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a_mechanik:kippender_besenstiel:gruppenseiten:gruppe325:start [14 January 2021 19:11] – hannahrohkamma_mechanik:kippender_besenstiel:gruppenseiten:gruppe325:start [28 January 2021 20:39] (current) – hannahrohkamm
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 Außerdem hätte man hier wieder mit Fehlern aus der Fehlerfortpflanzung zu tun, die durch Messunsicherheiten bei der Besenstiellänge und der Länge zur Wand zu Stande kämen. Außerdem hätte man hier wieder mit Fehlern aus der Fehlerfortpflanzung zu tun, die durch Messunsicherheiten bei der Besenstiellänge und der Länge zur Wand zu Stande kämen.
 Durch die recht ungenaue Messung mit einem Zollstock sowie der Tatsache, dass von der Wand bis zur Symmetrieachse des Stabes gemessen werde müsste (der Besenstiel hat ja einen gewissen Durchmesser und deshalb wäre es falsch, nur bis zu einer Kante des Stabes zu messen), diese mittlere Achse jedoch nicht genau zu finden ist, müsste man hier Messunsicherheiten von bis zu 0,5 cm annehmen. Durch die recht ungenaue Messung mit einem Zollstock sowie der Tatsache, dass von der Wand bis zur Symmetrieachse des Stabes gemessen werde müsste (der Besenstiel hat ja einen gewissen Durchmesser und deshalb wäre es falsch, nur bis zu einer Kante des Stabes zu messen), diese mittlere Achse jedoch nicht genau zu finden ist, müsste man hier Messunsicherheiten von bis zu 0,5 cm annehmen.
-In der unten stehenden Tabelle (L = 1,314 m) findet man auch die durch Trigonometrie bestimmten Werte. <fc #ffc0cb> Mit ihnen wurde jedoch wie gesagt nicht weiter gerechnet, sondern stattdessen mit den genaueren Werten aus der Phyphox-App. +In der unten stehenden Tabelle (L = 1,314 m) findet man auch die durch Trigonometrie bestimmten Werte.  
-Zwar sind die Standardabweichungen bis auf zwei Winkel kleiner als die der App, bei diesen Winkeln ist sie allerdings bis zu doppelt so groß (Vgl. bei Winkel ≈63º)</fc>.+Auch für diese wurde der Standardfehler bestimmt. 
 +Wir stellten fest, dass dieser bei manchen Winkeln kleiner und bei manchen Winkeln größer ist als der Standardfehler bei der Messung mit der App. 
 +Da wir also keinen Vorteil in der Genauigkeit dieser Messmethode feststellen konnten, verwenden wir im Folgenden die handlichere Messung mit der Neigungs Funktion der Phyphox-App.
  
 Für die Zeitmessung verwenden wir die akustische Stoppuhr der App Phyphox, die durch ein akustisches Signal gestartet und gestoppt wird. Für die Zeitmessung verwenden wir die akustische Stoppuhr der App Phyphox, die durch ein akustisches Signal gestartet und gestoppt wird.
Line 53: Line 55:
 Auf diese Weise minimiert man die Verzögerung zwischen startendem Signal und Start des Falles, menschliche Reaktionszeiten müssen nicht berücksichtigt werden. Die Stoppuhr hat eine im Voraus eingestellte Mindestlaufdauer von 0,1 Sekunde, um ein kürzeres Auslösen als diese Zeit zu vermeiden (beispielsweise durch Echos oder Hall). Da die Falldauern alle über diesem Wert lagen, konnten wir diese Einstellung so beibehalten.  Auf diese Weise minimiert man die Verzögerung zwischen startendem Signal und Start des Falles, menschliche Reaktionszeiten müssen nicht berücksichtigt werden. Die Stoppuhr hat eine im Voraus eingestellte Mindestlaufdauer von 0,1 Sekunde, um ein kürzeres Auslösen als diese Zeit zu vermeiden (beispielsweise durch Echos oder Hall). Da die Falldauern alle über diesem Wert lagen, konnten wir diese Einstellung so beibehalten. 
  
