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--- a_mechanik:kippender_besenstiel:gruppenseiten:gruppe322:start [ 5 January 2021 11:41] – Änderung Überschrift kirabode
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-====== Vorüberlegungen ======
+===== Vorüberlegungen =====
-Die Kippbewegung hängt von einigen
+Die Kippbewegung hängt von einigen physikalischen Größen ab. Um diese Zusammenhänge zu verstehen beschäftigen wir uns hier mit einigen Vorüberlegungen zur Bewegung des Besenstiels anhand der in der Versuchsanleitung gestellten Fragen.
+=== Beschreiben Sie die Kippbewegung mithilfe physikalischer Begriffe. ===
+###
+Solange sich ein Körper in seiner Gleichgewichtsposition nicht bewegt, spricht man von einem statischen Gleichgewicht. Wenn der Körper ungestört bleibt, ist die Summe aller auf ihn wirkenden Kräften und Drehmomente gleich null und somit erfährt dieser keine Translations- oder Rotationsbeschleunigung.
+Wenn der Stab bei einem Winkel von $\phi=0^\circ$ (in Betracht auf das Lot des Bodens) ruht, spricht man von einem labilen Gleichgewicht, da jede infenitesimale Veränderung eine Bewegung augrund eines vorhandenen Potentials hervorruft. Im Falle unseres Beispiels, eines kippenden Besenstiels, handelt es sich um das Potential der Gravitationskraft.
+###
+<imgcaption image1|Labiles Gleichgewicht eines Bleistifts  [Gia09, S. 417]>{{   :a_mechanik:kippender_besenstiel:gruppenseiten:gruppe322:stifta.png?nolink&150  }}</imgcaption>
+<imgcaption image2|Auslenkung aus der Gleichgewichtslage [Gia09, S. 417]>{{   :a_mechanik:kippender_besenstiel:gruppenseiten:gruppe322:stiftb.png?nolink&150  }}</imgcaption>
-======  Experimentelle Betrachtung der Kippzeit ======
-===== Darstellung des Versuchsaufbaus und der Durchführung =====
-===== Bestimmung der Schrecksekunde =====
+###
+Wenn sich der Schwerpunkt des Gegenstands in seiner Grundfläche befindet spricht man somit von einem labilen Gleichgewicht. In diesem Zustand wird die Gewichtskraft des Stiftes durch die gleich große, aber entgegengestzte Normalkraft des Tisches ausgeglichen. Sobald der Gegenstand jedoch etwas aus seiner Ruhelage ausgelenkt wird, befindet sich sein Schwerpunkt nicht mehr im Bereich der Grundfläche und somit bewirkt die Gewichtskraft einen Drehmoment auf das jeweilige Objekt. Somit gelangen wir zur Definition eines Drehmomentes:
+###
-====== Einfluss der Luftreibung ======
+\begin{align}
+    \Vec{M}=\Vec{r}\times \Vec{F}=r\cdot F \cdot sin(\alpha)=\frac{d\Vec{L}}{dt}=I\cdot \alpha
+    \label{eq:Drehmoment}
+\end{align}
-===== Variation der Masse =====
-==== Variation der Oberfläche ====
+Im labilen Gleichgewicht ist das Drehmoment $\Vec{M}=\Vec{r}\times \Vec{F}=0$ da $\Vec{r}\parallel \Vec{F}$, da es sich hier um eine Rotationsbewegung handelt, gilt die allgemeine Bewegungsgleichung:
+\begin{align}
+    \varphi=\varphi_{0}+\omega\cdot t+\frac{1}{2}\,\alpha\cdot t^2
+    \label{eq:bewegungsgleichung}
+\end{align}
+=== Vernachlässigt man die Luftreibung, so hängt bei gleicher Stablänge die Kippzeit T nicht von der Stabmasse m ab. ===
-====== Diese Seiten ======
-Diese Seite und ihre Unterseiten sind Ihr Bereich im APwiki für die Bearbeitung
-des Heim-Versuchs "Kippender Besenstiel". Er soll die Funktion übernehmen, die
-im Präsenzpraktikum das Heft hat. Das heißt, es ist Ihre Logbuch für das, was
-Sie konkret experimentell und bei der Programmierung durchführen.
