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a_mechanik:kippender_besenstiel:gruppenseiten:gruppe339:start [ 8 January 2021 10:38] – [Computerprogramm] leonkaspereka_mechanik:kippender_besenstiel:gruppenseiten:gruppe339:start [19 January 2021 17:09] (current) – [Messunsicherheiten] julespourtawaf
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   - Welche Schlussfolgerungen ergeben sich aus diesen Experimenten für das Jonglieren? Wie sollte der Stab beschaffen sein, damit das Jonglieren möglichst leicht gelingt?   - Welche Schlussfolgerungen ergeben sich aus diesen Experimenten für das Jonglieren? Wie sollte der Stab beschaffen sein, damit das Jonglieren möglichst leicht gelingt?
  
-1. Ist der Stab nicht ganz parallel zur Schwerkraft ausgerichtet, so wirkt nach $\vec{M} = \vec{r} \times \vec{F}$ ein Drehmoment auf ihn. Der Stab beginnt zu kippen, wobei das Drehmoment immer größer wird, da sich der Winkel zwischen Schwerkraft und Stab vergrößert. Die Beschleunigung des Stabes wird immer größer.+1. Wird ein homogener Stab angenommen, mit dem Schwerpunkt im Zentrum gilt folgendes. Wenn der Stab nicht ganz parallel zur Schwerkraft ausgerichtet ist, so wirkt nach $\vec{M} = \vec{r} \times \vec{F}$ ein Drehmoment auf ihn. Der Stab beginnt zu kippen, wobei das Drehmoment immer größer wird, da sich der Winkel zwischen Schwerkraft und Stab vergrößert. Die Drehbewegung findet dabei um den Punkt statt, auf dem der Stab auf dem Boden steht. Das Drehmoment, welches die Beschleunigung der Drehbewegung ist, wird also immer größer.
  
-2. Analog zum freien Fall eines Körpers spielt die Masse des Stabes keine Rolle, da bei Vernachlässigung der Luftreibung +2. Analog zum freien Fall eines Körpers spielt die Masse des Stabes keine Rolle, wenn Reibung vernachlässigt wird.
  
 3. Ist der Anfangswinkel kleiner, so ist nach $\vec{M} = \vec{r} \times \vec{F}$ die Anfangsbeschleunigung kleiner. Außerdem ist der Kippweg größer, wodurch auch die Kippzeit länger wird. 3. Ist der Anfangswinkel kleiner, so ist nach $\vec{M} = \vec{r} \times \vec{F}$ die Anfangsbeschleunigung kleiner. Außerdem ist der Kippweg größer, wodurch auch die Kippzeit länger wird.
  
-4. Je Länger der Stab, desto höher der Schwerpunkt und desto größer das Drehmoment. Der längere Stab erreicht somit eine höhere Kippgeschwindigkeit. Beim längeren Stab ist die Kippzeit kleiner.+4. Ein längerer Stab braucht eine längere Zeit, bis er auf dem Boden aufkommt. Dies liegt daran, dass bei einer weiter außen platzierten Masse auch das Trägheitsmoment größer wird und sich somit die Falldauer verändert.
  
-5. Je länger der Stab, desto höher liegt der Schwerpunkt und die Kippzeit, bedingt durch die im Schwerpunkt angreifende Kraft, wird größer. Man hat mehr Zeit um auf ein Wegkippen des Stabes zu reagieren.+5. Der größere Stab hat eine größere Fallzeit, also hat man mehr Zeit um auf die Kippbewegung zu reagieren. Ein großer bezeihungsweise langer Stab lässt sich leichter jonglieren.
  
