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a_mechanik:kippender_besenstiel:gruppenseiten:gruppe339:start [ 7 January 2021 12:58] – [Vorüberlegungen] leonkasperek | a_mechanik:kippender_besenstiel:gruppenseiten:gruppe339:start [19 January 2021 17:09] (current) – [Messunsicherheiten] julespourtawaf | ||
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Line 13: | Line 13: | ||
- Welche Schlussfolgerungen ergeben sich aus diesen Experimenten für das Jonglieren? Wie sollte der Stab beschaffen sein, damit das Jonglieren möglichst leicht gelingt? | - Welche Schlussfolgerungen ergeben sich aus diesen Experimenten für das Jonglieren? Wie sollte der Stab beschaffen sein, damit das Jonglieren möglichst leicht gelingt? | ||
- | 1. Ist der Stab nicht ganz parallel zur Schwerkraft ausgerichtet, | + | 1. Wird ein homogener Stab angenommen, mit dem Schwerpunkt im Zentrum gilt folgendes. Wenn der Stab nicht ganz parallel zur Schwerkraft ausgerichtet |
- | 2. Analog zum freien Fall eines Körpers spielt die Masse des Stabes keine Rolle, | + | 2. Analog zum freien Fall eines Körpers spielt die Masse des Stabes keine Rolle, |
3. Ist der Anfangswinkel kleiner, so ist nach $\vec{M} = \vec{r} \times \vec{F}$ die Anfangsbeschleunigung kleiner. Außerdem ist der Kippweg größer, wodurch auch die Kippzeit länger wird. | 3. Ist der Anfangswinkel kleiner, so ist nach $\vec{M} = \vec{r} \times \vec{F}$ die Anfangsbeschleunigung kleiner. Außerdem ist der Kippweg größer, wodurch auch die Kippzeit länger wird. | ||
- | 4. Je Länger der Stab, desto höher der Schwerpunkt | + | 4. Ein längerer |
- | 5. Je länger der Stab, desto höher liegt der Schwerpunkt und die Kippzeit, bedingt durch die im Schwerpunkt angreifende Kraft, wird größer. Man hat mehr Zeit um auf ein Wegkippen des Stabes | + | 5. Der größere |
====== Numerische Lösung ====== | ====== Numerische Lösung ====== | ||
Line 27: | Line 27: | ||
===== Vorgehen ===== | ===== Vorgehen ===== | ||
- | Mittels Mathematica haben wir ein Programm zur numerischen Lösung des Problems geschrieben. Zuerst haben wir die nötigen Definitionen getätigt, um anschließend die DGL zu definieren und mittels | + | Mittels Mathematica haben wir ein Programm zur numerischen Lösung des Problems geschrieben. Zuerst haben wir die nötigen Definitionen getätigt, um anschließend die DGL zu definieren und mittels |
+ | Zum besseren Verständnis | ||
===== Computerprogramm ===== | ===== Computerprogramm ===== | ||
- | Dokumentieren Sie hier im Wiki das Programm, das Sie für die Lösung | + | Im folgenden haben wir den Mathematica-Code zum lösen |
+ | $\ddot{\varphi}=\frac{Sin\varphi}{\tau^2}; | ||
+ | eingefügt. Ein Download-Link, sowie einige Bemerkungen sind vorhanden. | ||
- | Außerdem ist es möglich einen Link zum Download des präsentierten Programm-Codes anzuzeigen. Dazu geben Sie in dem einleitenden code-Tag einen Dateinamen an. Der Download bezieht sich unmittelbar auf das Im Editor eingetragene Programmstück. Ein getrennter Upload ist nicht nötig. | + | Code zum Zeitschrittverfahren: |
- | + | <code mathematica [enable_line_numbers=" | |
- | Beispiel: | + | ClearAll |
- | <code mathematica [enable_line_numbers=" | + | l = 1.45;(*Länge des Besen*) |
- | l = 1.20;(*Länge des Besen*) | + | |
g = 9.81; | g = 9.81; | ||
- | stepsize = 0.0001; | + | stepsize = 0.01; |
zeit = 0; | zeit = 0; | ||
startw = 0.017453; | startw = 0.017453; | ||
