meta data for this page
Differences
This shows you the differences between two versions of the page.
Both sides previous revisionPrevious revisionNext revision | Previous revision | ||
a_mechanik:drehschwingungen:gruppenseiten:gruppe352:start [13 January 2021 21:53] – [Theoretische Grundlagen] mariusburgath | a_mechanik:drehschwingungen:gruppenseiten:gruppe352:start [21 January 2021 09:08] (current) – [Versuchsaufbau und Durchführung] mariusburgath | ||
---|---|---|---|
Line 10: | Line 10: | ||
Auf dieser Wiki-Seite werden ergänzend zu dem Versuchsbericht meine Versuchsdurchführung sowie meine aufgenommenen Messwerte genauer dokumentiert.\\ | Auf dieser Wiki-Seite werden ergänzend zu dem Versuchsbericht meine Versuchsdurchführung sowie meine aufgenommenen Messwerte genauer dokumentiert.\\ | ||
Im ersten Teil dieses " | Im ersten Teil dieses " | ||
+ | \\ | ||
+ | \\ | ||
+ | \\ | ||
+ | \\ | ||
+ | \\ | ||
========== Theoretische Grundlagen ========== | ========== Theoretische Grundlagen ========== | ||
Line 31: | Line 36: | ||
\\ | \\ | ||
Wichtig ist nun noch zu wissen, in welchen Einheiten die beteiligten Größen gemessen und angegeben werden **(Aufgabe 2.) aus der Versuchsanleitung)**: | Wichtig ist nun noch zu wissen, in welchen Einheiten die beteiligten Größen gemessen und angegeben werden **(Aufgabe 2.) aus der Versuchsanleitung)**: | ||
- | * Drehmoment $M$ : $[M] = \textbf{N}\cdot\textbf{m}$\\ | + | * Drehmoment $M$ : $[M] = \textbf{N}\cdot\textbf{m}$. In der Praxis kann ein Drehmoment beispielsweise mit einer Balkenwaage gemessen werden **(Aufgabe 4.) aus der Versuchsanleitung)**. Auf der einen Seite der Waage greift eine Kraft ($F_{1}$) im Abstand $l_{1}$ zur Drehachse der Waage an. Auf der anderen Seite der Waage kann man dann im Abstand $l_{2}$ einen Kraftmesser ansetzten, um eine so große Gegenkraft ($F_{2}$) einzustellen, |
* Winkelrichtgröße $D_{R}$ : $[D_{R}] = \frac{\textbf{N}\cdot\textbf{m}}{\textbf{rad}}$\\ | * Winkelrichtgröße $D_{R}$ : $[D_{R}] = \frac{\textbf{N}\cdot\textbf{m}}{\textbf{rad}}$\\ | ||
* Trägheitsmoment $I$ : $[I] = \textbf{kg}\cdot\textbf{m}^2$\\ | * Trägheitsmoment $I$ : $[I] = \textbf{kg}\cdot\textbf{m}^2$\\ | ||
Line 45: | Line 50: | ||
\\ | \\ | ||
\\ | \\ | ||
- | Weiter oben wurde die Differentialgleichung für $\phi$ durch die Analogie zweischen der Translations- und Rotationsbewegungen aus der Newton-DGL ermittelt. Dies soll im Folgenden noch aus der Energieerhaltung ermittelt werden **(Aufgabe 5.) aus der Versuchsanleitung)**. Wirkt auf das System ein Drehmoment, so wird Dreharbeit bzw. Rotationsarbeit verrichtet. Es gilt für die Rotationsarbeit dabei $W = \int M \: d\phi$ sowie etwas allgemeiner $W = \int \vec{M} \cdot d{vec{\phi}$. | + | Weiter oben wurde die Differentialgleichung für $\phi$ durch die Analogie zweischen der Translations- und Rotationsbewegungen aus der Newton-DGL ermittelt. Dies soll im Folgenden noch aus der Energieerhaltung ermittelt werden **(Aufgabe 5.) aus der Versuchsanleitung)**. Wirkt auf das System ein Drehmoment, so wird Dreharbeit bzw. Rotationsarbeit verrichtet. Es gilt für die Rotationsarbeit dabei $W = \int M \: d\phi$ sowie etwas allgemeiner $W = \int \vec{M} \cdot d{\vec{\phi}}$. Eine Drehung des Systems um $d\phi$ bewirkt folglich eine Änderung der Arbeit um $dW = M \cdot d\phi$. Die verrichtete Rotationsarbeit ist dabei in Form von Rotationsenergie gespeichert. Für die Rotationsenergie gilt allgemein $E_{rot}=\frac{1}{2}I\cdot \omega^2$. Mit der Kettenregel folgt dann $\frac{dE_{rot}}{dt} = \frac{1}{2}I\cdot 2\omega \cdot \frac{d\omega}{dt}$. Beachtet man nun, dass $\omega = \frac{d\phi}{dt}$ die Winkelgeschwindigkeit |