 ====== Numerische Lösung ====== ====== Numerische Lösung ======
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 ===== Vorgehen ===== ===== Vorgehen =====
-Mittels Mathematica haben wir ein Programm zur numerischen Lösung des Problems geschrieben. Zuerst haben wir die nötigen Definitionen getätigt, um anschließend die DGL zu definieren und mittels einer While-Schleife in einer Module-Umgebung zu lösen. In dieser Umgebung erhalten wir alle Winkel zu allen Zeiten die in dem Bereich unserer Anfangsbedingungen liegen mit den entsprechenden Zeitschritten. Anschließend können wir uns diese Werte in einem Plot ausgeben lassen. Da wir mittels $\varphi$ < 1.5707 definieren, dass die Bewegung nicht über 90 Grad hinaus geht, ist der letzte Wert unserer Liste der Zeitpunkt, an dem der Besenstiel auf den Boden aufschlägt. Mit dem Befehl Last können wir uns diesen Wert ausgeben lassen. +Mittels Mathematica haben wir ein Programm zur numerischen Lösung des Problems geschrieben. Zuerst haben wir die nötigen Definitionen getätigt, um anschließend die DGL zu definieren und mittels einer While-Schleife in einer Module-Umgebung zu lösen. In dieser Umgebung erhalten wir alle Winkel zu allen Zeiten die in dem Bereich unserer Anfangsbedingungen liegen mit den entsprechenden Zeitschritten. Da wir mittels $\varphi$ < 1.5707 definieren, dass die Bewegung nicht über 90 Grad hinaus geht, ist der letzte Wert unserer Liste der Zeitpunkt, an dem der Besenstiel auf den Boden aufschlägt (in der While-Schleife der vorletzte Wert, den letzten löschen wir wieder raus, weil er über 90 Grad hinaus kommt). Mit dem Befehl Last können wir uns diesen Wert ausgeben lassen. Manuelles verstellen der Anfangsbedingungen gibt uns beliebige Werte zum arbeiten aus. 
-Zum besseren Verständnis des Codes haben wir im Code einige Bemerkungen eingefügt.+Zum besseren Verständnis des Codes und für ein Übersichtlicheres und detaillierteres Beschreiben haben wir im Code einige Bemerkungen eingefügt.
 ===== Computerprogramm ===== ===== Computerprogramm =====
 Im folgenden haben wir den Mathematica-Code zum lösen der Differentialgleichung Im folgenden haben wir den Mathematica-Code zum lösen der Differentialgleichung
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 Code zum Zeitschrittverfahren: Code zum Zeitschrittverfahren:
-<code mathematica [enable_line_numbers="true"] ZeitschrittLoop.nb>+<code mathematica [enable_line_numbers="true"] DGLloesen.nb>
 ClearAll ClearAll
-l = 1.20;(*Länge des Besen*)+l = 1.45;(*Länge des Besen*)
 g = 9.81;(*Fallbeschleunigung*) g = 9.81;(*Fallbeschleunigung*)
 stepsize = 0.01;(*Zeitschritt \[CapitalDelta]t*) stepsize = 0.01;(*Zeitschritt \[CapitalDelta]t*)
Line 78: Line 78:
 [[https://ap.iqo.uni-hannover.de/lib/exe/fetch.php?media=a_mechanik:kippender_besenstiel:kippenderbesenstielwisem2021.pdf|Aufgabe]]. Im folgenden ist die Abbildung aus dem PDF kopiert um sie besser zu vergleichen. [[https://ap.iqo.uni-hannover.de/lib/exe/fetch.php?media=a_mechanik:kippender_besenstiel:kippenderbesenstielwisem2021.pdf|Aufgabe]]. Im folgenden ist die Abbildung aus dem PDF kopiert um sie besser zu vergleichen.
  
-{{ :a_mechanik:kippender_besenstiel:gruppenseiten:gruppe339:diag.jpg?600 |}}+{{ :a_mechanik:kippender_besenstiel:gruppenseiten:gruppe339:diag.jpg?600|}}
  
