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a_mechanik:kippender_besenstiel:gruppenseiten:gruppe339:start [ 8 January 2021 11:15] – [Zeitschritte] julespourtawaf | a_mechanik:kippender_besenstiel:gruppenseiten:gruppe339:start [19 January 2021 17:09] (current) – [Messunsicherheiten] julespourtawaf | ||
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- Welche Schlussfolgerungen ergeben sich aus diesen Experimenten für das Jonglieren? Wie sollte der Stab beschaffen sein, damit das Jonglieren möglichst leicht gelingt? | - Welche Schlussfolgerungen ergeben sich aus diesen Experimenten für das Jonglieren? Wie sollte der Stab beschaffen sein, damit das Jonglieren möglichst leicht gelingt? | ||
- | 1. Ist der Stab nicht ganz parallel zur Schwerkraft ausgerichtet, | + | 1. Wird ein homogener Stab angenommen, mit dem Schwerpunkt im Zentrum gilt folgendes. Wenn der Stab nicht ganz parallel zur Schwerkraft ausgerichtet |
- | 2. Analog zum freien Fall eines Körpers spielt die Masse des Stabes keine Rolle, | + | 2. Analog zum freien Fall eines Körpers spielt die Masse des Stabes keine Rolle, |
3. Ist der Anfangswinkel kleiner, so ist nach $\vec{M} = \vec{r} \times \vec{F}$ die Anfangsbeschleunigung kleiner. Außerdem ist der Kippweg größer, wodurch auch die Kippzeit länger wird. | 3. Ist der Anfangswinkel kleiner, so ist nach $\vec{M} = \vec{r} \times \vec{F}$ die Anfangsbeschleunigung kleiner. Außerdem ist der Kippweg größer, wodurch auch die Kippzeit länger wird. | ||
- | 4. Je Länger der Stab, desto höher der Schwerpunkt | + | 4. Ein längerer |
- | 5. Je länger der Stab, desto höher liegt der Schwerpunkt und die Kippzeit, bedingt durch die im Schwerpunkt angreifende Kraft, wird größer. Man hat mehr Zeit um auf ein Wegkippen des Stabes | + | 5. Der größere |
====== Numerische Lösung ====== | ====== Numerische Lösung ====== | ||
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===== Vorgehen ===== | ===== Vorgehen ===== | ||
- | Mittels Mathematica haben wir ein Programm zur numerischen Lösung des Problems geschrieben. Zuerst haben wir die nötigen Definitionen getätigt, um anschließend die DGL zu definieren und mittels einer While-Schleife in einer Module-Umgebung zu lösen. In dieser Umgebung erhalten wir alle Winkel zu allen Zeiten die in dem Bereich unserer Anfangsbedingungen liegen mit den entsprechenden Zeitschritten. Anschließend können wir uns diese Werte in einem Plot ausgeben lassen. Da wir mittels $\varphi$ < 1.5707 definieren, dass die Bewegung nicht über 90 Grad hinaus geht, ist der letzte Wert unserer Liste der Zeitpunkt, an dem der Besenstiel auf den Boden aufschlägt. Mit dem Befehl Last können wir uns diesen Wert ausgeben lassen. | + | Mittels Mathematica haben wir ein Programm zur numerischen Lösung des Problems geschrieben. Zuerst haben wir die nötigen Definitionen getätigt, um anschließend die DGL zu definieren und mittels einer While-Schleife in einer Module-Umgebung zu lösen. In dieser Umgebung erhalten wir alle Winkel zu allen Zeiten die in dem Bereich unserer Anfangsbedingungen liegen mit den entsprechenden Zeitschritten. Da wir mittels $\varphi$ < 1.5707 definieren, dass die Bewegung nicht über 90 Grad hinaus geht, ist der letzte Wert unserer Liste der Zeitpunkt, an dem der Besenstiel auf den Boden aufschlägt |
- | Zum besseren Verständnis des Codes haben wir im Code einige Bemerkungen eingefügt. | + | Zum besseren Verständnis des Codes und für ein Übersichtlicheres und detaillierteres Beschreiben |
===== Computerprogramm ===== | ===== Computerprogramm ===== | ||
Im folgenden haben wir den Mathematica-Code zum lösen der Differentialgleichung | Im folgenden haben wir den Mathematica-Code zum lösen der Differentialgleichung | ||