- | $$dW = dE_{rot] \Rightarrow M \: d\phi = I \cdot d\phi \cdot \ddot{\phi} \Rightarrow I\cdot \ddot{\phi} = M = -D_{R} \cdot \phi$$ | + | $$dW = dE_{rot} \Rightarrow M \: d\phi = I \cdot d\phi \cdot \ddot{\phi} \Rightarrow I\cdot \ddot{\phi} = M = -D_{R} \cdot \phi$$ |
Im letzten Schritt wurde natürlich genutzt, dass $M = -D_{R} \cdot \phi$ das rücktreibende Drehmoment ist.\\ | Im letzten Schritt wurde natürlich genutzt, dass $M = -D_{R} \cdot \phi$ das rücktreibende Drehmoment ist.\\ | ||
- | Insgesamt ließ sich also die DGL $I\cdot \ddot{\phi} = M$ und damit $I\cdot \ddot{\phi} | + | Insgesamt ließ sich also die DGL $I\cdot \ddot{\phi} = M$ und damit $I\cdot \ddot{\phi} |
\\ | \\ | ||
\\ | \\ | ||
\\ | \\ | ||
\\ | \\ | ||
- | Die letzte Vorbereitungsaufgabe behandelt den Satz von Steiner. Mit diesem kann das Trägheitsmoment für eine Rotation um eine Achser | + | Die letzte Vorbereitungsaufgabe behandelt den Satz von Steiner |
+ | {{Satz_Steiner.jpg? | ||
\\ | \\ | ||
- | $$I_{B} = \int_{V} r^2 \: dm = \int_{V}=\int_{V} \Bigl( (\vec{r_{sp}}+\vec{a} \Bigr)^2 \: dm = \int_{V} r_{sp}^2 \: dm + \int_{V} 2\vec{a}\cdot \vec{r_{sp}} \: dm + a^2 \int_{V} \: dm = \int_{V} r_{sp}^2 \: dm + 2\vec{a}\int_{V} \vec{r_{sp}} \: dm + a^2 \cdot m = \I_{s} + a^2 \cdot m$$ | + | Man zerlegt also den Ortsvektor eines Massenelements bezüglich der Achse $B$ in zwei Anteile: Einen Ortsvektor bzgl. der Rotationsachse $S$ durch den Schwerpunkt sowie den Abstandsvektor $\vec{a}$ zwischen den Achsen $B$ und $S$. |
+ | Das Trägheitsmoment für eine Rotation um die Achse $B$ parallel zur Schwerpunktsachse kann dann mit obiger Skizze wie folgt bestimmt werden: | ||
+ | $$I_{B} = \int_{V} r^2 \: dm =\int_{V} \Bigl( \vec{r_{sp}}+\vec{a} \Bigr)^2 \: dm = \int_{V} r_{sp}^2 \: dm + \int_{V} 2\vec{a}\cdot \vec{r_{sp}} \: dm + a^2 \int_{V} \: dm = \int_{V} r_{sp}^2 \: dm + 2\vec{a}\int_{V} \vec{r_{sp}} \: dm + a^2 \cdot m = I_{s} + a^2 \cdot m$$ | ||
- | Beim vorletzten Gleichheitszeichen wurde benutzt, dass eine Volumenintegration über alle Massenelemente natürlich die Gesamtmasse ergibt. Beim letzten Gleichheitszeichen wurde die Definition des Trägheitsmoment bezüglich des Schwerpunktes benutzt. Ebenso wurde genutzt, dass aus der Definition $\vec{r_{s}} = \frac{1}{m}\int_{V}\vec{r} \: dm$ folgt, dass $\int_{V}\vec{r_{sp}} \: dm = 0 $, weil die $\vec{r_{sp}}$ ja genau die Ortsvektoren bezüglich des Schwerpunktes sind. Wir befinden | + | Beim vorletzten Gleichheitszeichen wurde benutzt, dass eine Volumenintegration über alle Massenelemente natürlich die Gesamtmasse ergibt. Beim letzten Gleichheitszeichen wurde die Definition des Trägheitsmoment bezüglich des Schwerpunktes benutzt. Ebenso wurde genutzt, dass aus der Definition $\vec{r_{s}} = \frac{1}{m}\int_{V}\vec{r} \: dm$ des Schwerpunktes |
Insgesamt ergibt sich also der Satz von Steiner zu $I_{B} = I_{S} + a^2 \cdot m$, wie behauptet. | Insgesamt ergibt sich also der Satz von Steiner zu $I_{B} = I_{S} + a^2 \cdot m$, wie behauptet. | ||
\\ | \\ | ||
Line 63: | Line 71: | ||
\\ | \\ | ||
\\ | \\ | ||
- | Die sich drehende Stange kann als Zylinder mit homogener Dichte $\rho$, Radius $R$ und Länge bzw. Höhe $l$ angesehen werden. Bei den Experimenten zur Drehschwingung rotiert die Stange um eine Achse durch den Schwerpunkt, | + | \\ |