  
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  ...  ...
 ===== Zeitschritte ===== ===== Zeitschritte =====
-Da wir die Winkelbeschleunigung kennen, kann man mit einem Startpunkt, welcher bekannt ist, Stück für Stück die späteren Funktionswerte annähern.DIes geht, da man, wenn man bei einer Funktion den Funktionswert an einer Stelle und die Ableitung an allen Stellen kennt, den zum Funktionswert den Zeitschritt multipiziert mit der Ableitung an der Stelle addieren kann. Da jedoch die Ableitung nicht immer (zB hier nicht) eine Konstante ist, ist es Präziser, möglichst kleine Zeitschritte zu wählen, da man dann nicht so große ungenauigkeiten erhält. Dies kann man auch anhand unseres Ergebnisses erkennen.+Wenn man bei unserem Verfahren die Länge der Zeitschritte variiert, so ändert sich die Genauigkeit des Verfahrens. Je kürzer die Zeitschritte sind, desto genauer ist das Verfahren. Dies liegt daran, dass sich die jeweilige Ableitung die verwendet wird ändert und man somit bei größeren Zeitschritten nicht mehr wirklich realitätsnahe größen hinzuaddiert. Dies sieht man auch in unserer numerischen Lösung, wir haben jeweils für kleinere Zeitschritte eine Lösung erhalten, die näher an unserer erwarteten Lösung lag. Diesen Effekt sehen wir auch daran, dass unser Endwinkel für kleinere Zeitschritte auch immer näher an den tatsächlichen Endwinkel $\frac{\Pi}{2}$ gegangen ist. Je kleiner die Zeitschritte sind, desto besser wird der tatsächliche Endwinkel angenähert, desto genauer sind die Approximationen in den einzenen Schritten und desto genauer ist letztendlich auch die gesamte Approximation durch das Zeitschrittverfahren. Somit ist es gut mit einem möglichst kleinen Zeitschritt bei der numerischen Suche nach Lösungen zu arbeiten, auch wenn sich die Rechenzeit dadurch erhöht. 
 + 
 +Beispiel bei einem Besenstiel der Länge l=1,45m und einen Startwinkel von 1 rad. Berechnet mit dem Mathematica-Code (Endwinkel $\frac{\Pi}{2}$=1,5708) 
 +^ Zeitschritt | 100 ms   | 10 ms    |  1 ms    | 0,1 ms   | 0,01 ms  | 
 +^ Winkel      | 1,53234s | 1,56379s | 1,56889s | 1,57071s | 1,57079s | 
 +^ Zeit        | 0,3s     | 0,35s    | 0,356s   | 0,357s   | 0,35707s | 
 + 
 +An den Werten in der Tabelle erkennt man, dass ein Zeitschritt von 100ms im Vergleich zu 0,01ms sehr ungenau ist. Außerdem lässt sich erkennen das bereits 1ms als Zeitschritt einen recht genauen Wert ausgibt.
 ===== Endwinkel ===== ===== Endwinkel =====
-Da wir das Fallen des Besenstiels bei der DGL betrachten und bei dieser der begrenzende Faktor des Boden ist, kann die Bewegung nur von 0 Grad bis 90 Grad stattfinden. Einen waagerechten Boden angenommen führt dies zu einem Wert von maximal 90 Grad beziehungsweise Pi/2. In unserem Mathematica-Code beachten wir dies, da wir die While-Schleife nur bis $\varphi$ < 1.5707 rad laufen lassen, was einem Winkel von 90 Grad entspricht.+Bei der Betrachtung ist wichtig zu verstehen, dass es einen Winkel gibt, bei dem die Berechnung stoppt. Da wir das Fallen des Besenstiels bei der DGL betrachten und bei dieser der begrenzende Faktor des Boden ist, kann die Bewegung nur von 0 Grad bis 90 Grad stattfinden. Einen waagerechten Boden angenommen führt dies zu einem Wert von maximal 90 Grad beziehungsweise Pi/2. In unserem Mathematica-Code beachten wir dies, da wir die While-Schleife nur bis $\varphi$ < 1.5707 rad laufen lassen, was einem Winkel von 90 Grad entspricht.
 ===== Massepunkt an der Stabspitze ===== ===== Massepunkt an der Stabspitze =====
-Der Punkt, an welchen wir das gut vergleichen können, ist der bei einem Winkel von 90°. Für die tangentiale Beschleunigung a gilt: +Wir haben uns des weiteren mit der Frage beschäftigt, was passieren würde, wenn man einen Besen und nicht nur einen Besenstiel für unseren Versuch nehmen würde. Wir hätten in diesem Fall eine zusätzliche Masse am oberen Ende des Besenstiels. Wir müssen uns also fragen, ob diese Masse etwas an der Winkelbeschleunigung ändern würde. Wir haben dazu angenommnen, dass es sich um eine Punktmasse am oberen Ende des Besenstiels handelt. 
 +Der Punkt, an welchen wir die Fallbeschleunigung besonders gut vergleichen können, ist der bei einem Winkel von 90°. Für die tangentiale Beschleunigung a gilt: 
 $a = r \cdot \alpha$, wobei $\alpha$ die Winkelbeschleunigung darstellt. $a = r \cdot \alpha$, wobei $\alpha$ die Winkelbeschleunigung darstellt.
 Setzt man dies nun für unsere Werte ein, wobei man $l=1,45 m$ verwendet, erhält man: Setzt man dies nun für unsere Werte ein, wobei man $l=1,45 m$ verwendet, erhält man:
-$a = 1,45m \cdot \frac{2 \cdot g}{2,9m}$+$a = 1,45m \cdot \frac{3 \cdot g}{2,9m} = \frac{3}{2} \cdot g$.
 Wir erhaten also offensichtlich eine Beschleunigung, welche größer als $g$ ist. Wir erhaten also offensichtlich eine Beschleunigung, welche größer als $g$ ist.
 +Wir sehen also, dass es für unseren Versuch besonders wichtig ist, nur den Besenstiel zu verwenden und das obere Ende abzuschrauben.
 ====== Messungen ====== ====== Messungen ======
 Im folgenden werden wir darlegen wie wir unsere Messungen durchgeführt haben und unsere Messreihen anschließend darstellen. Im folgenden werden wir darlegen wie wir unsere Messungen durchgeführt haben und unsere Messreihen anschließend darstellen.
  
