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a_mechanik:kippender_besenstiel:gruppenseiten:gruppe331:start [ 8 January 2021 18:08] – [Betrachtung der Messunsicherheiten] maltestoeppera_mechanik:kippender_besenstiel:gruppenseiten:gruppe331:start [14 January 2021 13:17] (current) – [Betrachtung der Messunsicherheiten] maltestoepper
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 ===== Computerprogramm ===== ===== Computerprogramm =====
-(1) Das Zeitschrittverfahren zur numerische Lösung der Bewegungsgleichung des Stabes wurde mit Mathematica gelöst. Dabei wurde eine "While-Schleife" genutzt, die bis zur Abbruchbedingung φ=(π/2)rad=90° den Winkel φ im Zeitpunkt t+Δt berechnet, diese Werte mit "Append" in die liste "winkel" einträgt und dann diese wieder als neue Anfangsbedingungen einsetzt. Die Konstanten sowie die Funktionen für φ und dessen Ableitungen wurden vorher definiert. t<sub>0</sub> und φ<sub>0</sub> wurden manuell in die liste eingesetzt. "T = Last[winkel][1]" nimmt aus dem letzten Element der Liste "winkel" den x-Wert, welches die gesuchte Fallzeit T ist. +(1) Das Zeitschrittverfahren zur numerische Lösung der Bewegungsgleichung des Stabes wurde mit Mathematica gelöst. Dabei wurde eine "While-Schleife" genutzt, die bis zur Abbruchbedingung φ=(π/2)rad=90° den Winkel φ im Zeitpunkt t+Δt berechnet, diese Werte mit "Append" in die Liste "winkel" einträgt und dann diese wieder als neue Anfangsbedingungen einsetzt. Die Konstanten sowie die Funktionen für φ und dessen Ableitungen wurden vorher definiert. t<sub>0</sub> und φ<sub>0</sub> wurden manuell in die Liste eingesetzt. "T = Last[winkel][1]" nimmt aus dem letzten Element der Liste "winkel" den x-Wert, welches die gesuchte Fallzeit T ist. 
  
 Im Beispiel von l=1,45m und φ<sub>0</sub>=0,25rad ergibt sich T=0,8s    Im Beispiel von l=1,45m und φ<sub>0</sub>=0,25rad ergibt sich T=0,8s   
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 ===== Versuchsaufbau ===== ===== Versuchsaufbau =====
  
-Wie untersuchen Die Fallzeiten zweier Stäbe bei verschiedenen Anfangswinkeln. Der erste Stab ist eine Gardinenstange der Länge l=2,02m und Radius a=1,25cm. Der zweite Stab ist ein Besenstiel der Länge l=1,413 und Radius a=1,15cm. Die Gardinenstange ist zwar ein hohlzlinder und hat somit ein anderes Trägheitsmoment als ein homogener Zylinder wie der Besenstiel. Da aber in beiden fällen l»a, kann a in der Berechnung des Trägheitsmoments J vernachlässigt werden, wodurch für beide Stäbe J=(1/3)ml2 gilt.+Wie untersuchen Die Fallzeiten zweier Stäbe bei verschiedenen Anfangswinkeln. Der erste Stab ist eine Gardinenstange der Länge l=2,02m und Radius a=1,25cm. Der zweite Stab ist ein Besenstiel der Länge l=1,413 und Radius a=1,15cm. Die Gardinenstange ist zwar ein Hohlzlinder und hat somit ein anderes Trägheitsmoment als ein homogener Zylinder wie der Besenstiel. Da aber in beiden Fällen l»a, kann a in der Berechnung des Trägheitsmoments J vernachlässigt werden, wodurch für beide Stäbe J=(1/3)ml<sup>2</sup> gilt.
  