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===== Zeitschritte ===== | ===== Zeitschritte ===== | ||
- | Wenn man bei unserem Verfahren die Länge der Zeitschritte variiert, so ändert sich die Genauigkeit des Verfahrens. Je kürzer die Zeitschritte sind, desto genauer ist das Verfahren. Dies liegt daran, dass sich die jeweilige Ableitung, welche man verwendet ändert und man somit bei größeren Zeitschritten nicht mehr wirklich realitätsnahe größen hinzuaddiert. Dies sieht man auch in unserer numerischen Lösung, wir haben jeweils für kleinere Zeitschritte eine Lösung erhalten, die näher an unserer erwarteten Lösung lag. Diesen Effekt sehen wir auch daran, dass unser Endwinkel für kleinere Zeitschritte auch immer näher an den tatsächlichen Endwinkel $\frac{\Pi}{2}$ gegangen ist. | + | Wenn man bei unserem Verfahren die Länge der Zeitschritte variiert, so ändert sich die Genauigkeit des Verfahrens. Je kürzer die Zeitschritte sind, desto genauer ist das Verfahren. Dies liegt daran, dass sich die jeweilige Ableitung |
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+ | Beispiel bei einem Besenstiel der Länge l=1,45m und einen Startwinkel von 1 rad. Berechnet mit dem Mathematica-Code (Endwinkel $\frac{\Pi}{2}$=1, | ||
+ | ^ Zeitschritt | 100 ms | 10 ms | 1 ms | 0,1 ms | 0,01 ms | | ||
+ | ^ Winkel | ||
+ | ^ Zeit | 0,3s | 0,35s | 0, | ||
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+ | An den Werten in der Tabelle erkennt man, dass ein Zeitschritt von 100ms im Vergleich zu 0,01ms sehr ungenau ist. Außerdem lässt sich erkennen das bereits 1ms als Zeitschritt einen recht genauen Wert ausgibt. | ||
===== Endwinkel ===== | ===== Endwinkel ===== | ||
- | Da wir das Fallen des Besenstiels bei der DGL betrachten und bei dieser der begrenzende Faktor des Boden ist, kann die Bewegung nur von 0 Grad bis 90 Grad stattfinden. Einen waagerechten Boden angenommen führt dies zu einem Wert von maximal 90 Grad beziehungsweise Pi/2. In unserem Mathematica-Code beachten wir dies, da wir die While-Schleife nur bis $\varphi$ < 1.5707 rad laufen lassen, was einem Winkel von 90 Grad entspricht. | + | Bei der Betrachtung ist wichtig zu verstehen, dass es einen Winkel gibt, bei dem die Berechnung stoppt. |
===== Massepunkt an der Stabspitze ===== | ===== Massepunkt an der Stabspitze ===== | ||
- | Der Punkt, an welchen wir das gut vergleichen können, ist der bei einem Winkel von 90°. Für die tangentiale Beschleunigung a gilt: | + | Wir haben uns des weiteren mit der Frage beschäftigt, |
+ | Der Punkt, an welchen wir die Fallbeschleunigung besonders | ||
$a = r \cdot \alpha$, wobei $\alpha$ die Winkelbeschleunigung darstellt. | $a = r \cdot \alpha$, wobei $\alpha$ die Winkelbeschleunigung darstellt. | ||
Setzt man dies nun für unsere Werte ein, wobei man $l=1,45 m$ verwendet, erhält man: | Setzt man dies nun für unsere Werte ein, wobei man $l=1,45 m$ verwendet, erhält man: | ||
- | $a = 1,45m \cdot \frac{2 \cdot g}{2,9m}$ | + | $a = 1,45m \cdot \frac{3 \cdot g}{2, |
Wir erhaten also offensichtlich eine Beschleunigung, | Wir erhaten also offensichtlich eine Beschleunigung, | ||
+ | Wir sehen also, dass es für unseren Versuch besonders wichtig ist, nur den Besenstiel zu verwenden und das obere Ende abzuschrauben. | ||
====== Messungen ====== | ====== Messungen ====== | ||
Im folgenden werden wir darlegen wie wir unsere Messungen durchgeführt haben und unsere Messreihen anschließend darstellen. | Im folgenden werden wir darlegen wie wir unsere Messungen durchgeführt haben und unsere Messreihen anschließend darstellen. | ||
===== Vorgehen ===== | ===== Vorgehen ===== | ||