 ===== Vorgehen ===== ===== Vorgehen =====
 +{{ :a_mechanik:kippender_besenstiel:gruppenseiten:gruppe339:whatsapp_image_2021-01-05_at_13.07.36.jpeg?400|}}
 Bei unserer Messung haben wir zwei verschiedene Besen mit unterschiedlichen Stablängen verwendet. Hierbei haben wir den Besen in unterschiedlichen Winkeln platziert und fallen gelassen. Den Winkel haben wir mit einer Winkelmessapp auf dem Handy ermittelt, wobei wir das Handy parallel zum Besenstiel gehalten haben und dann den Winkel ablesen konnten. Anschließend haben wir den Besen in der Position gehalten, die Stoppuhr genommen und den Besen fallen gelassen. Die Fallzeit haben wir also manuell mit einer Stoppuhr und nicht mit der Phyphox App bestimmt, da die Messung mit der App nicht gut funktioniert hat. Deshalb haben wir bei der Zeit eine relativ hohe Unsicherheit (siehe Tabelle). Auch die Unsicherheit für den Winkel fällt etwas größer aus, da wir nach der Winkelmessung noch auf die Stoppuhr wechseln mussten und dabei kleine Abweichungen der Position nicht ausgeschlossen sind. Unsere Messwerte sind in den Tabellen weiter unten zu sehen. Bei unserer Messung haben wir zwei verschiedene Besen mit unterschiedlichen Stablängen verwendet. Hierbei haben wir den Besen in unterschiedlichen Winkeln platziert und fallen gelassen. Den Winkel haben wir mit einer Winkelmessapp auf dem Handy ermittelt, wobei wir das Handy parallel zum Besenstiel gehalten haben und dann den Winkel ablesen konnten. Anschließend haben wir den Besen in der Position gehalten, die Stoppuhr genommen und den Besen fallen gelassen. Die Fallzeit haben wir also manuell mit einer Stoppuhr und nicht mit der Phyphox App bestimmt, da die Messung mit der App nicht gut funktioniert hat. Deshalb haben wir bei der Zeit eine relativ hohe Unsicherheit (siehe Tabelle). Auch die Unsicherheit für den Winkel fällt etwas größer aus, da wir nach der Winkelmessung noch auf die Stoppuhr wechseln mussten und dabei kleine Abweichungen der Position nicht ausgeschlossen sind. Unsere Messwerte sind in den Tabellen weiter unten zu sehen.
- 
-{{:a_mechanik:kippender_besenstiel:gruppenseiten:gruppe339:whatsapp_image_2021-01-05_at_13.07.36.jpeg?400|}} 
 ===== Testen ===== ===== Testen =====
 +{{ :a_mechanik:kippender_besenstiel:gruppenseiten:gruppe339:besen.jpeg?200|}}{{ :a_mechanik:kippender_besenstiel:gruppenseiten:gruppe339:whatsapp_image_2021-01-07_at_12.31.28.jpeg?200|}}
 Bevor wir unsere Messreihen aufgenommen haben, haben wir uns mit unserem Versuchsaufbau und den Messgeräten vertraut gemacht. Mehrere Messungen nach einander haben gezeigt, dass der Aufbau soweit recht verlässliche Ergebnisse erzeugte. Wir konnten anschließend mit der richtigen Messung starten. Bevor wir unsere Messreihen aufgenommen haben, haben wir uns mit unserem Versuchsaufbau und den Messgeräten vertraut gemacht. Mehrere Messungen nach einander haben gezeigt, dass der Aufbau soweit recht verlässliche Ergebnisse erzeugte. Wir konnten anschließend mit der richtigen Messung starten.
  