-Beim Versuch wurde darauf geachtet, das Handy möglichst nahe am aufschlagenden Besenstiel zu platzieren, um Messverfälschungen durch Schallreflexionen o.Ä. zu vermeiden. Dass der Schall trotz allem eine bestimmte Geschwindigkeit besitzt, dürfte für die Fehlerbetrachtung so gut wie keine Rolle spielen: Erstens ist die Schallgeschwindigkeit vergleichsweise sehr groß (in Luft 343,2 m/s), andererseits änderte das Handy während der Messung nicht seinen Platz, sodass, selbst wenn eine leichte Verzögerung im Auslösen der Stoppuhr auftritt, diese Verzögerung gleichmäßig sowohl beim Starten als auch beim Stoppen erfolgt. Dies bedeutet also nur eine Verschiebung der Messzeit und die Zeitdifferenz zwischen Start und Stopp bleibt davon unberührt.+Beim Versuch wurde darauf geachtet, das Handy möglichst nahe am aufschlagenden Besenstiel zu platzieren, um Messverfälschungen durch Schallreflexionen o.Ä. zu vermeiden. Dass der Schall trotz allem eine bestimmte Geschwindigkeit besitzt, dürfte für die Fehlerbetrachtung so gut wie keine Rolle spielen, da die Schallgeschwindigkeit vergleichsweise sehr groß (in Luft 343,2 m/s)ist. Es kommt also nur zu einer sehr geringen Verfälschung, dadurch, dass das Handy nicht exakt gleich weit von Schere und Besen entfernt war und somit der Schall unterschiedliche Strecken zurücklegen muss.
  
 {{ :a_mechanik:kippender_besenstiel:gruppenseiten:gruppe325:akustische_stoppuhr.jpg?400 |}} {{ :a_mechanik:kippender_besenstiel:gruppenseiten:gruppe325:akustische_stoppuhr.jpg?400 |}}
Line 135: Line 137:
  
 Um den Einfluss der Luftreibung auf die Falldauer zu untersuchen, versuchen wir nun die Luftreibung unseres Besenstiels zu erhöhen. Um den Einfluss der Luftreibung auf die Falldauer zu untersuchen, versuchen wir nun die Luftreibung unseres Besenstiels zu erhöhen.
-Dazu wickeln wir diesen in dünne Pappe mit rauer Oberfläche ein und führen den Fallversuch erneut durch.{{ :a_mechanik:kippender_besenstiel:gruppenseiten:gruppe325:besenmitpappe.jpeg?400|}}+Dazu befestigen wir ein Luftsegel aus Pappkarton an unserem Besen und führen den Versuch erneut durch.
  
 Nun ermitteln wir mit dem gleichen Verfahren wie vorher die Fallzeit des Besenstiels. Nun ermitteln wir mit dem gleichen Verfahren wie vorher die Fallzeit des Besenstiels.
 Wir erhalten die folgenden Werte: Wir erhalten die folgenden Werte:
  
-^ angepeilter Winkel:  |  10                        ||  20                        ||  30                        ||  50                        ||  60                        ||  70                        || +^ Messung mit Luftsegel:  ^                 |              | 
-|                      | Winkel in °  | Zeit in s    | Winkel in °  | Zeit in s    | Winkel in °  | Zeit in s    | Winkel in °  | Zeit in s    | Winkel in °  | Zeit in s    | Winkel in °  | Zeit in s    | +|                         | Winkel in Grad  | Zeit in s    | 
-|                      | 10,31        | 0,938        | 18,9         | 0,745        | 29,84        | 0,603        | 47,3         | 0,405        | 56,6         | 0,362        | 63,9         | 0,316        | +|                         | 65,2            | 0,333        | 
-|                      | 9,83         | 1,113        | 17,8         | 0,801        | 28,4         | 0,594        | 48,6         | 0,407        | 56,5         | 0,361        | 63,6         | 0,316        | +|                         | 65,5            | 0,334        | 
-|                      | 9,42         | 0,983        | 18,05        | 0,75         | 28,61        | 0,589        | 48,9         | 0,405        | 56,8         | 0,348        | 64,6         | 0,307        | +|                         | 65,71           | 0,335        | 
-|                      | 9,88         | 0,982        | 18,6         | 0,763        | 28           | 0,639        | 47,5         | 0,409        | 56,53        | 0,365        | 62,7         | 0,311        | +| Mittelwert              | 65,47           | 0,334        | 
-|                      | 9,53         | 1,071        | 19,2         | 0,731        | 28,53        | 0,601        | 49,1         | 0,413        | 54,7         | 0,374        | 63,45        | 0,303        | +| Standardabw.            | 0,256320112     | 0,001        | 
-| Mittelwert           | 9,794        | 1,0174       | 18,51        | 0,758        | 28,676       | 0,6052       | 48,28        | 0,4078       | 56,226       | 0,362        | 63,65        | 0,3106       | +| Standarfehl.            | 0,085440037     | 0,000333333  | 
-| Standardabweichung   | 0,348037354  | 0,072029855  | 0,581377674  | 0,026627054  | 0,691686345  | 0,019702792  | 0,825832913  | 0,00334664   | 0,861034262  | 0,009354143  | 0,691013748  | 0,005683309  | +|                         | 56,7            | 0,408        | 
-| Standardfehler       | 0,155647037  | 0,03221273   | 0,26         | 0,011907981  | 0,309331537  | 0,008811356  | 0,369323706  | 0,001496663  | 0,385066228  | 0,0041833    | 0,309030743  | 0,002541653  |+|                         | 55,78           | 0,402        | 
 +|                         | 56,42           | 0,406        | 
 +| Mittelwert              | 56,3            | 0,405333333  | 
 +| Standardabw.            | 0,471593045     | 0,00305505   | 
 +| Standarfehl.            | 0,157197682     | 0,00101835   | 
 +|                         | 51,3            | 0,446        | 
 +|                         | 50,72           | 0,435        | 
 +|                         | 51,18           | 0,457        | 
 +| Mittelwert              | 51,06666667     | 0,446        | 
 +| Standardabw.            | 0,306159        | 0,011        | 
 +| Standarfehl.            | 0,102053        | 0,003666667  | 
 +|                         | 31,2            | 0,632        | 
 +|                         | 30,7            | 0,638        | 
 +|                         | 27,9            | 0,697        | 
 +| Mittelwert              | 29,93333333     | 0,655666667  | 
 +| Standardabw.            | 1,77857621      | 0,03592121   | 
 +| Standarfehl.            | 0,592858737     | 0,011973737  | 
 +|                         | 16,85           | 0,851        | 
 +|                         | 17,39           | 0,831        | 
 +|                         | 16,5            | 0,851        | 
 +| Mittelwert              | 16,91333333     | 0,844333333  | 
 +| Standardabw.            | 0,448367409     | 0,011547005  | 
 +| Standarfehl.            | 0,149455803     | 0,003849002  | 
 +|                         | 7,4             | 1,181        | 
 +|                         | 10,66           | 1,01         | 
 +|                         | 9,58            | 1,152        | 
 +| Mittelwert              | 9,213333333     | 1,114333333  | 
 +| Standardabw.            | 1,660642446     | 0,091511384  | 
 +| Standarfehl.            | 0,553547482     | 0,030503795  |
  