- | $$\int\limits_{V}(r^2-y^2)\: | + | \\ |
+ | \\ | ||
+ | \\ | ||
+ | \\ | ||
+ | \\ | ||
+ | Mit dem Versuchsaufbau soll unter anderem das Torsionsmodul des Drahtes aus den gemessenen Periodendauern bestimmt werden, wofür das Trägheitsmoment des angehängten Metallstabes benötigt wird. | ||
+ | Die sich drehende Stange kann als Zylinder mit homogener Dichte $\rho$, Radius $R$ und Länge bzw. Höhe $l$ angesehen werden. Bei den Experimenten zur Drehschwingung rotiert die Stange um eine Achse durch den Schwerpunkt, | ||
+ | $$I_{yy}=\int\limits_{V}((|\vec{r}|^2-y^2)\:dm = \int\limits_{V}(|\vec{r}|^2-y^2)\cdot\rho\: | ||
Für die Integration wählt man sinnvoller Weise Zylinderkoordinaten. Dann ist das neue Volumenmaß $dV = r\: | Für die Integration wählt man sinnvoller Weise Zylinderkoordinaten. Dann ist das neue Volumenmaß $dV = r\: | ||
- | $$ I_{yy} = \rho\int\limits_{-\frac{l}{2}}^{\frac{l}{2}}\int\limits_{0}^{2\pi}\int\limits_{0}^R (r^2+z^2-r^2\cdot\sin(\theta)^2)\cdot r \: | + | $$ I_{yy} = \rho\int\limits_{-\frac{l}{2}}^{\frac{l}{2}}\int\limits_{0}^{2\pi}\int\limits_{0}^R (r^2+z^2-r^2\cdot\sin(\theta)^2)\cdot r \: |
- | $$I_{yy} = \rho\int\limits_{0}^{2\pi} \Bigl\lbrack \frac{1}{4}lr^4+\frac{1}{24}r^2l^3-\frac{1}{4}lr^4\cdot\sin(\theta)^2)\Bigr\rbrack_{r = 0}^{r = R} \:dr\:d\theta = \rho\int\limits_{0}^{2\pi} \frac{1}{4}lR^4+\frac{1}{24}R^2l^3-\frac{1}{4}lR^4\cdot\sin(\theta)^2)\:d\theta = \rho\int\limits_{0}^{2\pi} \frac{1}{4}lR^4(1-\sin(\theta)^2)+\frac{1}{24}R^2l^3)\:d\theta = \rho\int\limits_{0}^{2\pi} \frac{1}{4}lR^4(\cos(\theta)^2)+\frac{1}{24}R^2l^3)\:d\theta$$ | + | $$I_{yy} = \rho\int\limits_{0}^{2\pi} \Bigl\lbrack \frac{1}{4}lr^4+\frac{1}{24}r^2l^3-\frac{1}{4}lr^4\cdot\sin(\theta)^2)\Bigr\rbrack_{r = 0}^{r = R} \:d\theta = \rho\int\limits_{0}^{2\pi} \frac{1}{4}lR^4+\frac{1}{24}R^2l^3-\frac{1}{4}lR^4\cdot\sin(\theta)^2\: |
Dies ist nun ein " | Dies ist nun ein " | ||
- | $$I_{yy} = \rho\: \Bigl\lbrack \frac{1}{4}lR^4\cdot \frac{\cos(\theta)\cdot\sin(\theta)}{2}+\frac{1}{24}l^3R^2\theta \Bigr\rbrack_{0}^{2\pi} = \rho \:\Bigl( \frac{1}{4}R^4\cdot l\cdot\pi + \frac{1}{12}l^3\cdot R^2 \cdot \pi \Bigr) $$ | + | $$I_{yy} = \rho\: \Bigl\lbrack \frac{1}{4}lR^4\cdot \frac{\cos(\theta)\cdot\sin(\theta)+\theta}{2}+\frac{1}{24}l^3R^2\theta \Bigr\rbrack_{0}^{2\pi} = \rho \:\Bigl( \frac{1}{4}R^4\cdot l\cdot\pi + \frac{1}{12}l^3\cdot R^2 \cdot \pi \Bigr) $$ |
- | Ein Zylinder mit Radius $R$ und Höhe $l$ hat das Volmen $V{zyl} = \pi\cdot R^2\cdot l$. Mit der homogenen Dichte $\rho$ ergibt sich dann die Zylindermasse zu $\rho \cdot V_{zyl} = M_{zyl} =:m$. Damit folgt: | + | Ein Zylinder mit Radius $R$ und Höhe $l$ hat das Volmen $V_{zyl} = \pi\cdot R^2\cdot l$. Mit der homogenen Dichte $\rho$ ergibt sich dann die Zylindermasse zu $\rho \cdot V_{zyl} = M_{zyl} =:m$. Damit folgt: |
$$I_{yy} = \rho \: (\pi R^2\cdot l) \Bigl( \frac{1}{4}R^2 + \frac{1}{12}l^2 \Bigr)= m\: \Bigl( \frac{1}{4}R^2 + \frac{1}{12}l^2 \Bigr)$$ | $$I_{yy} = \rho \: (\pi R^2\cdot l) \Bigl( \frac{1}{4}R^2 + \frac{1}{12}l^2 \Bigr)= m\: \Bigl( \frac{1}{4}R^2 + \frac{1}{12}l^2 \Bigr)$$ | ||
- | Insgesamt ist also das Trägheitsmoment des Zylinders | + | Insgesamt ist also das Trägheitsmoment des Zylinderstabes |
$$I_{yy}= \frac{1}{4}m\cdot R^2 + \frac{1}{12}m\cdot l^2 $$ | $$I_{yy}= \frac{1}{4}m\cdot R^2 + \frac{1}{12}m\cdot l^2 $$ | ||
+ | |||