-{{:a_mechanik:kippender_besenstiel:gruppenseiten:gruppe339:besen.jpeg?200|}} 
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-{{ :a_mechanik:kippender_besenstiel:gruppenseiten:gruppe339:whatsapp_image_2021-01-07_at_12.31.28.jpeg?200 |}} 
 ===== Messunsicherheiten =====  ===== Messunsicherheiten ===== 
 Wir haben für den Startwinkel die Messunsicherheit auf 5° abgeschätzt. Diese große Unsicherheit kommt dadurch zustande, dass wir mit unserer Winkelmessapp den Winkel gemessen haben, danach jedoch noch die App wechseln und die Stoppuhr öffnen mussten. In dieser Zeit des wechselns ist das Potential für Fehler ziemlich groß, da man die Hand mit dem Stiel über die gesamte Zeit sehr ruhig halten muss. Wir haben für den Startwinkel die Messunsicherheit auf 5° abgeschätzt. Diese große Unsicherheit kommt dadurch zustande, dass wir mit unserer Winkelmessapp den Winkel gemessen haben, danach jedoch noch die App wechseln und die Stoppuhr öffnen mussten. In dieser Zeit des wechselns ist das Potential für Fehler ziemlich groß, da man die Hand mit dem Stiel über die gesamte Zeit sehr ruhig halten muss.
-Die Messunsicherheit für die Fallzeit t haben wir auf 0,3s eingeschätzt, da wir bei der Messung bei 1° mit zusätzlicher Pappe eine Differenz von 0,26s haben. Wir haben die Unsicherheit also so gewählt, dass jeder Messwert in der Unsicherheit aller anderer Werte liegt.+Für die Messunsricherheit der Zeit haben wir den Standartfehler, welchen man über die Standartabweichung berechnen kann genommen.  
 +Es gilt hierbei $u(T) = \frac{\sigma}{\sqrt{N}}$, wobei wir in unserem Falle auf $u(T) = 0,018 s$ kommen. Nun kommen zu diesem Fehler, welchen wir durch die Betrachtung der Streuung erhalten haben noch systematische Messfehler. Wir schätzen den durch die Reaktionszeit bedingten Fehler auf ca. $0,1 s$ ein. Wir kommen also nach Addition dieser Fehler auf einen Zeitfehler von $0,12 s$.
  
 ===== Luftreibung ===== ===== Luftreibung =====
-Ebefalls untersuchen wollen wir noch den Einfluss der Luftreibung auf unsere Kippzeit des Besenstiels. Hierfür haben wir den gleichen Versuchsaufbau wie eben verwendet, kleben nur zusätzlich noch ein Stück Pappe an unseren Besenstiel. Die Versuchsdurchführung bleibt ebenfalls die gleiche, unsere Messwerte dazu sind wieder im Abschnitt "Messwerte" zu finden. +{{ :a_mechanik:kippender_besenstiel:gruppenseiten:gruppe339:whatsapp_image_2021-01-07_at_12.31.29.jpeg?200|}} 
 +Ebefalls untersuchen wollen wir noch den Einfluss der Luftreibung auf unsere Kippzeit des Besenstiels. Hierfür haben wir den gleichen Versuchsaufbau wie eben verwendet, kleben nur zusätzlich noch ein Stück Pappe an unseren Besenstiel. Die Versuchsdurchführung bleibt ebenfalls die gleiche, unsere Messwerte dazu sind wieder im Abschnitt "Messwerte" zu finden. Durch das Verwenden von Pappe können wir die zusätzliche Masse des Besenstiels vernächlässigen. Allerdings vergrößert sich die Fläche durch die Pappe signifikant. Die Fläche der Pappe beträgt in etwa $816cm^2$.  
 +Die gemessenen Werte haben wir wieder mit qti-Plot dargestellt und im Versuchsbericht ausgewertet.
  
