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a_mechanik:kippender_besenstiel:gruppenseiten:gruppe322:start [ 5 January 2021 11:59] – [Vorüberlegungen] Item 1 kirabode | a_mechanik:kippender_besenstiel:gruppenseiten:gruppe322:start [18 January 2021 17:09] (current) – Korrektur kirabode | ||
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- | ====== Vorüberlegungen | + | ===== Vorüberlegungen ===== |
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=== Beschreiben Sie die Kippbewegung mithilfe physikalischer Begriffe. === | === Beschreiben Sie die Kippbewegung mithilfe physikalischer Begriffe. === | ||
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Wenn der Stab bei einem Winkel von $\phi=0^\circ$ (in Betracht auf das Lot des Bodens) ruht, spricht man von einem labilen Gleichgewicht, | Wenn der Stab bei einem Winkel von $\phi=0^\circ$ (in Betracht auf das Lot des Bodens) ruht, spricht man von einem labilen Gleichgewicht, | ||
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+ | < | ||
+ | < | ||
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- | <fc # | ||
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- | Wenn sich der Schwerpunkt des Gegenstands in seiner Grundfläche befindet spricht man somit von einem labilen Gleichgewicht. In diesem Zustand wird die Gewichtskraft des Stiftes durch die gleich große, aber entgegengestzte Normalkraft des Tisches ausgeglichen | + | Wenn sich der Schwerpunkt des Gegenstands in seiner Grundfläche befindet spricht man somit von einem labilen Gleichgewicht. In diesem Zustand wird die Gewichtskraft des Stiftes durch die gleich große, aber entgegengestzte Normalkraft des Tisches ausgeglichen. Sobald der Gegenstand jedoch etwas aus seiner Ruhelage ausgelenkt wird, befindet sich sein Schwerpunkt nicht mehr im Bereich der Grundfläche und somit bewirkt die Gewichtskraft einen Drehmoment auf das jeweilige Objekt. Somit gelangen wir zur Definition eines Drehmomentes: |
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Line 30: | Line 30: | ||
\label{eq: | \label{eq: | ||
\end{align} | \end{align} | ||
+ | |||
Im labilen Gleichgewicht ist das Drehmoment $\Vec{M}=\Vec{r}\times \Vec{F}=0$ da $\Vec{r}\parallel \Vec{F}$, da es sich hier um eine Rotationsbewegung handelt, gilt die allgemeine Bewegungsgleichung: | Im labilen Gleichgewicht ist das Drehmoment $\Vec{M}=\Vec{r}\times \Vec{F}=0$ da $\Vec{r}\parallel \Vec{F}$, da es sich hier um eine Rotationsbewegung handelt, gilt die allgemeine Bewegungsgleichung: | ||
Line 38: | Line 39: | ||
- | ====== | + | |
- | ===== Darstellung | + | === Vernachlässigt man die Luftreibung, |
- | ===== Bestimmung der Schrecksekunde ===== | + | |
+ | |||
+ | ### | ||
