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a_mechanik:drehschwingungen:gruppenseiten:gruppe344:start [19 January 2021 10:46] – majaherrmann | a_mechanik:drehschwingungen:gruppenseiten:gruppe344:start [ 1 February 2021 15:24] (current) – . christopherborchers | ||
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Line 1: | Line 1: | ||
====== Drehschwingung -- Gruppe 344 ====== | ====== Drehschwingung -- Gruppe 344 ====== | ||
Der Versuch wurde durchgeführt von: Christopher Borchers und Maja Herrmann \\ | Der Versuch wurde durchgeführt von: Christopher Borchers und Maja Herrmann \\ | ||
+ | |||
+ | ===== Vorbereitung ===== | ||
+ | Schwingungsdauer: | ||
+ | Drahtradius: | ||
+ | \\ | ||
+ | 1. Die DGL (2) lässt auf eine Linearkombination von Sinus und Cosinus schließen. Damit man auf das gewünschte Ergebnis kommt, muss der Sinus wegfallen. | ||
+ | |||
+ | |||
+ | Bei $t=0$ hat man den Anfangswinkel $\varphi_0$: | ||
+ | \[\varphi_0=\varphi(t=0)=b \Rightarrow b=\varphi_0\] | ||
+ | Die Winkelgeschwindigkeit soll hingegen am Anfang Null sein, da wir die Messung beim Loslassen des Stabs starten und ihm keinen zusätzlichen Schub geben: | ||
+ | \[\dot{\varphi}(t=0)= a\omega \operatorname{sin}\omega t = 0 \Rightarrow a = 0\] | ||
+ | |||
+ | Also fällt der Sinus weg und man erhält | ||
+ | \[\varphi(t) = \varphi_0 \operatorname{cos} \omega t\] | ||
+ | |||
+ | \\ | ||
+ | 2. $[D] = $Nm, $[\varphi] =$ rad, $[I] = \textrm{kg m²} $, $[D_R] = [D]$\\ | ||
+ | \\ | ||
+ | 3. \[\ddot{\varphi} = -\frac{D_R}{I} \varphi\] | ||
+ | \[\Leftrightarrow -\omega^2\varphi_0\operatorname{cos}\omega t = -\frac{D_R}{I}\varphi_0\operatorname{cos}\omega t\] | ||
+ | \[\Leftrightarrow -\frac{D_R}{I}\varphi_0\operatorname{cos}\omega t = -\frac{D_R}{I}\varphi_0\operatorname{cos}\omega t\] | ||
+ | \\ | ||
+ | 4. Unserer Idee nach, um das Drehmoment experimentell zu bestimmen, würde man zunächst T messen, daraus $\omega$ bilden, durch die Gleichung für $\varphi$ auf $\varphi$ und durch Ableitung auf $\ddot{\varphi}$ schließen, um dies anschließend in | ||
+ | \[D = I \ddot{\varphi} \Leftrightarrow I = \frac{D}{\ddot{\varphi}}\] | ||
+ | einzusetzen.\\ | ||
+ | \\ | ||
+ | 5. \[dW = D d\varphi = 1/2 I d\omega^2 \] (wegen E = dW) | ||
+ | \[\Rightarrow D d\varphi = 1/2 I d\dot{\varphi}^2\] | ||
+ | \[\Leftrightarrow D \frac{d\varphi}{dt} = 1/2 I \frac{d\dot{\varphi}^2}{dt}\] | ||
+ | \[\Leftrightarrow D\dot{\varphi} = 1/2 I(2\ddot{\varphi}\dot{\varphi})\] | ||
+ | \[\Leftrightarrow D = I\ddot{\varphi}\] | ||
+ | \[\Leftrightarrow -D_R \varphi = I \ddot{\varphi}\] | ||
+ | (Der Schritt in der ersten Zeile erfolgt durch Einsetzen der Rotationsarbeit/ | ||
+ | \\ | ||
+ | 6. Steinerscher Satz: | ||
+ | \[ J = J_S + md^2\] | ||
+ | mit $J_S$ dem Trägheitmoment bei Rotation durch den Schwerpunkt und d dem Abstand zwischen der Rotationsachse und dem Schwerpunkt, | ||
+ | Hier ist er allerdings irrelevant, da wir in der Theorie zumindest die Stange genau im Schwerpunkt aufhängen und somit einfach $J = J_S$ gilt. | ||
===== Messungen ===== | ===== Messungen ===== | ||