+ | Meine Messungen führe ich nicht nur mit dem Metallstab als Pendelkörper durch, sondern auch mit anderen Geometrien wie bspw. einem Quader. Die dafür benötigten Formeln für die Trägheitsmomente entnehme ich Tabellen aus dem Internt; mehr dazu in der Versuchsauswertung. | ||
+ | \\ | ||
+ | \\ | ||
+ | \\ | ||
+ | \\ | ||
+ | \\ | ||
+ | |||
+ | ========== Versuchsaufbau und Durchführung ========== | ||
+ | Es sollten mehrere Versuche zu Drehschwingungen durchgeführt werden. In den ersten Versuchen ging es darum, das Torsionsmodul eines Drahtes (Gitarrensaite) zu bestimmen. Als grundlegender Versuchsaufbau wurde dafür eine Metallstange mit der Gitarrenseite verbunden und anschließend an einer Aufhängvorrichtung angebracht. Man konnte dann, wenn der Aufbau zunächst in Ruhe ist, den Metallstab um einen kleinen Anfangswinkel $\phi$ auslenken, sodass der Metallstab aufgrund der Verdrillung des Drahtes in der Ebene schwingt bzw. eine Drehbewegung um eine Achse entlang des Drahtes ausführt, die durch den Stabschwerpunkt stößt. \\ | ||
+ | Für die Messung war das Trägheitsmoment des Drahtes von Bedeutung, welches von der Drahtmasse, der Drahtdicke und der Drahtlänge abhängt. Diese Drehbewegung ist periodisch mit Schwingungsdauer $T$. In Abhängigkeit von der Stablänge kann dann die Zeit $T$ gemessen und daraus dann das Torsionsmodul $G$ ermittelt werden.\\ | ||
+ | Für die Messung muss das Trägheitsmoment des angehängten Metallstabes bekannt sein, also dessen Eigenschaften. Die Stabmasse wurde mit einer normalen Küchenwaage gemessen, die Länge des Drahtes mit einem Zollstock (bis auf einen Millimeter genau) und die Dicke des Drahtes mit einem Geodreieck, da man dieses am Stabende besser als den Zollstock ansetzen konnte:\\ | ||
+ | {{masse_metallstab.jpg? | ||
+ | |||
+ | Anschließend habe ich mir Gedanken gemacht, wie man den Metallstab gut mit der Gitarrensaite (im Schwerpunkt des Stabes!) verbinden und auslenken kann, um für die Drehschschwingung zu sorgen. Die Gitarrensaite habe ich dafür fest um den Metallstab gewickelt, damit dieser beim Rotieren nicht hin - und herrutscht, sondern sich mit dem Draht bewegt. Als Aufhängvorrichtung habe ich einen alten Stock benutzt. Dieses habe ich an meinem Schreibtisch festgeklebt und beschwert, damit er nicht rutscht. Das andere Ende der Gitarrensaite ließ sich dann gut mit dem Stock verknoten: | ||
+ | {{aufhaengvorrichtung-min.jpg? | ||
+ | \\ | ||
+ | Der Versuch war also aufgebaut. Nun zur eigentlichen Messung. Insgesamt ging es darum, das Torsionsmodul $G$ der verwendeten Gitarrensaite zu bestimmen. Wird der Metallstab aus der Ruhelage um einen kleinen Winkel $\phi$ ausgelenkt, so kommt es zu Schwingungen mit Periodendauer $T$. Für diese Periodendauer gilt, wie bereits weiter im oberen Theorieabschnitt begründet: | ||
+ | $$ T = 2\pi\sqrt\frac{I}{D_{R}}=2\pi\sqrt\frac{I}{\frac{\pi \cdot G\cdot r^4}{2\cdot L}} $$ | ||
+ | Es lässt sich also bei bekanntem Drahtradius $r$ sowie bekanntem Trägheitsmoment $I$ der angehängten Metallstange durch eine Messung der Periodendauer $T$ bestimmen, wie groß das Torsionsmodul $G$ des Drahtes ist. Die Periodendauer habe ich händisch mit einer Stoppuhr am Handy gestoppt und das Trägheitsmoment des Metallstabes lässt sich mit der gemessenen Masse sowie Länge und Stabdicke (siehe die ersten drei Bilder) bestimmen. Der Drahtradius ist nun die größte Herausforderung, | ||
+ | {{drahtdicke 1.jpg? | ||
+ | \\ | ||
+ | Die Strichstärke meines Fineliners ist aber genormt und ist im rechten Bild zu sehen: Die Strichstärke ist $\Delta s=0, | ||