+ | Zum Verständnis dieser Aussage wird das, in der Regel bekannte, Experiment zum freien Fall einer Feder und eines Steines mit unterschiedlichen Massen betrachtet. Werden Feder und Stein im Umgebungsmedium Luft gleichzeitig fallen gelassen, trifft der Stein vor der Feder auf den Boden auf. Wird dieses Experiment jedoch im Vakuum, d.h. ohne Luftreibung durchgeführt, | ||
+ | ### | ||
+ | |||
+ | |||
+ | === Alltägliche Erfahrung: Je kleiner der Anfangswinkel ist, desto größer ist die Kippzeit T. === | ||
+ | |||
+ | Wenn wir die Beweungsgleichung betrachten und Annehmen, dass wir das Objekt ohne Anfangsgeschwindigkeit fallen lassen ergibt sich folgende Gleichung: | ||
+ | \begin{align} | ||
+ | | ||
+ | | ||
+ | | ||
+ | \end{align} | ||
+ | |||
+ | ### | ||
+ | Anhand der Gleichung zur Kippzeit sehen wir: Je kleiner der Anfangswinkel $\varphi_{0}$, | ||
+ | ### | ||
+ | |||
+ | |||
+ | === Welchen Einfluss hat die Stablänge? === | ||
+ | ### | ||
+ | Als erstes Betrachten wir den Kippprozess per Energieerhaltung: | ||
+ | ### | ||
+ | |||
+ | \begin{align} | ||
+ | E_{Pot}& | ||
+ | m\, | ||
+ | \label{eq: | ||
+ | \end{align} | ||
+ | Nun bestimmen wir das Trägheitsmoment $I_{neu}$ per Satz von Steiner, wobei $I_{s}=\frac{1}{12}\, | ||
+ | \begin{align} | ||
+ | I_{neu}& | ||
+ | I_{neu}& | ||
+ | \end{align} | ||
+ | Setzen wir dies nun in Gleichung der Energieerhaltung ein erhalten wir: | ||
+ | \begin{align} | ||
+ | | ||
+ | | ||
+ | | ||
+ | \end{align} | ||
+ | ### | ||
+ | Wenn wir nun die Winkelgeschwindigkeit betrachten, erkennen wir, dass $w \sim \frac{1}{\sqrt{L}}$ ist. Je größer die Länge des Stabs, desto geringer seine Winkelgeschwindigkeit beim Aufprall auf den Boden. Wenn die Winkelgeschwindigkeit am Ende geringer ist, muss folglich der Stab auch langsamer fallen. Somit erhöht sich auch die Fallzeit in Abhängigkeit der Stablänge. | ||
+ | |||
+ | ### | ||
+ | |||
+ | === Welche Schlussfolgerungen ergeben sich aus diesen Experimenten für das Jonglieren? Wie sollte der Stab beschaffen sein, damit das Jonglierenmöglichst leicht gelingt? === | ||
+ | ### | ||
+ | Es sollte sich um einen langen Stab handeln, da sich bei diesem der Massenschwerpunkt ändert und somit die effektive Länge verlängert wird. Dies ergibt folglich eine langsamere Winkelgeschwindigkeit und in diesem Zusammenhang eine höhere Fallzeit (siehe vorherige Formeln). Somit ist mehr Zeit für Korrekturen des Stabes möglich. In diesem Versuch haben wir größtenteils die Luftreibung vernachlässigt, | ||
+ | |||
+ | ### | ||
+ | |||
+ | |||
+ | |||
+ | ===== Experimentelle Betrachtung der Kippzeit | ||
+ | |||
+ | ==== Versuchsaufbau | ||
+ | |||
+ | |||
+ | < | ||
+ | |||
+ | **Aufbau: | ||
+ | |||
+ | * Anbringen einer horinzontal ausgerichteten Wasserwaage bei verschiedenen Höhen $h_{Waage}$ | ||
+ | * Einstellen | ||
+ | |||
+ | \begin{align}\phi_0=\arccos(\frac{h_{Waage}}{l_{Besen}})\end{align} | ||
+ | |||
+ | < | ||
+ | * Ansetzen der Schaumstofffläche des Haushaltsbesens anhand einer gleichbleibenden Linie auf dem Boden in allen Versuchsdurchgängen | ||
