Wir haben folgende Differentialgleichung gegeben:

$$\ddot\phi=-\frac{D_R}{I}\cdot\phi=-\omega^2\cdot\phi$$

Das ist die Differentialgleichung zum harmonischen Oszillator. Für sie kennen wir die Läsung:

$$\phi(t)=A\cdot sin(\omega t)+B\cdot cos(\omega t)$$

Um auf die gewünschte Lösung zu bekommen, brauchen wir folgende Anfangsbedingung:

$$\phi(0)=\phi_0\longrightarrow\phi(0)=A\cdot sin(0)+B\cdot cos(0)=\phi_0\longrightarrow B=\phi_0$$

Das ist aber erst die halbe Wahrheit. Für unsere gewünschte Lösung muss der erste Term wegfallen, also $A=0$ gesetzt werden. Das verwirklichen wir, indem wir den nulldurchgang zeitlich festlegen. Es muss gelten $\phi(n\cdot T/4)=0$. Mit dem Zusammenhang $\omega=\frac{2\pi}{T}$ erhalten wir dann:

$$\phi\left(n\cdot\frac{T}{4}\right)=A\cdot sin\left(n\cdot\frac{\pi}{2}\right)+\phi_0\cdot cos\left(n\cdot\frac{\pi}{2}\right)=0\longrightarrow A=0$$

Das gilt eben nur für ungerade ganzzahlige n. Diese Bedingung stellt den Nulldurchgang des Schwingkörpers dar. Nach einem Viertel der Periodendauer, seht das Pendel bei null. Dann läuft es weiter bis zum Maximum ($t=\frac{T}{2}$), kehrt um und macht den nächsten Nulldurchgang bei $t=\frac{3T}{4}$. Das geht dann immer so weiter. Zusammenfassend brauchen wir also diese zwei Bedingugungen, um auf die Lösung zu kommen:

$$\phi(0)=\phi_0$$ $$\phi\left(n\cdot\frac{T}{4}\right)=0$$ $$n=0,1,3,5,... $$

Nun sollen wir die Enheiten bestimmen:

$$[D]=\frac{kg\cdot m^2}{s^2}=N\cdot m$$

$$[D_R]=\frac{kg\cdot m^2}{s^2}\cdot\frac{1}{rad}=\frac{N m}{rad}$$

$$[I]=kg\cdot m^2\cdot\frac{1}{rad}=\frac{N m s^2}{rad}$$

$$[\phi]=rad$$

Wir haben diese beiden Gleichungen:

$$\ddot\phi=-\frac{D_R}{I}\phi$$

$$\phi(t)=\phi_0\cdot cos\left(\sqrt{\frac{D_R}{I}}\cdot t\right)$$

Nun setzten wir die zweite in die erste ein wir erhalten:

$$\frac{d^2}{dt^2}(\phi_0\cdot cos\left(\sqrt{\frac{D_R}{I}}\cdot t\right))=-\frac{D_R}{I}\cdot\phi_0\cdot cos\left(\sqrt{\frac{D_R}{I}}\cdot t\right)$$