==== Längenvariation der Torsionsaufhängung ==== | ==== Längenvariation der Torsionsaufhängung ==== | ||
- | In diesem Versuchsteil haben wir eine E-Gitarren-Saite mit dem Radius $r=(0, | + | In diesem Versuchsteil haben wir eine E-Gitarren-Saite mit dem Radius $r=(0, |
+ | Für die Länge L sind wir von einer Messunsicherheit von $u(L)=0, | ||
Im Folgenden die Messwerte: | Im Folgenden die Messwerte: | ||
{{: | {{: | ||
==== Verschiedene Torsionsaufhängungen (Fäden/ | ==== Verschiedene Torsionsaufhängungen (Fäden/ | ||
=== Geschenkband === | === Geschenkband === | ||
- | Im Folgenden haben wir anstatt einer E-Gitarren-Saite ein flaches Geschenkband mit dem Radius $r_G=(2, | + | Im Folgenden haben wir anstatt einer E-Gitarren-Saite ein flaches Geschenkband mit dem Radius $r_G=(2, |
Im Folgenden ein Bild des Aufbaus.\\ | Im Folgenden ein Bild des Aufbaus.\\ | ||
{{: | {{: | ||
Wir haben fünfmal die Periodendauer $T$ bestimmt. Die Messwerte sind im Folgenden angegeben.\\ | Wir haben fünfmal die Periodendauer $T$ bestimmt. Die Messwerte sind im Folgenden angegeben.\\ | ||
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=== E-Gitarren-Saite === | === E-Gitarren-Saite === | ||
- | In diesem Versuchsteil haben wir die E-Gitarren-Saite mit dem Radius $r=(0, | + | In diesem Versuchsteil haben wir die E-Gitarren-Saite mit dem Radius $r=(0, |
- | Die Messwerte der fünf Periodendauern $T$ sind im Folgenden zu sehen.\\ | + | Die Messwerte der fünf Periodendauern $T$ sind im Folgenden zu sehen.\\ |
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==== Verschiedene Geometrien (Aufhängungen) ==== | ==== Verschiedene Geometrien (Aufhängungen) ==== | ||
=== Küchenrolle === | === Küchenrolle === | ||
- | In diesem Versuch haben wir anstatt des Mettallstabes eine Küchenrolle mit dem Radius $R_K=(5, | + | In diesem Versuch haben wir anstatt des Mettallstabes eine Küchenrolle mit dem Radius $R_K=(5, |
Im Folgenden der Versuchsaufbau und die Messwerte.\\ | Im Folgenden der Versuchsaufbau und die Messwerte.\\ | ||
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Außerdem haben wir eine Messung mit den gleichen Bedingungen wie im Abschnitt " | Außerdem haben wir eine Messung mit den gleichen Bedingungen wie im Abschnitt " | ||
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=== Christbaumkugel mit und ohne Wasser === | === Christbaumkugel mit und ohne Wasser === | ||
- | Hier haben wir zur Untersuchung der Dämpfung eine Christbaumkugel um sich selber stark ausgelenkt. Als Torsionsaufhängung haben wir die Saite mit Länge $L=(72, | + | Hier haben wir zur Untersuchung der Dämpfung eine Christbaumkugel um sich selber stark ausgelenkt. Als Torsionsaufhängung haben wir die Saite mit Länge $L=(72, |
Im Folgenden ein Video von der Christbaumkugel mit einem Schluck Wasser darin.\\ | Im Folgenden ein Video von der Christbaumkugel mit einem Schluck Wasser darin.\\ | ||
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+ | Wenn kein Wasser in die Kugel gefüllt wird, dauert es etwas länger, bis die Schwingung aufhört. | ||