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Bei unserer Messung haben wir zwei verschiedene Besen mit unterschiedlichen Stablängen verwendet. Hierbei haben wir den Besen in unterschiedlichen Winkeln platziert und fallen gelassen. Den Winkel haben wir mit einer Winkelmessapp auf dem Handy ermittelt, wobei wir das Handy parallel zum Besenstiel gehalten haben und dann den Winkel ablesen konnten. Anschließend haben wir den Besen in der Position gehalten, die Stoppuhr genommen und den Besen fallen gelassen. Die Fallzeit haben wir also manuell mit einer Stoppuhr und nicht mit der Phyphox App bestimmt, da die Messung mit der App nicht gut funktioniert hat. Deshalb haben wir bei der Zeit eine relativ hohe Unsicherheit (siehe Tabelle). Auch die Unsicherheit für den Winkel fällt etwas größer aus, da wir nach der Winkelmessung noch auf die Stoppuhr wechseln mussten und dabei kleine Abweichungen der Position nicht ausgeschlossen sind. Unsere Messwerte sind in den Tabellen weiter unten zu sehen. | Bei unserer Messung haben wir zwei verschiedene Besen mit unterschiedlichen Stablängen verwendet. Hierbei haben wir den Besen in unterschiedlichen Winkeln platziert und fallen gelassen. Den Winkel haben wir mit einer Winkelmessapp auf dem Handy ermittelt, wobei wir das Handy parallel zum Besenstiel gehalten haben und dann den Winkel ablesen konnten. Anschließend haben wir den Besen in der Position gehalten, die Stoppuhr genommen und den Besen fallen gelassen. Die Fallzeit haben wir also manuell mit einer Stoppuhr und nicht mit der Phyphox App bestimmt, da die Messung mit der App nicht gut funktioniert hat. Deshalb haben wir bei der Zeit eine relativ hohe Unsicherheit (siehe Tabelle). Auch die Unsicherheit für den Winkel fällt etwas größer aus, da wir nach der Winkelmessung noch auf die Stoppuhr wechseln mussten und dabei kleine Abweichungen der Position nicht ausgeschlossen sind. Unsere Messwerte sind in den Tabellen weiter unten zu sehen. | ||
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===== Testen ===== | ===== Testen ===== | ||
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Bevor wir unsere Messreihen aufgenommen haben, haben wir uns mit unserem Versuchsaufbau und den Messgeräten vertraut gemacht. Mehrere Messungen nach einander haben gezeigt, dass der Aufbau soweit recht verlässliche Ergebnisse erzeugte. Wir konnten anschließend mit der richtigen Messung starten. | Bevor wir unsere Messreihen aufgenommen haben, haben wir uns mit unserem Versuchsaufbau und den Messgeräten vertraut gemacht. Mehrere Messungen nach einander haben gezeigt, dass der Aufbau soweit recht verlässliche Ergebnisse erzeugte. Wir konnten anschließend mit der richtigen Messung starten. | ||
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===== Messunsicherheiten ===== | ===== Messunsicherheiten ===== | ||
Wir haben für den Startwinkel die Messunsicherheit auf 5° abgeschätzt. Diese große Unsicherheit kommt dadurch zustande, dass wir mit unserer Winkelmessapp den Winkel gemessen haben, danach jedoch noch die App wechseln und die Stoppuhr öffnen mussten. In dieser Zeit des wechselns ist das Potential für Fehler ziemlich groß, da man die Hand mit dem Stiel über die gesamte Zeit sehr ruhig halten muss. | Wir haben für den Startwinkel die Messunsicherheit auf 5° abgeschätzt. Diese große Unsicherheit kommt dadurch zustande, dass wir mit unserer Winkelmessapp den Winkel gemessen haben, danach jedoch noch die App wechseln und die Stoppuhr öffnen mussten. In dieser Zeit des wechselns ist das Potential für Fehler ziemlich groß, da man die Hand mit dem Stiel über die gesamte Zeit sehr ruhig halten muss. | ||
- | Die Messunsicherheit für die Fallzeit t haben wir auf 0,3s eingeschätzt, da wir bei der Messung bei 1° mit zusätzlicher Pappe eine Differenz von 0,26s haben. Wir haben die Unsicherheit | + | Für die Messunsricherheit der Zeit haben wir den Standartfehler, |