geschw = 0; | geschw = 0; | ||
- | dd\[CurlyPhi][\[CurlyPhi]_] := ((3*Sin[\[CurlyPhi]]*g)/ | + | dd\[CurlyPhi][\[CurlyPhi]_] := (Sin[\[CurlyPhi]]*3*g)/ |
- | 2*l))(*Zu lösende Differentialgleichung*) | + | |
Zeitschritt := | Zeitschritt := | ||
| | ||
Line 55: | Line 56: | ||
| | ||
| | ||
- | d\[CurlyPhi] + stepsize*dd\[CurlyPhi][\[CurlyPhi]]; | + | d\[CurlyPhi] + dd\[CurlyPhi][\[CurlyPhi]]*stepsize; |
| | ||
somit 90 Grad.*) | somit 90 Grad.*) | ||
- | | + | |
t = t + stepsize; ans = Append[ | t = t + stepsize; ans = Append[ | ||
ans, {t, \[CurlyPhi]} | ans, {t, \[CurlyPhi]} | ||
Line 68: | Line 69: | ||
| | ||
werden, da er sonst über 90 Grad liegt.*) | werden, da er sonst über 90 Grad liegt.*) | ||
- | graploes = | ||
- | | ||
- | Plot dar. (Nicht notwendig? | ||
- | loes, | ||
- | AxesLabel -> {" | ||
- | GridLines -> Automatic, | ||
- | ImageSize -> Large, | ||
- | PlotLabel -> " | ||
- | ] | ||
Last[loes](*Hier geben wir uns den letzten Wert unserer Liste aus. | Last[loes](*Hier geben wir uns den letzten Wert unserer Liste aus. | ||
Dies ist der entscheidende Wert für unsere Auswertung, da er die \ | Dies ist der entscheidende Wert für unsere Auswertung, da er die \ | ||
Line 86: | Line 78: | ||
[[https:// | [[https:// | ||
- | {{ : | + | {{ : |
- | Wie gut erkennbar ist, sind beide Darstellungen sehr ähnlich und die numerischen | + | In der folgenden Tabelle |
+ | ^ Winkel | ||
+ | ^ l=1,45m | 0,87s | 0,65s | 0,53s | 0,43s | 0,35s | 0,27s | | ||
+ | |||
+ | Es ist eindeutig zu erkennen, dass die numerisch berechneten Werte sehr dicht an die Werte in der Grafik kommen. Wir gehen somit davon aus, dass das Programm korrekt funktioniert. | ||
===== Idee des Verfahrens ===== | ===== Idee des Verfahrens ===== | ||
- | Das Zeitschrittverfahren ist ein Vefahren, welches besonders Hilfreich bei der Lösung von Anfangswertproblemen sein kann. Hierbei wird eine Approximation an die Lösung unserer Anfangswertaufgabe gemacht, welche genauer wird, je kleiner die betrachteten Zeischritte sind. Der Sinn dieses Verfahrens besteht darin, dass man, wenn man den Funktionswert an einer Stelle, sowie die Ableitung kennt, den Funktionswert an einer anderen Stellen nahe der Ausgangsstelle nähern kann, indem man den Funktioswert nimmt und dazu das Produkt aus Zeitdifferenz (Zeitschritt) und Ableitung an der Stelle addiert.\\ | + | Das Zeitschrittverfahren ist ein Vefahren, welches besonders Hilfreich bei der Lösung von Anfangswertproblemen sein kann. Hierbei wird eine Approximation an die Lösung unserer Anfangswertaufgabe gemacht, welche genauer wird, je kleiner die betrachteten Zeischritte sind. Der Sinn dieses Verfahrens besteht darin, dass man, wenn man den Funktionswert an einer Stelle sowie die Ableitung kennt, den Funktionswert an einer anderen Stellen nahe der Ausgangsstelle nähern kann, indem man den Funktioswert nimmt und dazu das Produkt aus Zeitdifferenz (Zeitschritt) und Ableitung an der Stelle addiert.\\ |
- | $\phi(t)= \phi(0) + \Delta t \cdot \dot{\phi}(0)$,\\ | + | |
- | $\phi(t+\Delta t) = \phi(t) + \Delta t \cdot \dot{\phi}(t+\Delta t)$. | + | $\varphi(t)= \varphi(0) + \Delta t \cdot \dot{\varphi}(0)$,\\ |
+ | $\varphi(t+\Delta t) = \varphi(t) + \Delta t \cdot \dot{\varphi}(t+\Delta t)$\\ | ||
+ | ... | ||
===== Zeitschritte ===== | ===== Zeitschritte ===== | ||
