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a_mechanik:kippender_besenstiel:gruppenseiten:gruppe331:start [ 5 January 2021 17:17] – [Bilder einbinden] arnedykierek | a_mechanik:kippender_besenstiel:gruppenseiten:gruppe331:start [14 January 2021 13:17] (current) – [Betrachtung der Messunsicherheiten] maltestoepper | ||
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Die Wiki-Seite wurde angelegt am: 2 January 2021 13:26 | Die Wiki-Seite wurde angelegt am: 2 January 2021 13:26 | ||
- | ====== Diese Seiten ====== | ||
- | Diese Seite und ihre Unterseiten sind Ihr Bereich im APwiki für die Bearbeitung | ||
- | des Heim-Versuchs " | ||
- | im Präsenzpraktikum das Heft hat. Das heißt, es ist Ihre Logbuch für das, was | ||
- | Sie konkret experimentell und bei der Programmierung durchführen. | ||
- | Legen Sie Fotos ab, notieren Sie Messwerte, laden sie ihr Programm hoch. Form | + | ===== Computerprogramm ===== |
- | und Formatierung sind dabei zweitrangig. | + | (1) Das Zeitschrittverfahren zur numerische Lösung der Bewegungsgleichung des Stabes wurde mit Mathematica gelöst. Dabei wurde eine " |
- | Damit dieser Bereich diese Aufgabe erfüllen kann, haben wir ihn mit speziellen | + | Im Beispiel von l=1,45m und φ< |
- | Zugriffsrechten ausgestattet: | + | |
- | - Ihre Gruppe hat das exklusive Schreibrecht für diese Seite. | + | |
- | - Die Seite ist nur für Ihre Gruppe, die Tutoren | + | |
- | Unten auf dieser Seite finden Sie einen Abschnitt " | + | (2) Das gleiche Verfahren wurde auch zur Bestimmung der Beschleunigung a eines Massepunktes der Stabspitze genutzt. Hierbei wurde eine neue Liste “beschleunigung” angelegt, welche den Zeitlichen Verlauf von a=φ´´*l beinhaltet. In der “While-Schleife” blieb die Abbruchbedingung unverändert, |
- | findet | + | |
- | Rückmeldung zu Ihrem Versuchsbericht geben. | + | |
- | Hier im Wiki gibt es [[:vorlage-versuchsbericht: | + | Für unser Bespiel ergibt sich a< |
- | Formatierung ihres Versuchsberichts mit Latex]]. Den Versuchsbericht geben Sie | + | |
- | dann im Ilias ab. | + | |
- | < | ||
- | den Start erleichtern. Sie können es nach Belieben löschen und durch Ihre | ||
- | eigenen inhalte ersetzen. </ | ||
- | ===== Computerprogramm ===== | ||
- | Dokumentieren Sie hier im Wiki das Programm, das Sie für die Lösung der Bewegungsgleichung des Besenstiels geschrieben haben. Dafür eignet sich dafür besonders gut die Umgebung < | ||
- | Außerdem ist es möglich einen Link zum Download des präsentierten Programm-Codes anzuzeigen. Dazu geben Sie in dem einleitenden | + | <code> |
+ | l = 1.45; | ||
+ | g = 9.81; | ||
+ | \[Tau] = Sqrt[(2 l)/(3 g)]; | ||