+ | * Anheben des Stabendes auf Höhe der Wasserwaage | ||
+ | |||
+ | **Art der Zeitmessung: | ||
+ | * Messung der Zeit mit der akustischen Stoppuhr von Phyphox | ||
+ | * Geben eines manuellen akustischen Signals durch die durchführende Person zum Start der Messung bei gleichzeitigem Fallenlassen des Stabes (Einfluss der Reaktionszeit beachten!) | ||
+ | * Stoppen der Zeitmessung durch das akustische Signal beim Auftreffen des Besenstiels auf dem Boden ($\phi=\frac{\pi}{2}$) | ||
+ | * Positionierung des Smartphone mittig zwischen den akustischen Signalen (Einfluss der Schallgeschwindigkeit vermindern) | ||
+ | |||
+ | **Variationen: | ||
+ | * Änderung von... | ||
+ | |||
+ | ^ ...Besenlänge | ||
+ | |< | ||
+ | |||
+ | |||
+ | ==== Systematische Unsicherheit der Zeitmessung | ||
+ | |||
+ | === M1:Bestimmung der Schrecksekunde === | ||
+ | |||
+ | ### | ||
+ | Zur Berücksichtigung der Reaktionszeit der durchführenden Person beim Fallenlassen des Stabes und Geben des akustischen Signals zum Starten der akustischen Stoppuhr, stoppt diese Person die " | ||
+ | |||
+ | ### | ||
+ | |||
+ | Es ergaben sich folgende Messdaten: | ||
+ | |||
+ | ^Durchgang ^ 1 ^ 2 ^ 3 ^ 4 ^ 5 ^6^ 7 ^ 8 ^ 9^ 10 ^ | ||
+ | ^ Zeit [s] | 5,15 | 5,16 | 4,97 | 5,01 | 4,92 | 5,09 | 5,18 | 5,01 | 4,92 | 5,01 | ||
+ | ^ Abweichung $\Delta t_i$ [s] | 0,15 | 0,16 | 0,03 | 0,01 | 0,08 | 0,09 | 0,18 | 0,01 | 0,08 | 0,01 | | ||
+ | ==== Einfluss der Luftreibung ==== | ||
+ | |||
+ | === M2: | ||
+ | |||
+ | |||
+ | ^ Massen | ||
+ | |\begin{align}m_{Papierrolle}=(189\pm 1)g \end{align}||\begin{align}l_{Besen}=(120\pm 0,5)cm \end{align}| | ||
+ | |\begin{align}m_{Rohr+Papierrolle}=(496\pm 1)g\end{align}||\begin{align}h_{Waage}=(110\pm 0,5)cm \end{align}| | ||
+ | |||
+ | |||
+ | ^Durchgang ^ Kippzeit t in s ^^ | ||
+ | ^ ^ mit Papierrolle ^ mit Rohr und Papierrolle ^ | ||
+ | |1 | 0,58 | 0,623 | | ||
+ | |2 | 0,624 | 0,649 | | ||
+ | |3 | 0,61 | 0,656 | | ||
+ | |4 | 0,607 | 0,684 | | ||
+ | |5 | 0,604 | 0,63 | | ||
+ | === M3: | ||
+ | |||
+ | ^ Massen | ||
+ | |\begin{align}m_{Rohr+Papierrolle}=(496\pm 1)g \end{align}||\begin{align}l_{Besen}=(120\pm 0,5)cm \end{align}| | ||
+ | |\begin{align}m_{T-Papier}=(503\pm 1)g\end{align}||\begin{align}h_{Waage}=(110\pm 0,5)cm \end{align}| | ||
- | ====== Einfluss der Luftreibung ====== | ||
- | ===== Variation der Masse ===== | + | ^ Durchgang ^ Kippzeit t in s ^^ |
- | ==== Variation der Oberfläche ==== | + | ^ ^ mit Rohr und Papierrolle ^ mit 4 Rollen Toilettenpapier ^ |
+ | |1 | 0,623| 0, | ||
+ | |2 | 0,649| 0, | ||
+ | |3 | 0,656| 0, | ||
+ | |4 | 0,684| 0, | ||
+ | |5 | 0,63| 0, | ||
+ | ==== Kippzeit bei Variation der Besenlängen ==== | ||
+ | === M4: Besenlänge von 120 cm === | ||
+ | ^ Masse ^^ Länge | ||
+ | |\begin{align}m_{Besen}=(489\pm 1)g \end{align}||\begin{align}l_{Besen}=(120\pm 0,5)cm \end{align}| | ||
