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Fußnotentest ¹⁾

Der Versuch wurde durchgeführt von: Erin Feldkemper und Arthur Wohlfahrt
Die Wiki-Seite wurde angelegt am: @DATE@

In diesem Wiki soll die Durchführung des Besenstiel-Versuches im HomeLab dokumentiert werden

Zur Messung der Fallzeit haben wir uns für eine Lichtschranke entschieden. An einem Ausleger und einer Bodenstation wird so die Fallzeit des Besens gemessen.

Aufbau schematisch

Aufbau für kleine Längen

Aufbau für große Längen

Lichtschranke

Das Zeitschrittverfahren oder auch Euler-Verfahren zur numerischen Berechnung der Fallzeit wurde mit Python realisiert. Code (samt Kommentaren) und resultierende Plots sind eingefügt.

Die verwendete Lichtschranke wurde mit dem Microcontroller-Board Arduino Uno realisiert. Der Programmcode dazu befindet sich am Ende dieses Abschnittes.

englische Variante

Zunächst zur allg. Berechnung des Winkels in Abhgkt. zur Zeit

ExplizitesEulerVerfahren.py

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
import math
 
#Variablen und Konstanten
tmax=2
dt=0.01 #10 ms
g=9.81
l=1.45 # m
tau=math.sqrt(2*l/(3*g))
vPhi0=0 #zero initial phi-velocity
phi0=0.25
 
t=[]
phi=[]
vPhi=[]
 
# initial values
phi.append(phi0)
vPhi.append(vPhi0)
i=0
 
#Explizites Euler Verfahren/ Iteration
while True:
    vPhi.append(vPhi[i] +dt*math.sin(phi[i])/(tau**2))
    phi.append(phi[i]+dt*vPhi[i])
 
    i+=1
 
    if phi[i] >= math.pi/2:
        break
 
# Berechnung Auftreffzeitpunkt
tmax=len(phi)*dt
print(tmax)
 
#erzeuge Zeiten
t=np.arange(0,tmax,dt)
 
# Erzeuge eine Figure.
fig = plt.figure(figsize=(9, 4))
fig.set_tight_layout(True)
 
# Plotte das Winkel-Zeit-Diagramm.
ax1 = fig.add_subplot(1, 1, 1)
ax1.set_xlabel("t [s]")
ax1.set_ylabel("phi [rad]")
ax1.grid()
#ax1.plot(t, vPhi, ".b", label="Vphi")
ax1.plot(t, phi, ".r", label="Phi")
ax1.legend()
 
plt.show()

StartwinkelFallzeit.py

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
import math
 
#variables and constants
tmax=2
dt=0.01 #stepsize
g=9.81
l=1.45 # m
tau=math.sqrt(2*l/(3*g))
vPhi0=0 #zero initial phi-velocity
 
#method to solve the diff-eq.
def solver2(phi0,stepT):
    t=[] #generate lists
    phi=[]
    vPhi=[]
 
    # initial values
    phi.append(phi0)
    vPhi.append(vPhi0)
    i=0
 
    while True: #iterations according to Euler
        vPhi.append(vPhi[i] +stepT*math.sin(phi[i])/(tau**2))
        phi.append(phi[i]+stepT*vPhi[i])
 
        i+=1 #next step
 
        if phi[i] >= math.pi/2: # stick has reached ground at 90°
            break
 
    tmax=len(phi)*stepT #calculate elapsed time
    t=np.arange(0,tmax,stepT)
    return (tmax,t,phi) #return tupel with fall-time + time and angle arrays
 
#initial angles  
initPhi=np.arange(0.25,1.3,0.05)
 
def calcTs(step): #calc the fall time for different initial phi
    ts=[]
 
    for i in initPhi: #generate list of times
        ts.append(solver2(i,step)[0]) #first element in return tuple is tmax
 
    return ts
 
 
steps=np.array([0.1,0.05,0.01,0.001])
 
times=[]
for m in steps:
    times.append(calcTs(m))
 