+ | Nun konnte die Periodendauer $T$ in Abhängigkeit von der Länge $L$ der Gitarrensaite bestimmt werden. Um unterschiedliche Längen einzustellen, | ||
+ | {{aufbau_metallstab_2-min.jpg? | ||
+ | |||
+ | Für verschiedene Saitenlängen habe ich nun die Periodendauer gemessen. Eine Messwerttabelle befindet sich im nächsten Abschnitt dieses " | ||
+ | {{metallstab_video.mp4? | ||
+ | Für das Viedo habe ich die Anfangsauslenkung recht groß eingestellt, | ||
+ | \\ | ||
+ | \\ | ||
+ | \\ | ||
+ | \\ | ||
+ | \\ | ||
+ | \\ | ||
+ | In weiteren Versuchen sollte nun das Experiment wiederholt werden, nur mit anderen Drähten als Torsionsaufhängung. Dabei wird zunächst weiterhin der gleiche Metallstab wie eben als Pendel genutzt. Zunächst einmal wurde mir eine weitere, sehr dünne Gitarrensaite zur Verfügung gestellt, mit der das gleiche Experiment wie eben wiederholt werden konnte. Die dünne Gitarrensaite war allerdings sehr starr und ließ sich schlecht biegen. Anders als bei der dicken Saite von eben konnte insbesondere der Metallstab nicht durch bloßes Umwickeln fixiert werden - er ist während der Drehbewegung hin - und hergerutscht, | ||
+ | {{duenne_saite_1-min.jpg? | ||
+ | Die Periodendauer konnte dann exakt wie im Versuch gemessen werden; Messwerte im nächsten Abschnitt dieser Wiki-Seite. Auch hierzu ein kleines Video:\\ | ||
+ | {{duenner_draht.mp4? | ||
+ | |||
+ | Man sieht in dem Video, dass es trotzdem zu einer kleinen Torkelbewegung kam. Der Stab musste gerade und im Gleichgewicht losgelassen werden, um die reine Pendelbewegung ohne Störung beobachten zu können. Ebenso ist der Draht so dünn gewesen, dass ich die Dicke des Drahtes, die für die Berechnung des Torsionsmoduls $G$ benötigt wird, nicht gut bestimmen konnte. Wie im theoretischen Abschnitt von eben aber gesehen, hat die Veränderung der Drahtdicke einen extremen Einfluss, da dieser in der 4. Potenz eingeht! Eine gute Auswertung wäre aufgrund der sehr groben Abschätzung also nicht möglich gewesen. Mit den aufgenommenen Messwerten aus dem nächsten Abschnitt dieses " | ||
+ | \\ | ||
+ | \\ | ||
+ | \\ | ||
+ | \\ | ||
+ | \\ | ||
+ | Um noch eine weitere Messreihe aufnehmen zu können, habe ich einen anderen Draht genutzt, den ich bei mir gefunden habe (vmtl. eine Art " | ||
+ | {{der_neue_draht-min.jpg? | ||
+ | Der Draht war etwas mehr als doppelt so dick wie die Gitarrensaite aus der ersten Versuchsreihe, | ||
+ | {{neuer_draht_dicke-min.jpg? | ||
+ | |||
+ | Exakt so wie in den ersten beiden Versuchsreihen auch, konnte die Periodendauer in Abhängigkeit von der Drahtlänge gemessen werden. Der neue Draht war wesentlich biegsamer bzw. besser formbar als die beiden Gitarrensaiten von eben. Am Bambusstab konnte der Draht durch festes Umwickeln deshalb sehr gut fixiert werden; durch neue Umwicklungen ließen sich sehr leicht neue Drahtlängen einstellen. Als Pendelkörper habe ich den gleichen Metallstab wie eben genutzt, wobei ich mit etwas Klebeband zur Fixierung nachhelfen musste:\\ | ||
+ | {{neuer_draht-min.jpg? | ||
+ | Die Periodendauer habe ich wieder mit der Handy-Stoppuhr gemessen und das Torsionsmodul $G$ des neuen Drahtes konnte bestimmt werden, woraus sich auf das Drahtmaterial schließen lässt (siehe Versuchsbericht). Allgemein waren die Periodendauern aufgrund des neuen Drahtmaterials sehr klein und die Messung entsprechend schwierig. Die Messwerte sind wieder im nächsten Abschnitt dieser Wiki-Seite. Zuletzt ein kleines Video:\\ | ||
