meta data for this page
Differences
This shows you the differences between two versions of the page.
Both sides previous revisionPrevious revisionNext revision | Previous revision | ||
a_mechanik:kippender_besenstiel:gruppenseiten:gruppe325:start [14 January 2021 19:04] – hannahrohkamm | a_mechanik:kippender_besenstiel:gruppenseiten:gruppe325:start [28 January 2021 20:39] (current) – hannahrohkamm | ||
---|---|---|---|
Line 45: | Line 45: | ||
Außerdem hätte man hier wieder mit Fehlern aus der Fehlerfortpflanzung zu tun, die durch Messunsicherheiten bei der Besenstiellänge und der Länge zur Wand zu Stande kämen. | Außerdem hätte man hier wieder mit Fehlern aus der Fehlerfortpflanzung zu tun, die durch Messunsicherheiten bei der Besenstiellänge und der Länge zur Wand zu Stande kämen. | ||
Durch die recht ungenaue Messung mit einem Zollstock sowie der Tatsache, dass von der Wand bis zur Symmetrieachse des Stabes gemessen werde müsste (der Besenstiel hat ja einen gewissen Durchmesser und deshalb wäre es falsch, nur bis zu einer Kante des Stabes zu messen), diese mittlere Achse jedoch nicht genau zu finden ist, müsste man hier Messunsicherheiten von bis zu 0,5 cm annehmen. | Durch die recht ungenaue Messung mit einem Zollstock sowie der Tatsache, dass von der Wand bis zur Symmetrieachse des Stabes gemessen werde müsste (der Besenstiel hat ja einen gewissen Durchmesser und deshalb wäre es falsch, nur bis zu einer Kante des Stabes zu messen), diese mittlere Achse jedoch nicht genau zu finden ist, müsste man hier Messunsicherheiten von bis zu 0,5 cm annehmen. | ||
- | In der unten stehenden Tabelle (L = 1,314 m) findet man auch die durch Trigonometrie bestimmten Werte. | + | In der unten stehenden Tabelle (L = 1,314 m) findet man auch die durch Trigonometrie bestimmten Werte. |
- | Zwar sind die Standardabweichungen bis auf zwei Winkel kleiner als die der App, bei diesen Winkeln ist sie allerdings bis zu doppelt so groß (Vgl. bei Winkel ≈63º)</ | + | Auch für diese wurde der Standardfehler bestimmt. |
+ | Wir stellten fest, dass dieser bei manchen Winkeln kleiner und bei manchen Winkeln größer ist als der Standardfehler bei der Messung | ||
+ | Da wir also keinen Vorteil in der Genauigkeit dieser Messmethode feststellen konnten, verwenden wir im Folgenden | ||
Für die Zeitmessung verwenden wir die akustische Stoppuhr der App Phyphox, die durch ein akustisches Signal gestartet und gestoppt wird. | Für die Zeitmessung verwenden wir die akustische Stoppuhr der App Phyphox, die durch ein akustisches Signal gestartet und gestoppt wird. | ||
Line 53: | Line 55: | ||
Auf diese Weise minimiert man die Verzögerung zwischen startendem Signal und Start des Falles, menschliche Reaktionszeiten müssen nicht berücksichtigt werden. Die Stoppuhr hat eine im Voraus eingestellte Mindestlaufdauer von 0,1 Sekunde, um ein kürzeres Auslösen als diese Zeit zu vermeiden (beispielsweise durch Echos oder Hall). Da die Falldauern alle über diesem Wert lagen, konnten wir diese Einstellung so beibehalten. | Auf diese Weise minimiert man die Verzögerung zwischen startendem Signal und Start des Falles, menschliche Reaktionszeiten müssen nicht berücksichtigt werden. Die Stoppuhr hat eine im Voraus eingestellte Mindestlaufdauer von 0,1 Sekunde, um ein kürzeres Auslösen als diese Zeit zu vermeiden (beispielsweise durch Echos oder Hall). Da die Falldauern alle über diesem Wert lagen, konnten wir diese Einstellung so beibehalten. | ||