+ | Wenn man bei unserem Verfahren die Länge der Zeitschritte variiert, so ändert sich die Genauigkeit des Verfahrens. Je kürzer die Zeitschritte sind, desto genauer ist das Verfahren. Dies liegt daran, dass sich die jeweilige Ableitung die verwendet wird ändert und man somit bei größeren Zeitschritten nicht mehr wirklich realitätsnahe größen hinzuaddiert. Dies sieht man auch in unserer numerischen Lösung, wir haben jeweils für kleinere Zeitschritte eine Lösung erhalten, die näher an unserer erwarteten Lösung lag. Diesen Effekt sehen wir auch daran, dass unser Endwinkel für kleinere Zeitschritte auch immer näher an den tatsächlichen Endwinkel $\frac{\Pi}{2}$ gegangen ist. Je kleiner die Zeitschritte sind, desto besser wird der tatsächliche Endwinkel angenähert, | ||
- | ===== Endwinkel ===== | + | Beispiel bei einem Besenstiel der Länge l=1,45m und einen Startwinkel von 1 rad. Berechnet mit dem Mathematica-Code (Endwinkel |
+ | ^ Zeitschritt | 100 ms | 10 ms | 1 ms | 0,1 ms | 0,01 ms | | ||
+ | ^ Winkel | ||
+ | ^ Zeit | 0,3s | 0,35s | 0, | ||
+ | An den Werten in der Tabelle erkennt man, dass ein Zeitschritt von 100ms im Vergleich zu 0,01ms sehr ungenau ist. Außerdem lässt sich erkennen das bereits 1ms als Zeitschritt einen recht genauen Wert ausgibt. | ||
+ | ===== Endwinkel ===== | ||
+ | Bei der Betrachtung ist wichtig zu verstehen, dass es einen Winkel gibt, bei dem die Berechnung stoppt. Da wir das Fallen des Besenstiels bei der DGL betrachten und bei dieser der begrenzende Faktor des Boden ist, kann die Bewegung nur von 0 Grad bis 90 Grad stattfinden. Einen waagerechten Boden angenommen führt dies zu einem Wert von maximal 90 Grad beziehungsweise Pi/2. In unserem Mathematica-Code beachten wir dies, da wir die While-Schleife nur bis $\varphi$ < 1.5707 rad laufen lassen, was einem Winkel von 90 Grad entspricht. | ||
===== Massepunkt an der Stabspitze ===== | ===== Massepunkt an der Stabspitze ===== | ||
+ | Wir haben uns des weiteren mit der Frage beschäftigt, | ||
+ | Der Punkt, an welchen wir die Fallbeschleunigung besonders gut vergleichen können, ist der bei einem Winkel von 90°. Für die tangentiale Beschleunigung a gilt: | ||
+ | $a = r \cdot \alpha$, wobei $\alpha$ die Winkelbeschleunigung darstellt. | ||
+ | Setzt man dies nun für unsere Werte ein, wobei man $l=1,45 m$ verwendet, erhält man: | ||
+ | $a = 1,45m \cdot \frac{3 \cdot g}{2,9m} = \frac{3}{2} \cdot g$. | ||
+ | Wir erhaten also offensichtlich eine Beschleunigung, | ||
+ | Wir sehen also, dass es für unseren Versuch besonders wichtig ist, nur den Besenstiel zu verwenden und das obere Ende abzuschrauben. | ||
====== Messungen ====== | ====== Messungen ====== | ||
Im folgenden werden wir darlegen wie wir unsere Messungen durchgeführt haben und unsere Messreihen anschließend darstellen. | Im folgenden werden wir darlegen wie wir unsere Messungen durchgeführt haben und unsere Messreihen anschließend darstellen. | ||
===== Vorgehen ===== | ===== Vorgehen ===== | ||
+ | {{ : | ||