 
# Erzeuge eine Figure.
fig = plt.figure(figsize=(7, 5))
fig.set_tight_layout(True)
 
# Plotte das Diagramm.
ax1 = fig.add_subplot(1, 1, 1)
ax1.set_xlabel("phi0 [rad]")
ax1.set_ylabel("T [s]")
ax1.grid()
 
ax1.plot(initPhi, times[0], ".b", label=f"dt={steps[0]}")
ax1.plot(initPhi, times[1], ".r", label=f"dt={steps[1]}")
ax1.plot(initPhi, times[2], ".g", label=f"dt={steps[2]}")
ax1.plot(initPhi, times[3], "xm", label=f"dt={steps[3]}")
ax1.legend()
 
#anzeigen
plt.show()

Lichtschranke.ino

/*
Control two light barriers, connected to pin A0 and A2 (arduino UNO)
Indicator leds are connected to pin 12 and 13.
Measure time in ms between to detections of the upper/lower light barrier.
 
27.12.2020
 
*/
 
 
 
boolean dectUp = false;
boolean dectLow = false;
boolean timer = false; //timer running?
 
int trigUp = 700;
int trigLow = 950;
 
unsigned long deltaT = 0;
unsigned long t = 0;
 
unsigned long deltaTU = 0;
unsigned long tU = 0;
 
 
 
void setup() {
  // initialize serial communication at 9600 bits per second:
  Serial.begin(9600);
  pinMode(12, OUTPUT); //indicator low
  pinMode(13, OUTPUT); //indicator high
 
}
 
void loop() {
 
  // read the input on analog pin 0:
 
  int valueLow = analogRead(A0);
  int valueUp = analogRead(A2);
 
 
 
  // print out the value you read:
  /*Serial.print(valueLow);
    Serial.print(" | oben: ")
    Serial.println(valueUp);
  */
  //delay(100); // delay in between reads for stability
 
 
 
  if (valueUp < trigUp) { // upper sensor
    //Serial.println("Ready");
    if (dectUp && timer == false) { //first light after dark and timer not running
      Serial.println("Rest");
      Serial.println(millis() - t);
      t = millis(); //start timer
      timer = true; //timer on
      Serial.println("Start");
    }
    digitalWrite(13, HIGH);
    dectUp = false;
 
  }
  else { // Dark UP
    //Serial.println("Detected");
    digitalWrite(13, LOW);
    delay(5); // detection break
    dectUp = true;
    timer = false; //timer off
  }
 
 //Serial.print("time-complexity: ");
 //Serial.println(millis()-tU);
  //tU = millis();
 
  if (valueLow < trigLow) { //lower sensor
    digitalWrite(12, HIGH);
    //Serial.println("Ready");
    dectLow = false;
  }
  else { // Dark LOW
    //Serial.println("Detected");
    if (!dectLow && timer) { //first dark after light
      deltaT = millis() - t;
      timer = false; //timer off
      Serial.print("Detected: ");
      Serial.println(deltaT);
    }
 
    digitalWrite(12, LOW);
    //delay(1); // detection break
    dectLow = true;
  }
 
 
}

Um die Fallzeit des Besenstiels mit der Länge l=1.2(m) zu bestimmen, wurden auf dem Boden eine Markierung neben den Schreibtisch gemacht um den Besenstiel immer vom gleichen Ort fallen lasse zu können. Auf dem Schreibtisch wurden 5 verschiedene Markierungen geklebt um verschiedene Winkel messen zu können (siehe Foto). Anschließend wurden mithilfe der App “iLevel” die Winkel bestimmt und pro Winkel werden nun jeweils 5 Fallzeiten manuell aufgenommen (siehe Tabelle).

Wir haben uns jedoch dazu entschlossen in unserer Auswertung nur die Messwerte der ersten Messung zu werden um gleiche Fehlerabschätzungen zu haben, und bessere Aussagen treffen zu können.