-Der Stab wird mit Hilfe eines Fadens, welcher an der Wand fest gehalten wird, in einem Konstanten Anfangswinkel zu der Wand gehalten. Diesen Winkel können über die Fadenlänge und die Befestingungshöhe an der Wand oder am Stab trigonometrisch berechnen. Aufgrund unterschiedlicher Experimentierbedingung wurden beide varianten genutzt. Für konsistente und einfachere Versuchswiederholungen, wurde der Faden vorher gemessen und an bestimmten Längen markiert. Bei der Untersuchung des Einflusses vom Luftwiderstand, wird ein Stück Pappe der Fläche A=0,25 m2 an den Stab geklebt.+Der Stab wird mit Hilfe eines Fadens, welcher an der Wand fest gehalten wird, in einem konstanten Anfangswinkel zu der Wand gehalten. Dieser Winkel kann über die Fadenlänge und die Befestingungshöhe h an der Wand oder einen festen Punkt s am Stab trigonometrisch berechnet werden. Aufgrund unterschiedlicher Experimentierbedingungen wurden beide Varianten genutzt. Für konsistente und einfachere Versuchswiederholungen, wurde der Faden vorher vermessen und an bestimmten Längen markiert.
  
-Dieser Aufbau ermöglicht uns den Stab ohne externen Impuls los zu lassen und eine geringe Varianz des Anfangswinkels bei Versuchswiderholungen.+Zusätzlich wird der Einfluss der Luftreibung untersucht. Dabei wird ein Objekt mit möglichst großer Fläche und kleiner Masse am oberen Ende des Stabs befestigt. Da die Masse des Objekts viel kleiner als die des Stabs ist, ändern sich Trägheitsmoment, Schwerpunkt und Drehmoment so gut wie gar nicht. Bei der Untersuchung des Einflusses vom Luftwiderstand, wird ein Stück Pappe der Fläche A=0,25 m2 an den Stab geklebt.
  
 +Bei der Zeitmessung wird eine akustische Stoppuhr verwendet. Diese wird durch ein Audiosignal, welches einen besimmten Grenzwert in der Lautstärke überschreitet, getriggert. Als Startsignal wurde ein Klopfen (Schnipsen) verwendet. Gestoppt wurde die Zeitmessung durch das Aufprallen des Stabes.
  
 +Dieser Aufbau ermöglicht uns den Stab ohne externen Impuls loszulassen und eine geringe Unsicherheit des Anfangswinkels bei mehreren Versuchswiderholungen zu erhalten.
 +
 +{{ :a_mechanik:kippender_besenstiel:gruppenseiten:gruppe331:skizzeb.jpg?200 |}}
  
 {{ :a_mechanik:kippender_besenstiel:gruppenseiten:gruppe331:versuchsaufbai_arne.jpg?600 |}} {{ :a_mechanik:kippender_besenstiel:gruppenseiten:gruppe331:versuchsaufbai_arne.jpg?600 |}}
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 {{ :a_mechanik:kippender_besenstiel:gruppenseiten:gruppe331:versuch_besenstiel.mp4 |}} {{ :a_mechanik:kippender_besenstiel:gruppenseiten:gruppe331:versuch_besenstiel.mp4 |}}
  
-Für den Stab mit Länge l=2,02m wurden folgende Fadenlängen gemessen:+Für den Stab mit Länge l=2,02m und Befestigunghöhe h=0,971m wurden folgende Fadenlängen gemessen:
  
 ^ Fadenlänge in m  ^ resultierender Winkel φ<sub>0</sub>  ^ ^ Fadenlänge in m  ^ resultierender Winkel φ<sub>0</sub>  ^
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 | 0,2              | 11,64                                | | 0,2              | 11,64                                |
  
-Für den Stab mit Länge l=1,413m wurden folgende Fadenlängen gemessen:+Für den Stab mit Länge l=1,413m und Befestigungspunkt s=1,302m wurden folgende Fadenlängen gemessen:
  
 ^ Fadenlänge in m  ^ resultierender Winkel φ<sub>0</sub>  ^ ^ Fadenlänge in m  ^ resultierender Winkel φ<sub>0</sub>  ^
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 | 5               | 0,38                           | 0,411                          | 0,478                          | 0,512                          | 0,56                           | 0,673                          | 0,827                          | 1,009                          | | 5               | 0,38                           | 0,411                          | 0,478                          | 0,512                          | 0,56                           | 0,673                          | 0,827                          | 1,009                          |
 |                 |                                |                                |                                |                                |                                |                                |                                |                                | |                 |                                |                                |                                |                                |                                |                                |                                |                                |
-^ Mittelwert      | 0,3812                         | 0,4052                         | 0,4574                         | 0,4958                         | 0,5624                         | 0,6706                         | 0,8222                         | 1,0346                         | +^ Mittelwert      | 0,38                           | 0,41                           | 0,46                           | 0,50                           | 0,56                           | 0,67                           | 0,82                           | 1,03                           | 
-^ Standardfehler  | 0,00349857113690718            | 0,00564269439186635            | 0,0114743191519149             | 0,00846404158779954            | 0,00937336652436038            | 0,0088238313673823             | 0,00642961896227139            | 0,0114219087721799             |+^ Standardfehler  | 0,003                          | 0,006                          | 0,011                          | 0,008                          | 0,009                          | 0,009                          | 0,006                          | 0,011                          |
  