- | Beispiel: | + | \[Phi]0 = 0.25; |
- | < | + | \[Phi]10 = 0; |
- | #include <stdio.h> | + | \[Phi]20 = Sin[\[Phi]0]/ |
- | int main() | + | |
- | { | + | \[Phi][\[CapitalDelta]t_, |
- | printf(" | + | t_] := \[Phi][ |
- | return | + | t] + \[CapitalDelta]t*(\[Phi]1[t] + \[CapitalDelta]t* |
- | } | + | Sin[\[Phi][t]]/ |
- | </code> | + | \[Phi]1[\[CapitalDelta]t_, |
- | wird dargestellt als | + | t_] := \[Phi]1[t] + \[CapitalDelta]t*Sin[\[Phi][t]]/ |
- | <code c [enable_line_numbers=" | + | \[Phi]2[t] := Sin[\[Phi][t]]/ |
- | #include <stdio.h> | + | |
- | int main() | + | \[Phi][0] = \[Phi]0; |
- | { | + | \[Phi]1[0] = \[Phi]10; |
- | printf(" | + | \[Phi]2[0] = \[Phi]20; |
- | return 0; | + | |
- | } | + | \[CapitalDelta]t = 0.01; |
+ | t = 0; | ||
+ | |||
+ | winkel = {{0, \[Phi]0}}; | ||
+ | |||
+ | While[\[Phi][\[CapitalDelta]t, | ||
+ | winkel = | ||
+ | Append[winkel, | ||
+ | \[Phi]1[t + \[CapitalDelta]t] = \[Phi]1[\[CapitalDelta]t, t]; | ||
+ | | ||
+ | t + \[CapitalDelta]t] = \[Phi][ | ||
+ | t] + \[CapitalDelta]t*\[Phi]1[t + \[CapitalDelta]t]; | ||
+ | t = t + \[CapitalDelta]t; | ||
+ | ] | ||
+ | |||
+ | T = Last[winkel][[1]] | ||
+ | |||
+ | \[Phi]0 = 0.25; | ||
+ | \[Phi]10 = 0; | ||
+ | \[Phi]20 = Sin[\[Phi]0]/\[Tau]^2; | ||
+ | |||
+ | \[Phi][0] | ||
+ | \[Phi]1[0] = \[Phi]10; | ||
+ | \[Phi]2[0] = \[Phi]20; | ||
+ | |||
+ | \[CapitalDelta]t = 0.01; | ||
+ | t = 0; | ||
+ | |||
+ | beschleunigung = {{0, \[Phi]20*l}}; | ||
+ | |||
+ | While[\[Phi][\[CapitalDelta]t, | ||
+ | beschleunigung = | ||
+ | Append[beschleunigung, | ||
+ | | ||
+ | | ||
+ | | ||
+ | t + \[CapitalDelta]t] = \[Phi][ | ||
+ | t] + \[CapitalDelta]t*\[Phi]1[t + \[CapitalDelta]t]; | ||
+ | | ||
+ | t = t + \[CapitalDelta]t; | ||
+ | ] | ||
+ | |||
+ | amax = Last[beschleunigung][[2]] | ||
+ | ListPlot[beschleunigung] | ||
</ | </ | ||
===== Versuchsaufbau ===== | ===== Versuchsaufbau ===== | ||
- | {{ : | ||
- | ===== Tabellen ===== | ||
- | Für eine Tabelle mit Ihren Messwerten gibt es im oben im Editfenster des Wikis eine Hilfsfunktion. Sie versteckt sich hinter einem Knopf der so aussieht, wie ein hellblauer Taschenrechner. | ||
- | ===== Syntax | + | Wie untersuchen Die Fallzeiten zweier Stäbe bei verschiedenen Anfangswinkeln. Der erste Stab ist eine Gardinenstange der Länge l=2,02m und Radius a=1,25cm. Der zweite Stab ist ein Besenstiel der Länge l=1,413 und Radius a=1,15cm. Die Gardinenstange ist zwar ein Hohlzlinder und hat somit ein anderes Trägheitsmoment als ein homogener Zylinder wie der Besenstiel. Da aber in beiden Fällen l»a, kann a in der Berechnung des Trägheitsmoments J vernachlässigt werden, wodurch für beide Stäbe J=(1/ |