Bei unserer Messung haben wir zwei verschiedene Besen mit unterschiedlichen Stablängen verwendet. Hierbei haben wir den Besen in unterschiedlichen Winkeln platziert und fallen gelassen. Den Winkel haben wir mit einer Winkelmessapp auf dem Handy ermittelt, wobei wir das Handy parallel zum Besenstiel gehalten haben und dann den Winkel ablesen konnten. Anschließend haben wir den Besen in der Position gehalten, die Stoppuhr genommen und den Besen fallen gelassen. Die Fallzeit haben wir also manuell mit einer Stoppuhr und nicht mit der Phyphox App bestimmt, da die Messung mit der App nicht gut funktioniert hat. Deshalb haben wir bei der Zeit eine relativ hohe Unsicherheit (siehe Tabelle). Auch die Unsicherheit für den Winkel fällt etwas größer aus, da wir nach der Winkelmessung noch auf die Stoppuhr wechseln mussten und dabei kleine Abweichungen der Position nicht ausgeschlossen sind. Unsere Messwerte sind in den Tabellen weiter unten zu sehen. | Bei unserer Messung haben wir zwei verschiedene Besen mit unterschiedlichen Stablängen verwendet. Hierbei haben wir den Besen in unterschiedlichen Winkeln platziert und fallen gelassen. Den Winkel haben wir mit einer Winkelmessapp auf dem Handy ermittelt, wobei wir das Handy parallel zum Besenstiel gehalten haben und dann den Winkel ablesen konnten. Anschließend haben wir den Besen in der Position gehalten, die Stoppuhr genommen und den Besen fallen gelassen. Die Fallzeit haben wir also manuell mit einer Stoppuhr und nicht mit der Phyphox App bestimmt, da die Messung mit der App nicht gut funktioniert hat. Deshalb haben wir bei der Zeit eine relativ hohe Unsicherheit (siehe Tabelle). Auch die Unsicherheit für den Winkel fällt etwas größer aus, da wir nach der Winkelmessung noch auf die Stoppuhr wechseln mussten und dabei kleine Abweichungen der Position nicht ausgeschlossen sind. Unsere Messwerte sind in den Tabellen weiter unten zu sehen. | ||
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===== Testen ===== | ===== Testen ===== | ||
+ | {{ : | ||
Bevor wir unsere Messreihen aufgenommen haben, haben wir uns mit unserem Versuchsaufbau und den Messgeräten vertraut gemacht. Mehrere Messungen nach einander haben gezeigt, dass der Aufbau soweit recht verlässliche Ergebnisse erzeugte. Wir konnten anschließend mit der richtigen Messung starten. | Bevor wir unsere Messreihen aufgenommen haben, haben wir uns mit unserem Versuchsaufbau und den Messgeräten vertraut gemacht. Mehrere Messungen nach einander haben gezeigt, dass der Aufbau soweit recht verlässliche Ergebnisse erzeugte. Wir konnten anschließend mit der richtigen Messung starten. | ||
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- | ===== Messreihe bestimmen ===== | ||
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===== Messunsicherheiten ===== | ===== Messunsicherheiten ===== | ||
+ | Wir haben für den Startwinkel die Messunsicherheit auf 5° abgeschätzt. Diese große Unsicherheit kommt dadurch zustande, dass wir mit unserer Winkelmessapp den Winkel gemessen haben, danach jedoch noch die App wechseln und die Stoppuhr öffnen mussten. In dieser Zeit des wechselns ist das Potential für Fehler ziemlich groß, da man die Hand mit dem Stiel über die gesamte Zeit sehr ruhig halten muss. | ||
+ | Für die Messunsricherheit der Zeit haben wir den Standartfehler, | ||
+ | Es gilt hierbei $u(T) = \frac{\sigma}{\sqrt{N}}$, | ||
+ | |||
+ | ===== Luftreibung ===== | ||
+ | {{ : | ||
+ | Ebefalls untersuchen wollen wir noch den Einfluss der Luftreibung auf unsere Kippzeit des Besenstiels. Hierfür haben wir den gleichen Versuchsaufbau wie eben verwendet, kleben nur zusätzlich noch ein Stück Pappe an unseren Besenstiel. Die Versuchsdurchführung bleibt ebenfalls die gleiche, unsere Messwerte dazu sind wieder im Abschnitt " | ||
+ | Die gemessenen Werte haben wir wieder mit qti-Plot dargestellt und im Versuchsbericht ausgewertet. | ||