 Messung der Fallzeit T für einen Stab der Länge l=1,413m Messung der Fallzeit T für einen Stab der Länge l=1,413m
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 | 5               | 0,296                          | 0,306                          | 0,405                          | 0,501                          | 0,564                          | 0,623                          | 0,805                          | 1,071                         | | 5               | 0,296                          | 0,306                          | 0,405                          | 0,501                          | 0,564                          | 0,623                          | 0,805                          | 1,071                         |
 |                 |                                |                                |                                |                                |                                |                                |                                |                               | |                 |                                |                                |                                |                                |                                |                                |                                |                               |
-^ Mittelwert      | 0,3002                         | 0,3186                         | 0,4292                         | 0,4992                         | 0,5364                         | 0,6316                         | 0,8144                         | 1,062                         | +^ Mittelwert      | 0,30                           | 0,32                           | 0,43                           | 0,50                           | 0,54                           | 0,63                           | 0,81                           | 1,06                          | 
-^ Standardfehler  | 0,0122979673117146             | 0,00842970936628305            | 0,0121466044637997             | 0,00803367910735798            | 0,00728422954058971            | 0,00784601809837322            | 0,006881860213634              | 0,00520576603392816           |+^ Standardfehler  | 0,012                          | 0,008                          | 0,012                          | 0,008                          | 0,007                          | 0,008                          | 0,007                          | 0,005                         |
  
 Messung der Fallzeit T für einen Stab der Länge l=2,02m mit angeklebter Fläche A=0,25m<sup>2</sup> Messung der Fallzeit T für einen Stab der Länge l=2,02m mit angeklebter Fläche A=0,25m<sup>2</sup>
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 | 5                 | 0,764                          | 0,906                          | 1,063                          | 1,312                          | | 5                 | 0,764                          | 0,906                          | 1,063                          | 1,312                          |
 |                   |                                |                                |                                |                                | |                   |                                |                                |                                |                                |
-^ Mittelwert        | 0,7858                         | 0,8972                         | 1,0416                         | 1,3236                         | +^ Mittelwert        | 0,79                           | 0,90                           | 1,04                           | 1,32                           | 
-^ Standardarfehler  | 0,00785111457055622            | 0,00582580466545181            | 0,00814002456998748            | 0,0134484199815443             |+^ Standardarfehler  | 0,008                          | 0,006                          | 0,008                          | 0,013                          |
  
  
Line 199: Line 203:
  
 2.3 Unsicherheit durch Längenbestimmung und Winkelabschätzung 2.3 Unsicherheit durch Längenbestimmung und Winkelabschätzung
 +
 +Das folgende Verfahren soll eine Abschätzung für den Fehler des Startwinkels der Messung liefern. Es wurde lediglich für den Stab der Länge 1,413m durchgeführt, da nur hier die benötigten Messwerte vorhanden sind.
  
 Der erste Fehler der hier betrachtet werden soll, ist der, welcher bei der Längenmessung mit dem Zollstock auftritt. Hier muss der Zollstock an beiden Enden des Stabes, bzw. später des stramm gezogenen Fadens gemessen werden. Geht man davon aus, das man pro Seite eine Unsicherheit von 1mm hat addieren sich diese. Somit erhält man für die Unsicherheit des Fadens, bzw. des Stabs 2mm.  Der erste Fehler der hier betrachtet werden soll, ist der, welcher bei der Längenmessung mit dem Zollstock auftritt. Hier muss der Zollstock an beiden Enden des Stabes, bzw. später des stramm gezogenen Fadens gemessen werden. Geht man davon aus, das man pro Seite eine Unsicherheit von 1mm hat addieren sich diese. Somit erhält man für die Unsicherheit des Fadens, bzw. des Stabs 2mm. 
 Des Weiteren ist es nicht möglich den Faden im 90° Winkel zur Wand zu halten, wodurch auch hier ein Fehler vorliegt, der mit u(beta)=5° abgeschätzt wird. Des Weiteren ist es nicht möglich den Faden im 90° Winkel zur Wand zu halten, wodurch auch hier ein Fehler vorliegt, der mit u(beta)=5° abgeschätzt wird.
 Diese beiden Fehler haben einen direkten Einfluss auf den Startwinkel der Messung. Diese beiden Fehler haben einen direkten Einfluss auf den Startwinkel der Messung.
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 +{{ :a_mechanik:kippender_besenstiel:gruppenseiten:gruppe331:skizzeb.jpg?200 |}}
  