+ | ^ ^ Kippzeit $t_i$ im Durchgang i ^^^^^ | ||
+ | ^$h_{Waage}$ ^ $t_1$ [s] ^ $t_2$ [s] ^ $t_3$ [s] ^ $t_4$ [s] ^ $t_5$ [s]^ | ||
+ | |120|1, | ||
+ | |119|0, | ||
+ | |118|0, | ||
+ | |116|0, | ||
+ | |113|0, | ||
+ | |109|0, | ||
+ | |104|0, | ||
+ | |98 |0, | ||
+ | |92 |0, | ||
+ | === M5: Besenlänge von 150 cm === | ||
- | ====== Diese Seiten ====== | + | ^ Masse ^^ Länge |
- | Diese Seite und ihre Unterseiten sind Ihr Bereich im APwiki für die Bearbeitung | + | |\begin{align}m_{Besen}=(489\pm 1)g \end{align}||\begin{align}l_{Besen}=(150\pm 0,5)cm \end{align}| |
- | des Heim-Versuchs " | + | |
- | im Präsenzpraktikum das Heft hat. Das heißt, es ist Ihre Logbuch für das, was | + | |
- | Sie konkret experimentell und bei der Programmierung durchführen. | + | |
- | Legen Sie Fotos ab, notieren Sie Messwerte, laden sie ihr Programm hoch. Form | + | ^ ^ Kippzeit $t_i$ im Durchgang i ^^^^^ |
- | und Formatierung sind dabei zweitrangig. | + | ^$h_{Waage}$ ^ $t_1$ [s] ^ $t_2$ [s] ^ $t_3$ [s] ^ $t_4$ [s] ^ $t_5$ [s]^ |
+ | |150|1,642|1,8|1, | ||
+ | |149|0, | ||
+ | |147|0, | ||
+ | |145|0, | ||
+ | |141|0, | ||
+ | |136|0, | ||
+ | |130|0, | ||
+ | |123|0, | ||
+ | |115|0, | ||
- | Damit dieser Bereich diese Aufgabe erfüllen kann, haben wir ihn mit speziellen | ||
- | Zugriffsrechten ausgestattet: | ||
- | - Ihre Gruppe hat das exklusive Schreibrecht für diese Seite. | ||
- | - Die Seite ist nur für Ihre Gruppe, die Tutoren und die Praktikumsleitung einsehbar. | ||
- | Unten auf dieser Seite finden Sie einen Abschnitt " | + | ===== Theoretische Betrachtung |
- | findet die Kommunikation | + | <code python Zeitschrittverfahren> |
- | Rückmeldung zu Ihrem Versuchsbericht geben. | + | |
- | Hier im Wiki gibt es [[: | + | import numpy as np |
- | Formatierung ihres Versuchsberichts mit Latex]]. Den Versuchsbericht geben Sie | + | import matplotlib.pyplot as plt |
- | dann im Ilias ab. | + | |
- | < | ||
- | den Start erleichtern. Sie können es nach Belieben löschen und durch Ihre | ||
- | eigenen inhalte ersetzen. </ | ||
- | ===== Computerprogramm ===== | + | def phi(t,deltat, |
- | Dokumentieren Sie hier im Wiki das Programm, das Sie für die Lösung der Bewegungsgleichung des Besenstiels geschrieben haben. Dafür eignet sich dafür besonders gut die Umgebung < | + | ''' |
+ | array, in welchem wir unsere numerischen Werte speichern. Hierbei | ||
+ | beschreibt len(t) | ||
+ | tau = np.sqrt(2*l/(3*g)) | ||
+ | phiarray = np.zeros(len(t)) | ||
+ | |||
+ | ''' | ||
+ | durch die jeweilige Funktion im Skript gegeben. Hierbei gehen wir von einer | ||
+ | Anfangswinkelgeschw.=0.''' | ||
+ | winkelbeschleunigung = np.sin(startwinkel)/ | ||
+ | winkelgeschwindigkeit = 0 | ||
+ | phi = startwinkel | ||
+ | phiarray[0] = np.pi/2 - phi | ||