- | Beim Versuch wurde darauf geachtet, das Handy möglichst nahe am aufschlagenden Besenstiel zu platzieren, um Messverfälschungen durch Schallreflexionen o.Ä. zu vermeiden. Dass der Schall trotz allem eine bestimmte Geschwindigkeit besitzt, dürfte für die Fehlerbetrachtung so gut wie keine Rolle spielen: Erstens ist die Schallgeschwindigkeit vergleichsweise sehr groß (in Luft 343,2 m/s), andererseits änderte | + | Beim Versuch wurde darauf geachtet, das Handy möglichst nahe am aufschlagenden Besenstiel zu platzieren, um Messverfälschungen durch Schallreflexionen o.Ä. zu vermeiden. Dass der Schall trotz allem eine bestimmte Geschwindigkeit besitzt, dürfte für die Fehlerbetrachtung so gut wie keine Rolle spielen, da die Schallgeschwindigkeit vergleichsweise sehr groß (in Luft 343,2 m/s)ist. Es kommt also nur zu einer sehr geringen Verfälschung, dadurch, dass das Handy nicht exakt gleich weit von Schere |
{{ : | {{ : | ||
Line 135: | Line 137: | ||
Um den Einfluss der Luftreibung auf die Falldauer zu untersuchen, | Um den Einfluss der Luftreibung auf die Falldauer zu untersuchen, | ||
- | Dazu wickeln | + | Dazu befestigen |
Nun ermitteln wir mit dem gleichen Verfahren wie vorher die Fallzeit des Besenstiels. | Nun ermitteln wir mit dem gleichen Verfahren wie vorher die Fallzeit des Besenstiels. | ||
Wir erhalten die folgenden Werte: | Wir erhalten die folgenden Werte: | ||
- | ^ angepeilter Winkel: | | + | ^ Messung mit Luftsegel: |
- | | | Winkel in ° | Zeit in s | Winkel in ° | Zeit in s | Winkel in ° | Zeit in s | Winkel in ° | Zeit in s | Winkel in ° | Zeit in s | Winkel in ° | Zeit in s | | + | | |
- | | | 10,31 | + | | |
- | | | 9,83 | 1,113 | + | | |
- | | | 9,42 | + | | |
- | | | 9,88 | 0,982 | + | | Mittelwert |
- | | | 9,53 | 1,071 | + | | Standardabw. |
- | | Mittelwert | + | | Standarfehl. |
- | | Standardabweichung | + | | |
- | | Standardfehler | + | | | 55,78 | 0,402 | |
+ | | | ||
+ | | Mittelwert | ||
+ | | Standardabw. | ||
+ | | Standarfehl. | ||
+ | | | ||
+ | | | 50,72 | 0,435 | | ||
+ | | | ||
+ | | Mittelwert | ||
+ | | Standardabw. | ||
+ | | Standarfehl. | ||
+ | | | 31,2 | ||
+ | | | 30,7 | 0,638 | | ||
+ | | | 27,9 | ||
+ | | Mittelwert | ||
+ | | Standardabw. | ||
+ | | Standarfehl. | ||
+ | | | 16,85 | 0,851 | | ||
+ | | | 17,39 | 0,831 | ||
+ | | | ||
+ | | Mittelwert | ||
+ | | Standardabw. | ||
+ | | Standarfehl. | ||
+ | | | 7,4 | 1,181 | ||
+ | | | ||
+ | | | 9,58 | ||
+ | | Mittelwert | ||
+ | | Standardabw. | ||
+ | | Standarfehl. | ||
Diese Werte unterscheiden sich nur wenig von den zuvor ermittelten Werten. | Diese Werte unterscheiden sich nur wenig von den zuvor ermittelten Werten. | ||
Line 162: | Line 192: | ||
Wir verwenden hier ein Zeitschrittverfahren, | Wir verwenden hier ein Zeitschrittverfahren, | ||
- | <code Wolfram Mathematica 12.0 [enable_line_numbers=" | + | <code Wolfram Mathematica 12.0 > |
- | In[1]:= τ:= 0.298825; "Φ0:= 0.25"; Φ´[0]= 0;Δt:= 0.01; | + | l= 1.45;g= 9.81;τ = Sqrt[(2 l)/(3 g)]; |
- | In[2]:= Φ´´[0]:= Sin[Φ0]/ | + | Φ[0]=0.25; Φ´[0]= 0;Φ´´[0]= Sin[Φ[0]]/(τ^2); |
+ | Δt= 0.01; | ||
- | In[3]:= Φ´[Δt]= Φ´[0]+Δt*Φ´´[0] | + | f[ϕ0_]:= |
+ | Module[{Φ0=ϕ0}, | ||
+ | Φ[0]=Φ0; | ||
- | In[4]:= Φ[Δt]= Φ0 +Δt*Φ´[Δt] | + | Catch[For[n=1,Φ[n-1]<= N[Pi/2],n++, |
- | + | Φ´[n]=Φ´[n-1]+Δt*Φ´´[n-1]; | |