-Legen Sie Fotos ab, notieren Sie Messwerte, laden sie ihr Programm hoch. Form
+###
-und Formatierung sind dabei zweitrangig.
+Zum Verständnis dieser Aussage wird das, in der Regel bekannte, Experiment zum freien Fall einer Feder und eines Steines mit unterschiedlichen Massen betrachtet. Werden Feder und Stein im Umgebungsmedium Luft gleichzeitig fallen gelassen, trifft der Stein vor der Feder auf den Boden auf. Wird dieses Experiment jedoch im Vakuum, d.h. ohne Luftreibung durchgeführt, kann ein gleichzeitiges Auftreffen des Steines und der Feder beobachtet werden. Dieses lässt darauf schließen, dass im freien Fall diese Masse für die Fallzeit nicht relvant ist, wenn die Luftreibung vernachlässigt werden kann. Dieses Ergebnis kann auf den in der Aussage betrachteten Versuch übertragen werden, da durch andere, die Kippzeit betreffende Variablen, wie das durch die Stablänge variierende Moment nicht verändert werden.
+###
-Damit dieser Bereich diese Aufgabe erfüllen kann, haben wir ihn mit speziellen
-Zugriffsrechten ausgestattet:
-  - Ihre Gruppe hat das exklusive Schreibrecht für diese Seite.
-  - Die Seite ist nur für Ihre Gruppe, die Tutoren und die Praktikumsleitung einsehbar.
-Unten auf dieser Seite finden Sie einen Abschnitt "Diskussion". Über diesen Abschnitt
+=== Alltägliche Erfahrung: Je kleiner der Anfangswinkel ist, desto größer ist die Kippzeit T. ===
-findet die Kommunikation mit Ihrem Tutor statt. Sie oder er wird Ihnen dort
-Rückmeldung zu Ihrem Versuchsbericht geben.
+Wenn wir die Beweungsgleichung betrachten und Annehmen, dass wir das Objekt ohne Anfangsgeschwindigkeit fallen lassen ergibt sich folgende Gleichung:
+\begin{align}
+     \varphi&=\varphi_{0}+\frac{1}{2}\,\alpha\cdot t^2\\
+     T&=t= \sqrt{\frac{2 (\varphi-\varphi_{0})}{\alpha}}
+     \label{eq:kippzeit}
+\end{align}
-Hier im Wiki gibt es [[:vorlage-versuchsbericht:start|Hinweise für die
+###
-Formatierung ihres Versuchsberichts mit Latex]]. Den Versuchsbericht geben Sie
+Anhand der Gleichung zur Kippzeit sehen wir: Je kleiner der Anfangswinkel $\varphi_{0}$, desto länger die Kippzeit T und somit bestätigt sich unsere alltägliche Erfahrung.
-dann im Ilias ab.
+###
-<note>Alles, was beim ersten Aufruf auf der Seite zu lesen ist, soll Ihnen
-den Start erleichtern. Sie können es nach Belieben löschen und durch Ihre
-eigenen inhalte ersetzen. </note>
-===== Computerprogramm =====
+=== Welchen Einfluss hat die Stablänge? ===
-Dokumentieren Sie hier im Wiki das Programm, das Sie für die Lösung der Bewegungsgleichung des Besenstiels geschrieben haben. Dafür eignet sich dafür besonders gut die Umgebung <nowiki><code></nowiki>. Wenn Sie dieser Umgebung mitteilen, in welcher Sprache das Programm geschrieben wurde wird die Syntax automatisch farbig hervorgehoben. ([[doku>de:wiki:syntax#syntax-hervorhebung|Dokumentation dazu]]) ((Die Liste der Programmiersprachen in der deutschsprachigen Dokumentation ist bei weitem nicht vollständig. Siehe die [[doku>wiki:syntax#syntax_highlighting|englische Variante]]))
+###
+Als erstes Betrachten wir den Kippprozess per Energieerhaltung: Vorm Fallenlassen besitzt der Stab ausschließlich Potentielle Energie (wobei die Höhe des Mittelpunkts/ Schwepunkts zur Berechnung genommen wird) und beim Aufprall nur noch Kinetische bzw Rotationsenergie:
+###
-Außerdem ist es möglich einen Link zum Download des präsentierten Programm-Codes anzuzeigen. Dazu geben Sie in dem einleitenden code-Tag einen Dateinamen an. Der Download bezieht sich unmittelbar auf das Im Editor eingetragene Programmstück. Ein getrennter Upload ist nicht nötig.