 Betrachtet man den Sinussatz, so ergibt sich: Betrachtet man den Sinussatz, so ergibt sich:
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 phi=arcsin(sin(beta)*f/s). phi=arcsin(sin(beta)*f/s).
  
-Möchte man nun allerdings den Fehler mithilfe der Gaußschen Fehlerfortpflanzung berechnen, so erhält man im Term d(phi)/d(beta) einen cos(90°), der trivialerweise verschwindet, wodurch sich ergeben würde, dass der Fehler des Winkel beta keinen Fehler für den Winkel phi verursacht, was keinen Sinn ergibt. Deshalb wurde zur Bestimmung der Unsicherheit von phi geschaut, wann der Winkel bei den gegebenen Unsicherheiten am größten wird und wann dieser am kleinsten wird. Er wird dabei am größten, wenn beta=90°, f minimal und s maximal. Am kleinsten wird er, für beta=85° oder beta=105°, da sin(x) symmetrisch um 90° ist, f maximal und s minimal. Die größte Abweichung vom jeweiligen normalen Wert soll dann als Unsicherheit genommen werden. Die folgende Tabelle zeigt die Ergebnisse.+Möchte man nun allerdings den Fehler mithilfe der Gaußschen Fehlerfortpflanzung berechnen, so erhält man im Term d(phi)/d(beta) einen cos(90°), der trivialerweise verschwindet, wodurch sich ergeben würde, dass der Fehler des Winkel beta keinen Fehler für den Winkel phi verursacht, was keinen Sinn ergibt. Deshalb wurde zur Bestimmung der Unsicherheit von phi geschaut, wann der Winkel phi bei den gegebenen Unsicherheiten am größten wird und wann dieser am kleinsten wird.  
 + 
 +Er wird dabei am größten, wenn beta=90°, f minimal und s maximal. 
 + 
 +Am kleinsten wird er, für beta=85° oder beta=105°, da sin(x) symmetrisch um 90° ist, f maximal und s minimal. Die größte Abweichung vom jeweiligen normalen Wert des Winkels phi soll dann als Unsicherheit genommen werden. Die folgende Tabelle zeigt die Ergebnisse der Vorgehensweise für den Stab der Länge l=1,413m:
  
 ^ f in m  ^ fmin in m  ^ fmax in m  ^ s in m  ^ smin in m  ^ smax in m  ^ phi in rad         ^ phimin in rad      ^ phimax in rad      ^ dphimin rad          ^ dphimax rad          ^ u(phi) in Grad     ^ ^ f in m  ^ fmin in m  ^ fmax in m  ^ s in m  ^ smin in m  ^ smax in m  ^ phi in rad         ^ phimin in rad      ^ phimax in rad      ^ dphimin rad          ^ dphimax rad          ^ u(phi) in Grad     ^
Line 225: Line 237:
 | 0,134   | 0,132      | 0,136      | 1,302   | 1,3        | 1,304      | 0,103101147965786  | 0,101013492632409  | 0,104807155656023  | 0,002087655333377    | 0,00170600769023745  | 0,830784186625706  | | 0,134   | 0,132      | 0,136      | 1,302   | 1,3        | 1,304      | 0,103101147965786  | 0,101013492632409  | 0,104807155656023  | 0,002087655333377    | 0,00170600769023745  | 0,830784186625706  |
  
 +
 +Wir haben uns dazu entschieden, die erhaltene Unsicherheit auf 1° zu runden.
  
  
 +===Korrektur ===
 +{{ :a_mechanik:kippender_besenstiel:gruppenseiten:gruppe331:331_v1_homelab_kippender_besenstiel_331_kommentiert.pdf |Kommentar v1}}