- | Außerdem ist es möglich einen Link zum Download des präsentierten Programm-Codes anzuzeigen. Dazu geben Sie in dem einleitenden code-Tag einen Dateinamen an. Der Download bezieht sich unmittelbar auf das Im Editor eingetragene Programmstück. Ein getrennter Upload ist nicht nötig. | + | ''' |
+ | eine Termination der Schleife bewirkt, wenn der Winkel über pi/2 (90Grad) fällt. | ||
+ | Die jeweilige Prozedur übernehmen wir schlichtweg aus dem Skript.''' | ||
+ | for i in range(len(t)-1): | ||
+ | winkelgeschwindigkeit = winkelgeschwindigkeit + deltat*winkelbeschleunigung | ||
+ | phi = phi + deltat*winkelgeschwindigkeit | ||
+ | winkelbeschleunigung = np.sin(phi)/ | ||
+ | phiarray[i+1] = np.pi/2 - phi | ||
+ | if(phi > np.pi/2): | ||
+ | phiarray[i+1] = 0 | ||
+ | |||
+ | return phiarray | ||
- | Beispiel: | ||
- | < | ||
- | #include < | ||
- | int main() | ||
- | { | ||
- | | ||
- | | ||
- | } | ||
- | </ | ||
- | wird dargestellt als | ||
- | <code c [enable_line_numbers=" | ||
- | #include < | ||
- | int main() | ||
- | { | ||
- | | ||
- | | ||
- | } | ||
- | </ | ||
- | ===== Bilder einbinden ===== | + | ''' |
- | Ihr Versuchsaufbau sollte so beschrieben sein, dass er für sich stehend verständlich ist - gerne mit einem Foto. | + | das erste Element mit einer 0 gefunden wird. |
+ | Falls die der Endzeitpunkt nicht im Intervall bis tmax liegt, erhält man | ||
+ | die Fehlermeldung | ||
+ | |||
+ | def t_Aufprall(t, | ||
+ | for i in range(len(t)): | ||
+ | if(phi[i] == 0): | ||
+ | return(t[i]) | ||
+ | return(-1000) | ||
+ | | ||
- | Ein Bild laden Sie ins Wiki, indem Sie im Editor in der Knopfleiste auf den kleinen Bildrahmen klicken. In einem neuen Fenster öffnet sich ein Dialog mit einem Dateibaum. Dort navigieren Sie zu " | + | def main(): |
+ | ''' | ||
+ | Der startwinkel wird in rad angegeben, somit ist die Umrechnung | ||
+ | Pi/360Grad notwendig. Delta(t) gibt die Zeitschritte an, in welchen | ||
+ | die Prozedur vollzogen werden soll. Je kleiner | ||
+ | genauer auch das Ergebnis''' | ||
+ | l = 1.45 | ||
+ | startwinkel = 0.25 | ||
+ | tmin = 0 | ||
+ | tmax = 1.2 | ||
+ | deltat = 0.00001 | ||
+ | g = 9.81 | ||
+ | t = np.linspace(tmin, | ||
+ | |||
+ | plt.plot(t, | ||
+ | plt.ylabel(' | ||
+ | plt.xlabel(' | ||
+ | plt.grid(True) | ||
+ | plt.show() | ||
+ | |||
+ | |||
+ | print(' | ||
+ | |||
+ | |||
+ | if __name__==" | ||
+ | main() | ||
+ | |||
+ | </ | ||
- | Im einfachsten Fall landet ein Bild direkt an der Stelle im Text, an der Sie es eingefügt haben (Siehe [[doku> | ||
- | ===== Tabellen | + | ===== Literatur |
- | Für eine Tabelle mit Ihren Messwerten gibt es im oben im Editfenster des Wikis eine Hilfsfunktion. Sie versteckt sich hinter einem Knopf der so aussieht, wie ein hellblauer Taschenrechner. | + | |
- | ===== Syntax und Funktionen im Wiki ===== | + | | [Gia09] |
- | Hier noch Links zu | + | |
- | * den [[doku> | + | |
- | * [[:wiki: | + | |
- | * [[:wiki: | + | |