+\begin{align}
+    E_{Pot}&=E_{Kin} \label{eq:energieerhaltunggrob}\\
+    m\,g\,\frac{L}{2}\,cos(\alpha)&=\frac{1}{2}\,I_{neu}\,\omega^2
+    \label{eq:energieerhaltung}
+\end{align}
+Nun bestimmen wir das Trägheitsmoment $I_{neu}$ per Satz von Steiner, wobei $I_{s}=\frac{1}{12}\,m\,L^2$ das Trägheitsmoment für einen Stab ist.
+\begin{align}
+    I_{neu}&=I_{s}+m\,d^2\\
+    I_{neu}&=\frac{1}{12}\,m\,L^2+\frac{3}{12}\,m\,L^2=\frac{1}{3}\,m\,L^2
+\end{align}
+Setzen wir dies nun in Gleichung der Energieerhaltung ein erhalten wir:
+\begin{align}
+     m\,g\,\frac{L}{2}\,cos(\alpha)&=\frac{1}{2}\,(\frac{1}{3}\,m\,L^2)\,\omega^2\\
+     \omega&=\sqrt{\frac{3\,g\,cos(\alpha)}{L}}
+     \label{winkelgeschwindigkeit}
+\end{align}
+###
+Wenn wir nun die Winkelgeschwindigkeit betrachten, erkennen wir, dass $w \sim \frac{1}{\sqrt{L}}$ ist. Je größer die Länge des Stabs, desto geringer seine Winkelgeschwindigkeit beim Aufprall auf den Boden. Wenn die Winkelgeschwindigkeit am Ende geringer ist, muss folglich der Stab auch langsamer fallen. Somit erhöht sich auch die Fallzeit in Abhängigkeit der Stablänge.
-Beispiel:
+###
-<code><code c [enable_line_numbers="true"] hello-besenstiel-world.c >
-#include <stdio.h>
-int main()
-{
-   printf("Hello, World!");
-   return 0;
-}
-</code>
-wird dargestellt als
-<code c [enable_line_numbers="true"] hello-besenstiel-world.c >
-#include <stdio.h>
-int main()
-{
-   printf("Hello, World!");
-   return 0;
-}
-</code>
-===== Bilder einbinden =====
+=== Welche Schlussfolgerungen ergeben sich aus diesen Experimenten für das Jonglieren? Wie sollte der Stab beschaffen sein, damit das Jonglierenmöglichst leicht gelingt? ===
-Ihr Versuchsaufbau sollte so beschrieben sein, dass er für sich stehend verständlich ist - gerne mit einem Foto.
+###
+Es sollte sich um einen langen Stab handeln, da sich bei diesem der Massenschwerpunkt ändert und somit die effektive Länge verlängert wird. Dies ergibt folglich eine langsamere Winkelgeschwindigkeit und in diesem Zusammenhang eine höhere Fallzeit (siehe vorherige Formeln). Somit ist mehr Zeit für Korrekturen des Stabes möglich. In diesem Versuch haben wir größtenteils die Luftreibung vernachlässigt, jedoch besitzt ein leichter Stab weniger Gewicht bei gleicher Oberfläche und erfährt somit mehr Luftreibung, welche seine Winkelgeschwindigkeit verringert.
-Ein Bild laden Sie ins Wiki, indem Sie im Editor in der Knopfleiste auf den kleinen Bildrahmen klicken. In einem neuen Fenster öffnet sich ein Dialog mit einem Dateibaum. Dort navigieren Sie zu "Ihrer" Baustelle (a_mechanik:kippender_besenstiel:gruppenseiten:gruppe322). Anschließend nutzen Sie den Dialog auf der rechten Seite, um Ihr Bild hochzuladen. Mit einem Klick auf die Zeile ihres Bildes erzeugen Sie im Hauptfenster einen Befehl, der das Bild lädt.
