Wir haben folgende Differentialgleichung gegeben:

$$\ddot\phi=-\frac{D_R}{I}\cdot\phi=-\omega^2\cdot\phi$$

Das ist die Differentialgleichung zum harmonischen Oszillator. Für sie kennen wir die Läsung:

$$\phi(t)=A\cdot sin(\omega t)+B\cdot cos(\omega t)$$

Um auf die gewünschte Lösung zu bekommen, brauchen wir folgende Anfangsbedingung:

$$\phi(0)=\phi_0\longrightarrow\phi(0)=A\cdot sin(0)+B\cdot cos(0)=\phi_0\longrightarrow B=\phi_0$$

Das ist aber erst die halbe Wahrheit. Für unsere gewünschte Lösung muss der erste Term wegfallen, also $A=0$ gesetzt werden. Das verwirklichen wir, indem wir den nulldurchgang zeitlich festlegen. Es muss gelten $\phi(n\cdot T/4)=0$. Mit dem Zusammenhang $\omega=\frac{2\pi}{T}$ erhalten wir dann:

$$\phi\left(n\cdot\frac{T}{4}\right)=A\cdot sin\left(n\cdot\frac{\pi}{2}\right)+\phi_0\cdot cos\left(n\cdot\frac{\pi}{2}\right)=0\longrightarrow A=0$$

Das gilt eben nur für ungerade ganzzahlige n. Diese Bedingung stellt den Nulldurchgang des Schwingkörpers dar. Nach einem Viertel der Periodendauer, seht das Pendel bei null. Dann läuft es weiter bis zum Maximum ($t=\frac{T}{2}$), kehrt um und macht den nächsten Nulldurchgang bei $t=\frac{3T}{4}$. Das geht dann immer so weiter. Zusammenfassend brauchen wir also diese zwei Bedingugungen, um auf die Lösung zu kommen:

$$\phi(0)=\phi_0$$ $$\phi\left(n\cdot\frac{T}{4}\right)=0$$ $$n=0,1,3,5,... $$

Nun sollen wir die Enheiten bestimmen:

$$[D]=\frac{kg\cdot m^2}{s^2}=N\cdot m$$

$$[D_R]=\frac{kg\cdot m^2}{s^2}\cdot\frac{1}{rad}=\frac{N m}{rad}$$

$$[I]=kg\cdot m^2\cdot\frac{1}{rad}=\frac{N m s^2}{rad}$$

$$[\phi]=rad$$

Wir haben diese beiden Gleichungen:

$$\ddot\phi=-\frac{D_R}{I}\phi$$

$$\phi(t)=\phi_0\cdot cos(\omega\cdot t)$$

Nun setzten wir die zweite in die erste ein wir erhalten:

$$\frac{d^2}{dt^2}\left(\phi_0\cdot cos(\omega\cdot t)\right)=-\frac{D_R}{I}\cdot\phi_0\cdot cos(\omega\cdot t)$$

Nun leiten wir also einfach den Ausdruck auf der linken Seite zweimal ab. Dabei beachten wir $\frac{d^2}{dx^2}cos(k\cdot x)=\omega^2\cdot -cos(kx)$. Das folgt aus der Kettenregel. Somit erhalten wir für unsere explizite Gleichung:

$$\omega^2\cdot\phi_0\cdot -cos(\omega\cdot t)=-\frac{D_R}{I}\cdot\phi_0\cdot cos(\omega\cdot t)$$

Es lässt sich nun wunderbar das $-cos(\omega\cdot t)\cdot \phi_0$ rauskürzen.

Dann erhalten wir :

$$\omega^2=\frac{D_R}{I}\longrightarrow\omega=\sqrt{\frac{D_R}{I}}$$

So erhlaten wir die vorgegebene Beziehung für die Winkelgeschwindigkeit $\omega$.

Nochmal nachgucken, wahrscheinlich über Trägheitsmoment und Winkelbescheunigung.

Die Arbeit dW kann man auch so darstellen:

$$dW=D\cdot d\phi$$

Nun stellen wir die Arbei mit der Rotationsenergie gleich. $dW=dE_{rot}$, so erhalten wir:

$$D\cdot d\phi=\frac{1}{2}\cdot I\cdot d\dot\phi^2 |\cdot\frac{1}{dt}$$ $$D\cdot \dot\phi=\frac{1}{2}\cdot I\cdot 2\cdot \dot\phi\cdot\ddot\phi$$

Damit erhalten wir also:

$$D=I\cdot\ddot\phi$$

Wenn man die Beziehung $D=-D_R\cdot\phi$ kennt, erhlt man nun ganz einfach die zu zeigende Gleichung(2):

$$-D_R\cdot\phi=I\cdot\ddot\phi$$

Das Trägheitsmoment eines starren Körpers ist keine determinierte Körpereigenschaft. Es hängt auch von der Rotationsachse ab. Wenn man das Trägheitsmoment für eine Rotationsachse, die durch den Schwerpunkt geht, weiß, kann man nun mithilfe des Steinerschen Satzes die Trägheitsmoemnte für zu der Grundachse parallelen Rotationsachsen berechnen. Mathematisch ausgedrückt, lautet er so:

$$I_2=I_1+m\cdot d^2$$

Dabei ist $I_2$ das neu zu errechnenden Trägheitsmoment. $I_1$ ist das bekannte Trägheitsmoemnt, um die Schwerpunktsachse. m ist die Masse des rotiernden Körpers und d ist der Abstand der neuen Rotationsachse zu der Ausgangsrotationsachse, die durch den Schwerpunkt geht.

Kommen wir zu Herleitung:

kommt noch was

Nun messen wir die Schwingungsdauer für jeweils 5 Torsionschwingungen. Um die Torsionsaufhängungen zu varrieren, stellen wir unterschiedliche Längen der E-Gitarrensaiten ein.