+ | {{neuer_draht.mp4? | ||
+ | \\ | ||
+ | \\ | ||
+ | \\ | ||
+ | \\ | ||
+ | \\ | ||
+ | \\ | ||
+ | \\ | ||
+ | \\ | ||
+ | In den ersten Versuchen sollte stets das Torsionsmodul $G$ des Drahtes bei bekanntem Trägheitsmoment des Pendelkörpers bestimmt werden. In den nachfolgenden Versuchsreihen geht es darum, für verschiedene Geometrien als Pendelkörper das Trägheitsmoment durch die Drehschwingungen zu bestimmen, wobei das eben gemessene Torsionsmodul für die Drähte bekannt ist und verwendet wird.\\ | ||
+ | Zuerst habe ich einen alten Holzquader genutzt. Für diesen kann man eine homogene Dichte annehmen und das Trägheitmoment für eine Drehung um den Schwerpunkt ist tabelliert. Nach der Messung kann der experimentelle Wert mit dem Wert aus den geometrischen Abmessungen verglichen werden. Der Quader hatte eine Masse von $m_Q =167\: | ||
+ | {{quader masse-min.jpg? | ||
+ | \\ | ||
+ | Der Quader musste nun mit dem Draht und der Aufhängung verbunden werden. Als Draht habe ich die Gitarrensaite aus der ersten Versuchsreihe mit $d=0, | ||
+ | {{quader 1-min.jpg? | ||
+ | Wie in den ersten Versuchsreihen wurde die Periodendauer $T$ gemessen - entsprechende Messwerte im nächsten Abschnitt. Das folgende Video zeigt die Pendelbewegung des Quaders. Es war eine recht gut Schwingung ohne große " | ||
+ | {{quader.mp4? | ||
+ | \\ | ||
+ | \\ | ||
+ | \\ | ||
+ | \\ | ||
+ | Nun sollte noch eine weiterer Gegenstand als Pendelkörper gewählt werden. Ich habe mich für eine sehr dünne, quadratische Pappplatte entschieden. Die Kantenlänge wurde zu $a=20\: | ||
+ | {{platte_masse-min.jpg? | ||
+ | \\ | ||
+ | \\ | ||
+ | Ursprünglich wollte ich als Torsionsdraht wieder die Gitarrensaite aus der ersten Messreihe mit $d=0, | ||
+ | {{saite verbogen-min.jpg? | ||
+ | In den vorigen Messungen haben die hohen Pendelgewichte den Gitarrendraht noch straffen können. Bei der sehr leichten Platte war das aber nicht mehr möglich. Deshalb habe ich für das Experiment ein neues, relativ gerades Stück von dem " | ||
+ | {{platte 2-min.jpg? | ||
+ | Wie in allen Versuchen bisher auch ließ sich die Periodendauer $T$ messen, also die Zeit, bis der Ausgangszustand wieder erreicht ist. Die Messwerte sind wieder im nächsten Abschnitt dieser Wiki-Seite. Das folgende Video zeigt die Pendelbewegung. Es ist eine größere Torkelbewegung erkennbar als bei dem Quader zuvor, aber zumindest eine Periodendauer konnte gemessen werden. Wegen der sehr kurzen Periodendauern war die Messung aber nicht leicht:\\ | ||
+ | {{pappe.mp4? | ||
+ | \\ | ||
+ | \\ | ||
+ | \\ | ||
+ | \\ | ||
+ | \\ | ||
+ | In der Versuchsanleitung gab es nun noch die Anregung, mit einer mit Wasser gefüllten Weihnachtskugel zu experimentieren. Eine solche hatte ich nicht parat (zumindest keine, die ich mit Wasser hätte füllen können), weshalb ich ein kleines Glas genutzt habe. Durch ein Loch im Deckel ließ sich dieses mit Draht und Aufhängung verbinden: | ||
+ | {{glas_deckel-min.jpg? | ||
+ | Ich hatte also zwei exakt baugleiche Gläser zur Verfügung. In eines habe ich ein wenig Wasser gefüllt. Die Drehbewegungen im Video, links ohne Wasser und rechts mit Wasser:\\ | ||
+ | {{glas 1.mp4? | ||
+ | Beide Gläser wurden in eine gleiche Anfangsauslenkung gebracht und es wurde auch jeweils der gleiche Draht (Der " | ||
+ | \\ | ||
+ | \\ | ||
+ | \\ | ||
+ | \\ | ||
+ | \\ | ||
+ | |||
+ | |||
+ | |||
+ | ========== Messwerte ========== | ||