+###
-Im einfachsten Fall landet ein Bild direkt an der Stelle im Text, an der Sie es eingefügt haben (Siehe [[doku>de:wiki:syntax#bilder_und_andere_dateien]]. [[wiki:advanced_user_hints#images_and_movies|Hier]] gibt es einen Überblick, was sonst noch möglich ist.
-===== Tabellen =====
-Für eine Tabelle mit Ihren Messwerten gibt es im oben im Editfenster des Wikis eine Hilfsfunktion. Sie versteckt sich hinter einem Knopf der so aussieht, wie ein hellblauer Taschenrechner.
-===== Syntax und Funktionen im Wiki =====
+=====  Experimentelle Betrachtung der Kippzeit (Messungen) =====
-Hier noch Links zu
-  * den [[doku>de:wiki:syntax|Grundbefehlen von Dokuwiki]],
+==== Versuchsaufbau ====
-  * [[:wiki:apwiki_features|lokal installierten Erweiterungen]] und
-  * [[:wiki:advanced_user_hints|noch mehr lokal installierte Erweiterungen]]
+<imgcaption image3|Realer Versuchsaufbau im Freien (Besenlänge von 120 cm)>{{ :a_mechanik:kippender_besenstiel:gruppenseiten:gruppe322:aufbau_real.jpg?nolink&400|}}</imgcaption>
+**Aufbau:**
+  * Anbringen einer horinzontal ausgerichteten Wasserwaage bei verschiedenen Höhen $h_{Waage}$
+    * Einstellen des Anfangswinkels über diese Höhe (Nutzung trigonometrischer Funktionen)
+\begin{align}\phi_0=\arccos(\frac{h_{Waage}}{l_{Besen}})\end{align}
+<imgcaption image4|Skizzierter Versuchsaufbau zur Erklärung der Anfangsauslenkung>{{ :a_mechanik:kippender_besenstiel:gruppenseiten:gruppe322:schema_aufbau.png?nolink&300 |}}</imgcaption>
+  * Ansetzen der Schaumstofffläche des Haushaltsbesens anhand einer gleichbleibenden Linie auf dem Boden in allen Versuchsdurchgängen
+  * Anheben des Stabendes auf Höhe der Wasserwaage und manuelles fallenlassen
+**Art der Zeitmessung:**
+  * Messung der Zeit mit der akustischen Stoppuhr von Phyphox
+    * Geben eines manuellen akustischen Signals durch die durchführende Person zum Start der Messung bei gleichzeitigem Fallenlassen des Stabes (Einfluss der Reaktionszeit beachten!)
+    * Stoppen der Zeitmessung durch das akustische Signal beim Auftreffen des Besenstiels auf dem Boden ($\phi=\frac{\pi}{2}$)
+  * Positionierung des Smartphone mittig zwischen den akustischen Signalen (Einfluss der Schallgeschwindigkeit vermindern)
+**Variationen:**
+  * Änderung von...
+^ ...Besenlänge  ^ ...Masse  ^ ...Oberfläche^
+|<imgcaption image5|Versuchsaufbau mit einer Besenlänge von 150 cm> {{:a_mechanik:kippender_besenstiel:gruppenseiten:gruppe322:150cm.jpg?nolink&300  }}</imgcaption>|<imgcaption image6|Versuchsaufbau mit variierender Masse>  {{:a_mechanik:kippender_besenstiel:gruppenseiten:gruppe322:rohr_papier_2.jpg?nolink&300  }}</imgcaption>|<imgcaption image7|Versuchsaufbau mit variierender Oberfläche>  {{   :a_mechanik:kippender_besenstiel:gruppenseiten:gruppe322:t_papier.jpg?nolink&300}}</imgcaption>|
+==== Systematische Unsicherheit der Zeitmessung ====
+=== M1:Bestimmung der Schrecksekunde ===
+###
+Zur Berücksichtigung der Reaktionszeit der durchführenden Person beim Fallenlassen des Stabes und Geben des akustischen Signals zum Starten der akustischen Stoppuhr, stoppt diese Person die "normale" Stoppuhr des Smartphones möglichst genau auf 5 Sekunden.