+ | |||
===== Messwerte ===== | ===== Messwerte ===== | ||
- | Messreie | + | Messreihe |
^ Winkel | ^ Winkel | ||
^ 1° | 1,1s | 1,17s | 1,24s | 1,06s | 1,20s | 1,15s | | ^ 1° | 1,1s | 1,17s | 1,24s | 1,06s | 1,20s | 1,15s | | ||
Line 129: | Line 145: | ||
^ 40° | 0,35s | 0,35s | 0,30s | 0,36s | 0,40s | 0,35s | | ^ 40° | 0,35s | 0,35s | 0,30s | 0,36s | 0,40s | 0,35s | | ||
- | Messreie für den Besen mit einer Stablänge von l=(132+-1)cm. Als unsicherheit für den Winkel geben wir 3° an, die Unsicherheit für die Zeit schätzen wir auf 0,3s. | + | |
- | ^ Winkel | + | Messreihe |
- | ^ 1° | 1,31s | 1,21s | 1,17s | 1,24s | 1,22s | 1,23s | | + | |
- | ^ 10° | 1,01s | 0,96s | 0,99s | 0,91s | 0,91s | 0,96s | | + | |
- | ^ 20° | 0,82s | 0,78s | 0,71s | 0,81s | 0,68s | 0,76s | | + | |
- | ^ 30° | 0,63s | 0,65s | 0,47s | 0,5s | 0,56s | 0,56s | | + | |
- | ^ 40° | 0,3s | 0,4s | 0,35s | 0,38s | 0,42s | 0,37s | | + | |
- | Messreie | + | |
^ Winkel | ^ Winkel | ||
^ 1° | 1,21s | 1,28s | 1,29s | 1,29s | 1,27s | 1,27s | | ^ 1° | 1,21s | 1,28s | 1,29s | 1,29s | 1,27s | 1,27s | | ||
Line 144: | Line 154: | ||
^ 40° | 0,49s | 0,53s | 0,52s | 0,47s | 0,49s | 0,50s | | ^ 40° | 0,49s | 0,53s | 0,52s | 0,47s | 0,49s | 0,50s | | ||
- | Messreie | + | Messreihe |
^ Winkel | ^ Winkel | ||
^ 1° | 1,55s | 1,42s | 1,29s | 1,46s | 1,54s | 1,45s | | ^ 1° | 1,55s | 1,42s | 1,29s | 1,46s | 1,54s | 1,45s | | ||
Line 151: | Line 161: | ||
^ 30° | 0,64s | 0,69s | 0,72s | 0,62s | 0,68s | 0,67s | | ^ 30° | 0,64s | 0,69s | 0,72s | 0,62s | 0,68s | 0,67s | | ||
^ 40° | 0,57s | 0,49s | 0,58s | 0,55s | 0,57s | 0,55s | | ^ 40° | 0,57s | 0,49s | 0,58s | 0,55s | 0,57s | 0,55s | | ||
- | Alle drei Messreihen in einem Plot. Die Fallzeit in Abhängigkeit von dem Startwinkel. | ||
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- | ===== Luftreibung ===== | ||
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- | {{ : | ||
- | ====== Diese Seiten ====== | ||
- | Diese Seite und ihre Unterseiten sind Ihr Bereich im APwiki für die Bearbeitung | ||
- | des Heim-Versuchs " | ||
- | im Präsenzpraktikum das Heft hat. Das heißt, es ist Ihre Logbuch für das, was | ||
- | Sie konkret experimentell und bei der Programmierung durchführen. | ||
- | |||
- | Legen Sie Fotos ab, notieren Sie Messwerte, laden sie ihr Programm hoch. Form | ||
- | und Formatierung sind dabei zweitrangig. | ||
- | Damit dieser Bereich diese Aufgabe erfüllen kann, haben wir ihn mit speziellen | + | ===== Numerische Werte ===== |
- | Zugriffsrechten ausgestattet: | + | |
- | - Ihre Gruppe hat das exklusive Schreibrecht für diese Seite. | + | |
- | - Die Seite ist nur für Ihre Gruppe, die Tutoren und die Praktikumsleitung einsehbar. | + | |
- | Unten auf dieser Seite finden Sie einen Abschnitt " | + | Numerisch bestimmte Werte für den Besen mit einer Stablänge von l=(120+-1)cm. |
- | findet die Kommunikation | + | ^ Winkel |
- | Rückmeldung zu Ihrem Versuchsbericht geben. | + | ^ Zeit | 1, |
- | Hier im Wiki gibt es [[: | ||
- | Formatierung ihres Versuchsberichts mit Latex]]. Den Versuchsbericht geben Sie | ||
- | dann im Ilias ab. | ||
- | < | + | Numerisch bestimmte Werte für den Besen mit einer Stablänge von l=(138+-1)cm. |
- | den Start erleichtern. Sie können es nach Belieben löschen und durch Ihre | + | ^ Winkel |
- | eigenen inhalte ersetzen. </ | + | ^ Zeit | 1, |