+ | Es gilt hierbei $u(T) = \frac{\sigma}{\sqrt{N}}$, | ||
===== Luftreibung ===== | ===== Luftreibung ===== | ||
- | Ebefalls untersuchen wollen wir noch den Einfluss der Luftreibung auf unsere Kippzeit des Besenstiels. Hierfür haben wir den gleichen Versuchsaufbau wie eben verwendet, kleben nur zusätzlich noch ein Stück Pappe an unseren Besenstiel. Die Versuchsdurchführung bleibt ebenfalls die gleiche, unsere Messwerte dazu sind wieder im Abschnitt " | + | {{ : |
+ | Ebefalls untersuchen wollen wir noch den Einfluss der Luftreibung auf unsere Kippzeit des Besenstiels. Hierfür haben wir den gleichen Versuchsaufbau wie eben verwendet, kleben nur zusätzlich noch ein Stück Pappe an unseren Besenstiel. Die Versuchsdurchführung bleibt ebenfalls die gleiche, unsere Messwerte dazu sind wieder im Abschnitt " | ||
+ | Die gemessenen Werte haben wir wieder mit qti-Plot dargestellt und im Versuchsbericht ausgewertet. | ||
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===== Messwerte ===== | ===== Messwerte ===== | ||
- | Messreihe für den Besen mit einer Stablänge von l=(120+-1)cm. Als unsicherheit für den Winkel geben wir 5° an, die Unsicherheit für die Zeit schätzen wir auf 0,3s. | + | Messreihe für den Besen mit einer Stablänge von l=(120+-1)cm. Als unsicherheit für den Winkel geben wir 5° an, die Unsicherheit für die Zeit schätzen wir auf 0,018s. |
^ Winkel | ^ Winkel | ||
^ 1° | 1,1s | 1,17s | 1,24s | 1,06s | 1,20s | 1,15s | | ^ 1° | 1,1s | 1,17s | 1,24s | 1,06s | 1,20s | 1,15s | | ||
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- | Messreihe für den Besen mit einer Stablänge von l=(138+-1)cm. Als unsicherheit für den Winkel geben wir 5° an, die Unsicherheit für die Zeit schätzen wir auf 0,3s. | + | Messreihe für den Besen mit einer Stablänge von l=(138+-1)cm. Als unsicherheit für den Winkel geben wir 5° an, die Unsicherheit für die Zeit schätzen wir auf 0,018s. |
^ Winkel | ^ Winkel | ||
^ 1° | 1,21s | 1,28s | 1,29s | 1,29s | 1,27s | 1,27s | | ^ 1° | 1,21s | 1,28s | 1,29s | 1,29s | 1,27s | 1,27s | | ||
Line 149: | Line 154: | ||
^ 40° | 0,49s | 0,53s | 0,52s | 0,47s | 0,49s | 0,50s | | ^ 40° | 0,49s | 0,53s | 0,52s | 0,47s | 0,49s | 0,50s | | ||
- | Messreihe für den Besen mit einer Stablänge von l=(138+-1)cm und zusätlich angeklebter Pappe zur Untersuchung der Luftreibung. Als Unsicherheit für den Winkel geben wir 5° an, die Unsicherheit für die Zeit schätzen wir auf 0,3s. | + | Messreihe für den Besen mit einer Stablänge von l=(138+-1)cm und zusätlich angeklebter Pappe zur Untersuchung der Luftreibung. Als Unsicherheit für den Winkel geben wir 5° an, die Unsicherheit für die Zeit schätzen wir auf 0,018s. |
^ Winkel | ^ Winkel | ||
^ 1° | 1,55s | 1,42s | 1,29s | 1,46s | 1,54s | 1,45s | | ^ 1° | 1,55s | 1,42s | 1,29s | 1,46s | 1,54s | 1,45s | | ||
Line 156: | Line 161: | ||
^ 30° | 0,64s | 0,69s | 0,72s | 0,62s | 0,68s | 0,67s | | ^ 30° | 0,64s | 0,69s | 0,72s | 0,62s | 0,68s | 0,67s | | ||
^ 40° | 0,57s | 0,49s | 0,58s | 0,55s | 0,57s | 0,55s | | ^ 40° | 0,57s | 0,49s | 0,58s | 0,55s | 0,57s | 0,55s | | ||
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+ | ===== Numerische Werte ===== | ||
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+ | Numerisch bestimmte Werte für den Besen mit einer Stablänge von l=(120+-1)cm. | ||
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+ | ^ Zeit | 1, | ||
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+ | Numerisch bestimmte Werte für den Besen mit einer Stablänge von l=(138+-1)cm. | ||
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+ | ^ Zeit | 1, | ||