+###
+Es ergaben sich folgende Messdaten:
+^Durchgang ^ 1 ^ 2 ^ 3 ^ 4 ^ 5 ^6^ 7 ^ 8 ^ 9^ 10 ^
+^ Zeit [s]      | 5,15      | 5,16       | 4,97       | 5,01       | 4,92 | 5,09       | 5,18      | 5,01      | 4,92       | 5,01       |
+^ Abweichung $\Delta t_i$ [s] | 0,15       | 0,16       | 0,03       | 0,01       | 0,08    | 0,09       | 0,18       | 0,01      | 0,08       | 0,01    |
+==== Einfluss der Luftreibung ====
+=== M2:Variation der Masse ===
+^  Massen  ^^  Längen  ^
+|\begin{align}m_{Papierrolle}=(189\pm 1)g \end{align}||\begin{align}l_{Besen}=(120\pm 0,5)cm \end{align}|
+|\begin{align}m_{Rohr+Papierrolle}=(496\pm 1)g\end{align}||\begin{align}h_{Waage}=(110\pm 0,5)cm \end{align}|
+^Durchgang ^  Kippzeit t in s  ^^
+^  ^ mit Papierrolle ^ mit Rohr und Papierrolle ^
+|1         | 0,58            | 0,623                    |
+|2         | 0,624           | 0,649                    |
+|3         | 0,61            | 0,656                    |
+|4         | 0,607           | 0,684                    |
+|5         | 0,604           | 0,63                     |
+=== M3:Variation der Oberfläche ===
+^  Massen  ^^  Längen  ^
+|\begin{align}m_{Rohr+Papierrolle}=(496\pm 1)g \end{align}||\begin{align}l_{Besen}=(120\pm 0,5)cm \end{align}|
+|\begin{align}m_{T-Papier}=(503\pm 1)g\end{align}||\begin{align}h_{Waage}=(110\pm 0,5)cm \end{align}|
+^ Durchgang ^  Kippzeit t in s  ^^
+^                   ^ mit Rohr und Papierrolle ^ mit 4 Rollen Toilettenpapier ^
+|1         | 0,623| 0,645|
+|2         | 0,649| 0,658|
+|3         | 0,656| 0,644|
+|4         | 0,684| 0,641|
+|5        | 0,63| 0,652|
+==== Kippzeit bei Variation der Besenlängen ====
+=== M4: Besenlänge von 120 cm ===
+^  Masse  ^^  Länge  ^
+|\begin{align}m_{Besen}=(489\pm 1)g \end{align}||\begin{align}l_{Besen}=(120\pm 0,5)cm \end{align}|
+^ ^  Kippzeit $t_i$ im Durchgang i  ^^^^^
+^$h_{Waage}$ ^ $t_1$ [s] ^ $t_2$ [s] ^ $t_3$ [s] ^ $t_4$ [s] ^ $t_5$ [s]^
+|120|1,321|1,396|1,42|1,303|1,245|
+|119|0,856|0,888|0,811|0,809|0,75|
+|118|0,7|0,757|0,723|0,623|0,664|
+|116|0,631|0,583|0,692|0,706|0,633|
+|113|0,577|0,585|0,531|0,59|0,528|
+|109|0,521|0,546|0,501|0,513|0,535|
+|104|0,513|0,489|0,515|0,533|0,516|
+|98 |0,471|0,433|0,545|0,481|0,462|
+|92 |0,394|0,414|0,433|0,384|0,41|
+=== M5: Besenlänge von 150 cm ===
+^  Masse  ^^  Länge  ^
+|\begin{align}m_{Besen}=(489\pm 1)g \end{align}||\begin{align}l_{Besen}=(150\pm 0,5)cm \end{align}|
+^ ^  Kippzeit $t_i$ im Durchgang i  ^^^^^
+^$h_{Waage}$ ^ $t_1$ [s] ^ $t_2$ [s] ^ $t_3$ [s] ^ $t_4$ [s] ^ $t_5$ [s]^
+|150|1,642|1,8|1,818|1,765|1,74  |
+|149|0,849|0,857|0,854|0,905|0,859 |
+|147|0,809|0,818|0,765|0,776|0,784 |
+|145|0,77|0,78|0,726|0,754|0,759 |
+|141|0,684|0,694|0,706|0,734|0,727 |
+|136|0,643|0,636|0,66|0,647|0,664 |
+|130|0,605|0,638|0,642|0,598|0,656 |
+|123|0,562|0,552|0,554|0,523|0,599 |
+|115|0,501|0,512|0,525|0,507|0,515 |
