Fallzeit T für einen Stab der Länge l=2,02m mit angeklebter Fläche A=0,25m²

1. statistische Unsicherheit

Für eine Abschätzung der Messunsicherheiten soll zunächst die Frage beantwortet werden, wie groß der relative Standardfehler der gesamten Messungen sein müsste, damit alle Messwerte mit der statistischen Messunsicherheit begründet werden können. Daher muss für jede Messung der Fallzeit bei einem bestimmten Winkel ein Fehler gefunden werden, sodass der numerische Wert, der als wahrer Wert angenommen wird zu einhundert Prozent in diesem Fehlerintervall liegt.

Aufgrund dieser Überlegungen ist es sinnvoll für jeden Winkel die Messreihe nach der betragsmäßig größten Differenz zum wahren Wert zu durchsuchen und diese dann als Standardfehler festzulegen. Somit ist sichergestellt, dass der wahre Wert zu einhundert Prozent im Fehlerintervall liegt. Um den relativen Standardfehler zu erhalten muss dieser Wert nun noch durch den wahren Wert geteilt werden. Es ergeben sich folgende Werte

2. systematische Unsicherheiten

2.1 Unsicherheit durch Schallgeschwindigkeit

Da sich Schall mit einer Geschwindigkeit von c=300m/s ausbreitet, ist es nötig, das Startsignal und das Aufprallen des Stabes in gleichen Abständen zur Stoppuhr zu positionieren, da es sonst zu Laufzeitunterschieden kommt. In unserem Fall war die Differenz der beiden Wege ca. 10cm, wodurch es durch die Ausbreitungsgeschwindigkeit zu einer Unsicherheit von 0,0003s kommt, diese also vernachlässigbar klein ist.