  
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-{{ :a_mechanik:kippender_besenstiel:gruppenseiten:gruppe339:whatsapp_image_2021-01-07_at_12.31.29.jpeg?200 |}} 
  
 ===== Messwerte =====  ===== Messwerte ===== 
-Messreihe für den Besen mit einer Stablänge von l=(120+-1)cm. Als unsicherheit für den Winkel geben wir 5° an, die Unsicherheit für die Zeit schätzen wir auf 0,3s.+Messreihe für den Besen mit einer Stablänge von l=(120+-1)cm. Als unsicherheit für den Winkel geben wir 5° an, die Unsicherheit für die Zeit schätzen wir auf 0,018s.
 ^ Winkel  ^ 1      ^ 2      ^ 3      ^ 4      ^ 5      ^ Durchschnitt  | ^ Winkel  ^ 1      ^ 2      ^ 3      ^ 4      ^ 5      ^ Durchschnitt  |
 ^ 1°      | 1,1s   | 1,17s  | 1,24s  | 1,06s  | 1,20s  | 1,15s         | ^ 1°      | 1,1s   | 1,17s  | 1,24s  | 1,06s  | 1,20s  | 1,15s         |
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-Messreihe für den Besen mit einer Stablänge von l=(138+-1)cm. Als unsicherheit für den Winkel geben wir 5° an, die Unsicherheit für die Zeit schätzen wir auf 0,3s.+Messreihe für den Besen mit einer Stablänge von l=(138+-1)cm. Als unsicherheit für den Winkel geben wir 5° an, die Unsicherheit für die Zeit schätzen wir auf 0,018s.
 ^ Winkel  ^ 1      ^ 2      ^ 3      ^ 4      ^ 5      ^ Durchschnitt  ^ ^ Winkel  ^ 1      ^ 2      ^ 3      ^ 4      ^ 5      ^ Durchschnitt  ^
 ^ 1°      | 1,21s  | 1,28s  | 1,29s  | 1,29s  | 1,27s  | 1,27s         | ^ 1°      | 1,21s  | 1,28s  | 1,29s  | 1,29s  | 1,27s  | 1,27s         |
Line 149: Line 154:
 ^ 40°     | 0,49s  | 0,53s  | 0,52s  | 0,47s  | 0,49s  | 0,50s         | ^ 40°     | 0,49s  | 0,53s  | 0,52s  | 0,47s  | 0,49s  | 0,50s         |
  
-Messreihe für den Besen mit einer Stablänge von l=(138+-1)cm und zusätlich angeklebter Pappe zur Untersuchung der Luftreibung. Als Unsicherheit für den Winkel geben wir 5° an, die Unsicherheit für die Zeit schätzen wir auf 0,3s.+Messreihe für den Besen mit einer Stablänge von l=(138+-1)cm und zusätlich angeklebter Pappe zur Untersuchung der Luftreibung. Als Unsicherheit für den Winkel geben wir 5° an, die Unsicherheit für die Zeit schätzen wir auf 0,018s.
 ^ Winkel  ^ 1      ^ 2      ^ 3      ^ 4      ^ 5      ^ Durschschnitt  ^ ^ Winkel  ^ 1      ^ 2      ^ 3      ^ 4      ^ 5      ^ Durschschnitt  ^
 ^ 1°      | 1,55s  | 1,42s  | 1,29s  | 1,46s  | 1,54s  | 1,45s          | ^ 1°      | 1,55s  | 1,42s  | 1,29s  | 1,46s  | 1,54s  | 1,45s          |
Line 156: Line 161:
 ^ 30°     | 0,64s  | 0,69s  | 0,72s  | 0,62s  | 0,68s  | 0,67s          | ^ 30°     | 0,64s  | 0,69s  | 0,72s  | 0,62s  | 0,68s  | 0,67s          |
 ^ 40°     | 0,57s  | 0,49s  | 0,58s  | 0,55s  | 0,57s  | 0,55s          | ^ 40°     | 0,57s  | 0,49s  | 0,58s  | 0,55s  | 0,57s  | 0,55s          |
 +
 +===== Numerische Werte ===== 
 +
 +Numerisch bestimmte Werte für den Besen mit einer Stablänge von l=(120+-1)cm.
 +^ Winkel  ^ 1°       ^ 10°      ^ 20°      ^ 30°      ^ 40°      ^
 +^ Zeit    | 1,4981s  | 0,8412s  | 0,6436s  | 0,5269s  | 0,4416s  |
 +
 +
 +Numerisch bestimmte Werte für den Besen mit einer Stablänge von l=(138+-1)cm.
 +^ Winkel  ^ 1°       ^ 10°      ^ 20°      ^ 30°      ^ 40°      ^
 +^ Zeit    | 1,6066s  | 0,9021s  | 0,6902s  | 0,5650s  | 0,4735s  |