+=====  Theoretische Betrachtung mit dem Zeitschrittverfahren (Programm) =====
+<code python Zeitschrittverfahren>
+import numpy as np
+import matplotlib.pyplot as plt
+def phi(t,deltat,l,g,startwinkel):
+    '''Als erstes definieren wir die Konstante Tau und erstellen ein
+    array, in welchem wir unsere numerischen Werte speichern. Hierbei
+    beschreibt len(t) die Anzahl der Elemente im jeweiligen Array'''
+    tau = np.sqrt(2*l/(3*g))
+    phiarray = np.zeros(len(t))
+    '''Nun der erste Schritt für das Zeitschrittverfahren. Die Winkelbeschl. ist
+    durch die jeweilige Funktion im Skript gegeben. Hierbei gehen wir von einer
+    Anfangswinkelgeschw.=0.'''
+    winkelbeschleunigung = np.sin(startwinkel)/tau**2
+    winkelgeschwindigkeit = 0
+    phi = startwinkel
+    phiarray[0] = np.pi/2 - phi
+    '''Nun definieren wir eine Schleife, welche die jeweiligen Werte berechnet und
+    eine Termination der Schleife bewirkt, wenn der Winkel über pi/2 (90Grad) fällt.
+    Die jeweilige Prozedur übernehmen wir schlichtweg aus dem Skript.'''
+    for i in range(len(t)-1):
+        winkelgeschwindigkeit = winkelgeschwindigkeit + deltat*winkelbeschleunigung
+        phi = phi + deltat*winkelgeschwindigkeit
+        winkelbeschleunigung = np.sin(phi)/tau**2
+        phiarray[i+1] = np.pi/2 - phi
+        if(phi > np.pi/2):
+            phiarray[i+1] = 0
+    return phiarray
+    ''' Danach definieren wir einen Endzeitpunkt, welcher eintritt, sobald im Array
+        das erste Element mit einer 0 gefunden wird.
+        Falls die der Endzeitpunkt nicht im Intervall bis tmax liegt, erhält man
+        die Fehlermeldung -1000.'''
+def t_Aufprall(t,phi):
+    for i in range(len(t)):
+        if(phi[i] == 0):
+            return(t[i])
+    return(-1000)
+def main():
+    '''Definieren der Konstanten und des Zeitschrittverfahrens:
+        Der startwinkel wird in rad angegeben, somit ist die Umrechnung
+        Pi/360Grad notwendig. Delta(t) gibt die Zeitschritte an, in welchen
+        die Prozedur vollzogen werden soll. Je kleiner die Zeitschritt, desto
+        genauer auch das Ergebnis'''
+    l = 1.45
+    startwinkel = 0.25
+    tmin = 0
+    tmax = 1.2
+    deltat = 0.00001
+    g = 9.81
+    t = np.linspace(tmin,tmax,int((tmax - tmin)/deltat))
+    plt.plot(t,phi(t,deltat,l,g,startwinkel))
+    plt.ylabel('Fallwinkel [rad]')
+    plt.xlabel('t [s]')
+    plt.grid(True)
+    plt.show()
+    print('t_Aufprall =',t_Aufprall(t,phi(t,deltat,l,g,startwinkel)),'s')
+if __name__=="__main__":
+    main()
+    </code>
+===== Literatur =====
+| [Gia09]  | Douglas C. Giancoli.Physik:  Lehr-  un Übungsbuch. 3., erw. Aufl. Pearson Studium  -  Physik.  München:  Pearson  Deutschland  und  Pearson  Studium,  2009.ISBN:978386894023                                                                                                           |

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