- | Hier noch Links zu | + | |
- | | + | Der Stab wird mit Hilfe eines Fadens, welcher an der Wand fest gehalten wird, in einem konstanten Anfangswinkel zu der Wand gehalten. Dieser Winkel kann über die Fadenlänge |
- | * [[:wiki:apwiki_features|lokal installierten Erweiterungen]] und | + | |
- | * [[:wiki: | + | Zusätzlich wird der Einfluss der Luftreibung untersucht. Dabei wird ein Objekt mit möglichst großer Fläche und kleiner Masse am oberen Ende des Stabs befestigt. Da die Masse des Objekts viel kleiner als die des Stabs ist, ändern sich Trägheitsmoment, |
+ | |||
+ | Bei der Zeitmessung wird eine akustische Stoppuhr verwendet. Diese wird durch ein Audiosignal, | ||
+ | |||
+ | Dieser Aufbau ermöglicht uns den Stab ohne externen Impuls loszulassen und eine geringe Unsicherheit des Anfangswinkels bei mehreren Versuchswiderholungen zu erhalten. | ||
+ | |||
+ | {{ : | ||
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+ | {{ : | ||
+ | |||
+ | |||
+ | |||
+ | |||
+ | {{ : | ||
+ | |||
+ | Für den Stab mit Länge l=2,02m und Befestigunghöhe h=0,971m wurden folgende Fadenlängen gemessen: | ||
+ | |||
+ | ^ Fadenlänge in m ^ resultierender Winkel φ< | ||
+ | | 1,74 | 60,84 | | ||
+ | | 1,6 | 58,75 | | ||
+ | | 1,4 | 55,26 | | ||
+ | | 1,1 | 48,56 | | ||
+ | | 0,8 | 39,48 | | ||
+ | | 0,6 | 31,71 | | ||
+ | | 0,4 | 22,39 | | ||
+ | | 0,2 | 11,64 | | ||
+ | |||
+ | Für den Stab mit Länge l=1,413m und Befestigungspunkt s=1,302m wurden folgende Fadenlängen gemessen: | ||
+ | |||
+ | ^ Fadenlänge in m ^ resultierender Winkel φ<sub>0</ | ||
+ | | 1,175 | 64,48 | | ||
+ | | 1,077 | 55,81 | | ||
+ | | 0,961 | 47,57 | | ||
+ | | 0,837 | 40,01 | | ||
+ | | 0,727 | 33,94 | | ||
+ | | 0,554 | 25,18 | | ||
+ | | 0,305 | 13,55 | | ||
+ | | 0,134 | 5,91 | | ||
+ | |||
+ | |||
+ | |||
+ | ===== Messergebnisse ===== | ||
+ | Messung der Fallzeit T für einen Stab der Länge l=2,02m | ||
+ | |||
+ | ^ Messung Nr. ^ T in s (Φ< | ||
+ | | 1 | 0,386 | 0,393 | 0,439 | 0,516 | 0,579 | 0,661 | 0,816 | 1,077 | | ||
+ | | 2 | 0,392 | 0,42 | 0,459 | 0,495 | 0,532 | 0,678 | 0,828 | 1,024 | | ||
+ | | 3 | 0,374 | 0,411 | 0,425 | 0,47 | 0,556 | 0,644 | 0,801 | 1,028 | | ||
+ | | 4 | 0,374 | 0,391 | 0,486 | 0,486 | 0,585 | 0,697 | 0,839 | 1,035 | | ||
+ | | 5 | 0,38 | 0,411 | 0,478 | 0,512 | 0,56 | 0,673 | 0,827 | 1,009 | | ||
+ | | | ||
+ | ^ Mittelwert | ||
+ | ^ Standardfehler | ||
+ | |||
+ | Messung der Fallzeit T für einen Stab der Länge l=1,413m | ||
+ | |||
+ | ^ Messung Nr. ^ T in s (Φ< | ||
+ | | 1 | 0,258 | 0,335 | 0,44 | 0,498 | 0,532 | 0,641 | 0,825 | 1,056 | | ||
+ | | 2 | 0,329 | 0,343 | 0,471 | 0,51 | 0,535 | 0,607 | 0,81 | 1,06 | | ||