+ | \\ | ||
+ | **Betrachtung der Messunsicherheiten in der Versuchsauswertung. Hier nur die reinen Messwerte. Ich gebe einheitlich auf drei Nachkommastellen an. Weiteres dazu im Versuchsbericht. **\\ | ||
+ | \\ | ||
+ | **<fs large> | ||
+ | Die angehängte Metallstange als Pendelkörper wurde zu $m_s = 66\: \textbf{g}$ gemessen, mit Länge $l_s = 30\: \textbf{cm}$ sowie Durchmesser $d_s = 0, | ||
+ | Die Gitarrensaite ließ sich zu einem Durchmesser von etwa $d = 0, | ||
+ | Mit einer Stoppuhr wurde für unterschiedliche Drahtlängen $l_{\textbf{Draht}}$ die Periodendauer $T$ gemessen. Die Bewegung war nicht stark gedämpft und ich habe zwei Perioden $T_2$ gemessen, um Zeitunsicherheiten zu verringern. Folgende Messwerte wurden aufgenommen, | ||
+ | |||
+ | ^ ^ $l_{\textbf{Draht}}$ [cm] ^ 64,8 ^ 49,3 ^ 38,7 ^ 29,1 ^ 16,2 ^ 4,4 | ||
+ | | **Messung 1** | $T_2$ [s] | 17, | ||
+ | | ::: | $T$ [s] | 8,895 | 8,055 | 7,375 | 6,420 | 5,120 | ||
+ | | **Messung 2** | $T_2$ [s] | 17, | ||
+ | | ::: | $T$ [s] | 8,795 | 8,265 | 7,315 | 6,390 | 5,260 | ||
+ | | **Messung 3** | $T_2$ [s] | 17, | ||
+ | | ::: | $T$ [s] | 8,815 | 8,260 | 7,330 | 6,450 | 5,155 | ||
+ | | **Messung 4** | $T_2$ [s] | 18, | ||
+ | | ::: | $T$ [s] | 9,105 | 8,200 | 7,195 | 6,495 | 5,150 | ||
+ | | **Messung 5** | $T_2$ [s] | 17, | ||
+ | | ::: | $T$ [s] | 8,975 | 8,090 | 7,225 | 6,225 | 5,105 | ||
+ | \\ | ||
+ | \\ | ||
+ | \\ | ||
+ | **<fs large> | ||
+ | Als Pendelkörper wurde wieder die Metallstange mit $m_s = 66\: \textbf{g}$, | ||
+ | Der Durchmesser der Gitarrensaite ließ sich nicht gut abschätzen. Die folgenden Messwerte habe ich also nicht zur Bestimmung des Torsionsmoduls $G$ des Drahtes genutzt, sondern um lediglich den linearen Zusammenhang zwischen $T^2$ und Drahtlänge $l_{\textbf{Draht}}$ zu bestimmen.\\ | ||
+ | Mit einer Stoppuhr wurde für unterschiedliche Drahtlängen $l_{\textbf{Draht}}$ die Periodendauer $T$ gemessen. Die Bewegung war nicht stark gedämpft und ich habe wieder zwei Perioden $T_2$ gemessen, um Zeitunsicherheiten zu verringern. Folgende Messwerte wurde aufgenommen, | ||
+ | |||
+ | ^ ^ $l_{\textbf{Draht}}$ [cm] ^ 63,6 ^ 51,8 ^ 41,3 ^ 23,7 ^ 12,6 ^ | ||
+ | | **Messung 1** | $T_2$ [s] | 41, | ||
+ | | ::: | $T$ [s] | 20, | ||
+ | | **Messung 2** | $T_2$ [s] | 40, | ||
+ | | ::: | $T$ [s] | 20, | ||
+ | | **Messung 3** | $T_2$ [s] | 40, | ||
+ | | ::: | $T$ [s] | 20, | ||
+ | | **Messung 4** | $T_2$ [s] | 41,02 | 36, | ||
+ | | ::: | $T$ [s] | 20, | ||
+ | | **Messung 5** | $T_2$ [s] | 40,96 | 36, | ||
+ | | ::: | $T$ [s] | 20, | ||
+ | \\ | ||
+ | \\ | ||
+ | \\ | ||
+ | |||
+ | **<fs large> | ||
+ | Als Pendelkörper wurde wieder die Metallstange mit $m_s = 66\: | ||
+ | Als Torsionsdraht habe ich den neuen Draht mit dem Durchmesser von $d=0, | ||
+ | Mit einer Stoppuhr wurde für unterschiedliche Drahtlängen $l_{\textbf{Draht}}$ die Periodendauer $T$ gemessen. Die Bewegung war für große Drahtlängen nicht stark gedämpft und ich habe wieder zwei Perioden $T_2$ gemessen, um Zeitunsicherheiten zu verringern. Bei sehr kleinen Drahtlängen war die Amplitude der Bewegung so stark gedämpft, dass sich mehrere hintereinander folgende Periodendauern nicht messen ließen. Dies lag vermutlich an der schnelleren Pendelbewegung bzw. der allgemein stärkeren Verdrillung des Drahtes und der damit verbundenen Dynamik. In der Messwerttabelle ist dies in den $T_{2}$-Zeilen mit " | ||
+ | |||