- | In[5]: | + | Φ[n]= Φ[n-1] +Δt*Φ´[n]; |
- | + | Φ´´[n]= Sin[Φ[n-1]]/(τ^2); | |
- | In[6]: | + | list=Append[{},{Φ[n],n*Δt}]; |
- | + | If[Φ[n]>N[Pi/2],Throw[(n-1)*Δt]] | |
- | In[7]: | + | ]] |
- | + | ] | |
- | In[8]: | + | |
- | + | ||
- | In[9]:= Plot[(Length[Select[list,#< | + | |
- | + | ||
- | In[10]:= Φ0= Insert; | + | |
- | + | ||
- | In[11]:= (Length[Select[list,#< | + | |
+ | Plot[f[ϕ0], | ||
</ | </ | ||
Line 191: | Line 218: | ||
Wir setzen zunächst die obere Grenze von n auf 120, damit der Zeitpunkt, bei dem der Besenstiel auf dem Boden fällt auf jeden Fall mit ausgegeben wird. | Wir setzen zunächst die obere Grenze von n auf 120, damit der Zeitpunkt, bei dem der Besenstiel auf dem Boden fällt auf jeden Fall mit ausgegeben wird. | ||
- | Mit dem Befehl " | + | Mit dem Befehl " |
So haben wir nur die Werte bis zum Aufschlag auf dem Boden in der Liste. | So haben wir nur die Werte bis zum Aufschlag auf dem Boden in der Liste. | ||
Mit dem Befehl " | Mit dem Befehl " | ||
Wir wissen nun also wie viele Zeitschritte gegangen worden sind, bis der virtuelle Besenstiel auf den Boden aufschlägt. | Wir wissen nun also wie viele Zeitschritte gegangen worden sind, bis der virtuelle Besenstiel auf den Boden aufschlägt. | ||
Da zwei Zeitschritte durch die Definitionen zuvor schon gegangen worden sind, müssen wir jeweils 2 addieren (Daher sie +2 im Code). | Da zwei Zeitschritte durch die Definitionen zuvor schon gegangen worden sind, müssen wir jeweils 2 addieren (Daher sie +2 im Code). | ||
+ | Multiplizieren wir nun mit der Länge der Zeitschritte (hier Δt= 0,01s), erhalten wir die Fallzeiten der Winkel. | ||
Der Plot Befehl gibt uns gleich einen Graphen der Fallzeit in Abhängigkeit des Anfangswinkels aus. | Der Plot Befehl gibt uns gleich einen Graphen der Fallzeit in Abhängigkeit des Anfangswinkels aus. | ||
Line 201: | Line 229: | ||
Hat man eine andere Besenstiellänge, | Hat man eine andere Besenstiellänge, | ||
+ | Durch Verkleinerung der Zeitschritte kann man die numerische Lösung genauer machen, das Programm braucht dem entsprechend allerdings etwas länger. | ||
+ | Auf diese Art können wir nun auch die theoretischen Fallzeiten für unsere Besen bei den zuvor betrachteten Winkeln bestimmen. | ||
+ | Wir erhalten die folgenden Werte: | ||
+ | ^ L=1, | ||
+ | | Mittelwerte | ||
+ | | Winkel | ||
+ | | 9,992 | 1, | ||
+ | | 18, | ||
+ | | 28,78 | 0, | ||
+ | | 47, | ||
+ | | 57, | ||
+ | | 63,98 | 0,325 | 0,22 | 0,105 | | ||
+ | | | ||
+ | | Mittelwert der Differenzen: | ||
+ | | statistische Unsicherheit: | ||
+ | | mittlerer relativer Standardfehler der Zeit: ||| 0, | ||
+ | ^ L=1,387 m ^ Vergleich numerisch und Experiment | ||
+ | | Mittelwerte | ||
+ | | Winkel | ||
+ | | 9,802 | 0,903 | 0,89 | 0,013 | | ||
+ | | 19, | ||
+ | | 29,83 | 0,582 | 0,46 | 0,122 | | ||
+ | | 50,31 | 0, | ||
+ | | 60, | ||
+ | | 69, | ||
+ | | | ||
+ | | Mittelwert: | ||
+ | | statistische Unsicherheit: | ||
+ | | mittlerer relativer Standardfehler der Zeit: ||| 0, | ||
+ | ===== Vergleich der Beschleunigung von frei fallender Punktmasse und Punktmasse des Stabendes ===== | ||
+ | Hierfür reichte es, die Funktion l*(∂²/ | ||
+ | <code Wolfram Mathematica 7.0> | ||
+ | l=1.387; g=9.81; | ||
+ | τ= Sqrt[(2l)/ | ||
+ | |||
+ | lϕpp[ϕ_]=(3Sin[ϕ])/ | ||
+ | |||
+ | |||
+ | Plot[{lϕpp[ϕ], | ||
+ | |||
+ | Solve[lϕpp[ϕ]==g, | ||
+ | </ |