+ | | 3 | 0,32 | 0,305 | 0,408 | 0,47 | 0,521 | 0,653 | 0,835 | 1,076 | | ||
+ | | 4 | 0,298 | 0,304 | 0,422 | 0,517 | 0,53 | 0,634 | 0,797 | 1,047 | | ||
+ | | 5 | 0,296 | 0,306 | 0,405 | 0,501 | 0,564 | 0,623 | 0,805 | 1,071 | | ||
+ | | | ||
+ | ^ Mittelwert | ||
+ | ^ Standardfehler | ||
+ | |||
+ | Messung der Fallzeit T für einen Stab der Länge l=2,02m mit angeklebter Fläche A=0, | ||
+ | |||
+ | ^ Messung Nr. ^ T in s (Φ< | ||
+ | | 1 | 0,804 | 0,877 | 1,036 | 1,292 | | ||
+ | | 2 | 0,786 | 0,896 | 1,046 | 1,363 | | ||
+ | | 3 | 0,773 | 0,896 | 1,049 | 1,347 | | ||
+ | | 4 | 0,802 | 0,911 | 1,014 | 1,304 | | ||
+ | | 5 | 0,764 | 0,906 | 1,063 | 1,312 | | ||
+ | | | ||
+ | ^ Mittelwert | ||
+ | ^ Standardarfehler | ||
+ | |||
+ | |||
+ | |||
+ | |||
+ | ===== Betrachtung der Messunsicherheiten ===== | ||
+ | 1. statistische Unsicherheit | ||
+ | |||
+ | Für eine Abschätzung der Messunsicherheiten soll zunächst die Frage beantwortet werden, wie groß der relative Standardfehler der gesamten Messungen sein müsste, damit alle Messwerte mit der statistischen Messunsicherheit begründet werden können. Daher muss für jede Messung der Fallzeit bei einem bestimmten Winkel ein Fehler gefunden werden, sodass der numerische Wert, der als wahrer Wert angenommen wird zu einhundert Prozent in diesem Fehlerintervall liegt. | ||
+ | |||
+ | Aufgrund dieser Überlegungen ist es sinnvoll für jeden Winkel die Messreihe nach der betragsmäßig größten Differenz zum wahren Wert zu durchsuchen und diese dann als Standardfehler festzulegen. Somit ist sichergestellt, | ||
+ | |||
+ | ^ numerische Fallzeit T in s | 1,07 | 0,81 | 0,62 | 0,52 | 0,47 | 0,41 | 0,35 | 0,29 | | ||
+ | ^ größte Abweichung in s | 0,014 | 0,025 | 0,033 | 0,044 | 0,047 | 0,061 | 0,046 | 0,039 | | ||
+ | ^ relative Abweichung in % | 1,21 | 3,09 | 5,32 | 8,46 | 10 | 14,88 | 13,14 | 13,45 | | ||
+ | |||
+ | ^ numerische Fallzeit T in s | 1,03 | 0,78 | 0,65 | 0,57 | 0,48 | 0,43 | 0,4 | 0,38 | | ||
+ | ^ größte Abweichung in s | 0,047 | 0,059 | 0,047 | 0,038 | 0,036 | 0,056 | 0,02 | 0,012 | | ||
+ | ^ Abweichung in % | 4,56 | 7,56 | 7,23 | 6,67 | 7,5 | 13,02 | 5 | 3,16 | | ||
+ | |||
+ | |||
+ | |||
+ | 2. systematische Unsicherheiten | ||
+ | |||
+ | 2.1 Unsicherheit durch Schallgeschwindigkeit | ||
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+ | Da sich Schall mit einer Geschwindigkeit von c=300m/s ausbreitet, ist es nötig, das Startsignal und das Aufprallen des Stabes in gleichen Abständen zur Stoppuhr zu positionieren, | ||
+ | |||
+ | 2.2 Unsicherheit durch Koordination bzw. Reaktion | ||
+ | |||