+ | ^ ^ $l_{\textbf{Draht}}$ [cm] ^ 61,5 ^ 50,0 ^ 38,2 ^ 28,5 ^ | ||
+ | | **Messung 1** | $T_2$ [s] | 4,460 | 4,030 | 3,590 | --- | | ||
+ | | ::: | $T$ [s] | 2,230 | 2,015 | 1,795 | 1,480 | | ||
+ | | **Messung 2** | $T_2$ [s] | 4,470 | 4,100 | 3,530 | --- | | ||
+ | | ::: | $T$ [s] | 2,235 | 2,050 | 1,765 | 1,490 | | ||
+ | | **Messung 3** | $T_2$ [s] | 4,610 | 4,100 | 3,520 | --- | | ||
+ | | ::: | $T$ [s] | 2,305 | 2,050 | 1,760 | 1,560 | | ||
+ | | **Messung 4** | $T_2$ [s] | 4,560 | 3,960 | 3,610 | --- | | ||
+ | | ::: | $T$ [s] | 2,280 | 1,980 | 1,805 | 1,610 | | ||
+ | | **Messung 5** | $T_2$ [s] | 4,550 | 4,000 | 3,650 | --- | | ||
+ | | ::: | $T$ [s] | 2,275 | 2,000 | 1,825 | 1,530 | | ||
+ | \\ | ||
+ | \\ | ||
+ | \\ | ||
+ | |||
+ | **<fs large> | ||
+ | Als Pendelkörper wurde nun ein Holzquader mit $m_Q = 167\: | ||
+ | Als Torsionsdraht habe ich wieder die Gitarrensaite aus der ersten Versuchsreihe mit einem Durchmesser von etwa $d = 0, | ||
+ | Mit einer Stoppuhr wurde für unterschiedliche Drahtlängen $l_{\textbf{Draht}}$ die Periodendauer $T$ gemessen. Die Bewegung war nicht stark gedämpft und ich habe zwei Perioden $T_2$ gemessen, um Zeitunsicherheiten zu verringern. Folgende Messwerte wurde aufgenommen, | ||
+ | |||
+ | ^ ^ $l_{\textbf{Draht}}$ [cm] ^ 66,3 ^ 54,5 ^ 38,5 ^ 24,2 ^ 11,6 ^ | ||
+ | | **Messung 1** | $T_2$ [s] | 14, | ||
+ | | ::: | $T$ [s] | 7,215 | 6,640 | 5,400 | 4,325 | 2,950 | | ||
+ | | **Messung 2** | $T_2$ [s] | 14, | ||
+ | | ::: | $T$ [s] | 7,125 | 6,480 | 5,555 | 4,255 | 2,965 | | ||
+ | | **Messung 3** | $T_2$ [s] | 14, | ||
+ | | ::: | $T$ [s] | 7,315 | 6,525 | 5,390 | 4,390 | 3,140 | | ||
+ | | **Messung 4** | $T_2$ [s] | 14, | ||
+ | | ::: | $T$ [s] | 7,135 | 6,515 | 5,455 | 4,375 | 3,025 | | ||
+ | | **Messung 5** | $T_2$ [s] | 14, | ||
+ | | ::: | $T$ [s] | 7,270 | 6,550 | 5,515 | 4,415 | 3,005 | | ||
+ | \\ | ||
+ | \\ | ||
+ | \\ | ||
+ | |||
+ | **<fs large> | ||
+ | Als Pendelkörper wurde nun die extrem dünne, starre Pappplatte mit der Masse $m_p=33\: | ||
+ | Als Torsionsdraht habe ich den neuen Draht (aus der dritten Messreihe) mit dem Durchmesser von $d=0, | ||
+ | Mit einer Stoppuhr wurde für unterschiedliche Drahtlängen $l_{Draht}$ die Periodendauer $T$ gemessen. Die Bewegung war für große Drahtlängen nicht stark gedämpft und ich habe wieder zwei Perioden $T_2$ gemessen, um Zeitunsicherheiten zu verringern. Bei sehr kleinen Drahtlängen war die Amplitude der Bewegung so stark gedämpft, dass sich mehrere hintereinander folgende Periodendauern nicht messen ließen. Dies lag vermutlich an der schnelleren Pendelbewegung bzw. der allgemein stärkeren Verdrillung des Drahtes und der damit verbundenen Dynamik. In der Messwerttabelle ist dies in den $T_{2}$-Zeilen mit " | ||
+ | |||
+ | ^ ^ $l_{\textbf{Draht}}$ [cm] ^ 54,9 ^ 40,8 ^ 32,1 ^ 20,5 ^ | ||
+ | | **Messung 1** | $T_2$ [s] | 2,900 | 2,400 | --- | --- | | ||
+ | | ::: | $T$ [s] | 1,450 | 1,200 | 1,150 | 0,910 | | ||
+ | | **Messung 2** | $T_2$ [s] | 2,940 | 2,460 | --- | --- | | ||
+ | | ::: | $T$ [s] | 1,470 | 1,230 | 1,080 | 0,830 | | ||
+ | | **Messung 3** | $T_2$ [s] | 2,990 | 2,410 | --- | --- | | ||
+ | | ::: | $T$ [s] | 1,495 | 1,205 | 1,120 | 0,870 | | ||
+ | | **Messung 4** | $T_2$ [s] | 2,820 | 2,350 | --- | --- | | ||
+ | | ::: | $T$ [s] | 1,410 | 1,175 | 1,060 | 0,860 | | ||
+ | | **Messung 5** | $T_2$ [s] | 3,010 | 2,420 | --- | --- | | ||
+ | | ::: | $T$ [s] | 1,505 | 1,210 | 1,100 | 0,840 | | ||
+ | \\ | ||