 Diese Werte unterscheiden sich nur wenig von den zuvor ermittelten Werten. Diese Werte unterscheiden sich nur wenig von den zuvor ermittelten Werten.
Line 162: Line 192:
 Wir verwenden hier ein Zeitschrittverfahren, geschrieben mit Wolfram Mathematica 12.0. Wir verwenden hier ein Zeitschrittverfahren, geschrieben mit Wolfram Mathematica 12.0.
  
-<code Wolfram Mathematica 12.0 [enable_line_numbers="true"]> +<code Wolfram Mathematica 12.0 > 
-In[1]:= τ:= 0.298825; "Φ0:= 0.25"; Φ´[0]= 0;Δt:= 0.01;+l= 1.45;g= 9.81;τ = Sqrt[(2 l)/(3 g)];
  
-In[2]:= Φ´´[0]:= Sin[Φ0]/(τ^2)+Φ[0]=0.25; Φ´[0]= 0;Φ´´[0]= Sin[Φ[0]]/(τ^2); 
 +Δt= 0.01;
  
-In[3]:= Φ´[Δt]= Φ´[0]+Δt*Φ´´[0]+f[ϕ0_]:= 
 +Module[{Φ0=ϕ0}, 
 +Φ[0]=Φ0;
  
-In[4]:= Φ[Δt]= Φ0 +Δt*Φ´[Δt] +Catch[For[n=1,Φ[n-1]<= N[Pi/2],n++, 
- +Φ´[n]=Φ´[n-1]+Δt*Φ´´[n-1]; 
-In[5]:= Φ[t]=  Φ[Δt];Φ´[t_]:= (Φ[Δt]-Φ0)/Δt ; Φ´´[t_]:= Sin[Φ[t]]/(τ^2); +Φ[n]= Φ[n-1] +Δt*Φ´[n]; 
- +Φ´´[n]= Sin[Φ[n-1]]/(τ^2); 
-In[6]:= Φ[(t+Δt)_]:= Φ[t]+Δt* (Φ´[t]+Δt*Sin[Φ[t]]/(τ^2)) +list=Append[{},{Φ[n],n*Δt}]; 
- +If[Φ[n]>N[Pi/2],Throw[(n-1)*Δt]] 
-In[7]:= Φ[(t+Δt)_]= Φ[t]+Δt* (Φ´[t]+Δt*Sin[Φ[t]]/(τ^2)) +]] 
- +]
-In[8]:= list:=Table[Φ[(t+n* Δt)_]= Φ[t]+n*Δt* (Φ´[t]+n*Δt*Sin[Φ[t]]/(τ^2)),{n,1,100}] +
- +
-In[9]:= Plot[(Length[Select[list,#<1.5708 &]]+2)*0.01,{Φ0,0.25,1.3},AxesLabel->{Ausgangswinkel Φ0, Fallzeit t}] +
- +
-In[10]:= Φ0= Insert; +
- +
-In[11]:= (Length[Select[list,#<1.5708&]]+2)*0.01+
  