+ | Aufgrund der Koordination bzw. Reaktion kommt es beim gleichzeitigen Loslassen des Fadens und Klopfens zur Aktivierung der Stoppuhr zu einer Unsicherheit. Dafür wurde das folgende Video mit 30 fps aufgenommen und frame für frame untersucht. Dabei hat sich herausgestellt, | ||
+ | |||
+ | |||
+ | {{ :a_mechanik:kippender_besenstiel: | ||
+ | |||
+ | |||
+ | 2.3 Unsicherheit durch Längenbestimmung und Winkelabschätzung | ||
+ | |||
+ | Das folgende Verfahren soll eine Abschätzung für den Fehler des Startwinkels der Messung liefern. Es wurde lediglich für den Stab der Länge 1,413m durchgeführt, | ||
+ | |||
+ | Der erste Fehler der hier betrachtet werden soll, ist der, welcher bei der Längenmessung mit dem Zollstock auftritt. Hier muss der Zollstock an beiden Enden des Stabes, bzw. später des stramm gezogenen Fadens gemessen werden. Geht man davon aus, das man pro Seite eine Unsicherheit | ||
+ | Des Weiteren ist es nicht möglich den Faden im 90° Winkel zur Wand zu halten, wodurch auch hier ein Fehler vorliegt, der mit u(beta)=5° abgeschätzt wird. | ||
+ | Diese beiden Fehler haben einen direkten Einfluss auf den Startwinkel der Messung. | ||
+ | |||
+ | {{ :a_mechanik:kippender_besenstiel: | ||
+ | |||
+ | Betrachtet man den Sinussatz, so ergibt sich: | ||
+ | |||
+ | f/ | ||
+ | |||
+ | wobei beta der vermeintliche 90° Winkel ist. | ||
+ | Umstellen nach phi ergibt | ||
+ | |||
+ | phi=arcsin(sin(beta)*f/s). | ||
+ | |||
+ | Möchte man nun allerdings den Fehler mithilfe der Gaußschen Fehlerfortpflanzung berechnen, so erhält man im Term d(phi)/ | ||
+ | |||
+ | Er wird dabei am größten, wenn beta=90°, f minimal und s maximal. | ||
+ | |||
+ | Am kleinsten wird er, für beta=85° oder beta=105°, da sin(x) symmetrisch um 90° ist, f maximal und s minimal. Die größte Abweichung vom jeweiligen normalen Wert des Winkels phi soll dann als Unsicherheit genommen werden. Die folgende Tabelle zeigt die Ergebnisse der Vorgehensweise für den Stab der Länge l=1,413m: | ||
+ | |||
+ | ^ f in m ^ fmin in m ^ fmax in m ^ s in m ^ smin in m ^ smax in m ^ phi in rad ^ phimin in rad ^ phimax in rad ^ dphimin rad ^ dphimax rad ^ u(phi) in Grad ^ | ||
+ | | 1,175 | 1,173 | 1,177 | 1,302 | 1,3 | 1,304 | 1, | ||
+ | | 1,077 | 1,075 | 1,079 | 1,302 | 1,3 | 1,304 | 0, | ||
+ | | 0,961 | 0,959 | 0,963 | 1,302 | 1,3 | 1,304 | 0, | ||
+ | | 0,837 | 0,835 | 0,839 | 1,302 | 1,3 | 1,304 | 0, | ||
+ | | 0,727 | 0,725 | 0,729 | 1,302 | 1,3 | 1,304 | 0, | ||
+ | | 0,554 | 0,552 | 0,556 | 1,302 | 1,3 | 1,304 | 0, | ||
+ | | 0,305 | 0,303 | 0,307 | 1,302 | 1,3 | 1,304 | 0, | ||
+ | | 0,134 | 0,132 | 0,136 | 1,302 | 1,3 | 1,304 | 0, | ||
+ | Wir haben uns dazu entschieden, | ||
+ | ===Korrektur === | ||
+ | {{ : |