 +Plot[f[ϕ0],{ϕ0,0.20,1.3},AxesLabel->{Ausgangswinkel Φ0, Fallzeit t},AxesOrigin-> {0,0},PlotRange-> {0,1.0},PlotLabel-> "Numerische Lösung für die Fallzeit", PlotLegends-> "Fallzeiten für τ= 0,314s"]
 </code> </code>
  
Line 204: Line 231:
 Durch Verkleinerung der Zeitschritte kann man die numerische Lösung genauer machen, das Programm braucht dem entsprechend allerdings etwas länger. Durch Verkleinerung der Zeitschritte kann man die numerische Lösung genauer machen, das Programm braucht dem entsprechend allerdings etwas länger.
  
 +Auf diese Art können wir nun auch die theoretischen Fallzeiten für unsere Besen bei den zuvor betrachteten Winkeln bestimmen.
 +Wir erhalten die folgenden Werte:
  
 +^ L=1,314m                                      ^ Vergleich numerisch und Experiment                            |||
 +| Mittelwerte                                                                        || numerisch  | Differenz    |
 +| Winkel                                        | Zeit                                | Zeit       |              |
 +| 9,992                                         | 1,0096                              | 0,86       | 0,1496       |
 +| 18,588                                        | 0,7388                              | 0,6        | 0,1388       |
 +| 28,78                                         | 0,6062                              | 0,45       | 0,1562       |
 +| 47,904                                        | 0,4224                              | 0,31       | 0,1124       |
 +| 57,162                                        | 0,3842                              | 0,26       | 0,1242       |
 +| 63,98                                         | 0,325                               | 0,22       | 0,105        |
 +|                                               |                                     |            |              |
 +| Mittelwert der Differenzen:                                                                    ||| 0,131033333  |
 +| statistische Unsicherheit:                                                                     ||| 1,192063088  |
 +| mittlerer relativer Standardfehler der Zeit:                                                   ||| 0,022621015  |
  
 +^ L=1,387 m                                     ^ Vergleich numerisch und Experiment                            |||
 +| Mittelwerte                                                                        || numerisch  | Differenz    |
 +| Winkel                                        | Zeit                                | Zeit       |              |
 +| 9,802                                         | 0,903                               | 0,89       | 0,013        |
 +| 19,994                                        | 0,699                               | 0,59       | 0,109        |
 +| 29,83                                         | 0,582                               | 0,46       | 0,122        |
 +| 50,31                                         | 0,4134                              | 0,3        | 0,1134       |
 +| 60,404                                        | 0,3306                              | 0,25       | 0,0806       |
 +| 69,976                                        | 0,269                               | 0,2        | 0,069        |
 +|                                               |                                     |            |              |
 +| Mittelwert:                                                                                    ||| 0,0845       |
 +| statistische Unsicherheit:                                                                     ||| 1,443786982  |
 +| mittlerer relativer Standardfehler der Zeit:                                                   ||| 0,018443668  |
  
 +===== Vergleich der Beschleunigung von frei fallender Punktmasse und Punktmasse des Stabendes =====
 +Hierfür reichte es, die Funktion l*(∂²/∂t²)φ in Abhängigkeit des Auslenkungswinkels φ zu definieren und sie sich in einem Plot ausgeben zu lassen. Als Vergleichswert wurde im Plot die konstante Gerade g=9,81 (in m/s²) hinzugefügt. Der Schnittpunkt der beiden Graphen wurde mithilfe des Befehls "Solve" gelöst (hätte man aber auch mit Papier und Stift schnell machen können).
  
 +<code Wolfram Mathematica 7.0>
 +l=1.387; g=9.81;
 +
 +τ= Sqrt[(2l)/(3g)];
 +
 +lϕpp[ϕ_]=(3Sin[ϕ])/2*g
 +
 +
 +Plot[{lϕpp[ϕ],y[ϕ]=9.81},{ϕ,0,1.56},AxesLabel-> {"Auslenkwinkel ϕ in rad","Winkelbeschleunigung*Stablänge in m/s^2"}]
 +
 +Solve[lϕpp[ϕ]==g,ϕ]
 +</code>