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a_mechanik:drehschwingungen:gruppenseiten:gruppe314:start [22 January 2021 12:57] – [Messunsicherheiten] lisadigiacomoa_mechanik:drehschwingungen:gruppenseiten:gruppe314:start [ 2 February 2021 11:01] (current) – [Berechnung des Torsionsmoduls G] lisadigiacomo
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 == Experimentelle Bestimmung des Drehmoments == == Experimentelle Bestimmung des Drehmoments ==
-Das Drehmoment kann man mit einem Drehmomentschlüssel bestimmt werden. Dabei verbiegt sich der lange Schaft mit dem Griff bei Einwirkung einer Kraft. Die Stellung des Zeigers verändert sich dabei nicht. An einer Skala kann da das Drehmoment abgelesen werden. +Das Drehmoment kann man mit einem Drehmomentschlüssel bestimmt werden. Dabei verbiegt sich der lange Schaft mit dem Griff bei Einwirkung einer Kraft. Die Stellung des Zeigers verändert sich dabei nicht. An einer Skala kann da das Drehmoment abgelesen werden. \\ 
 +Zum anderen kann man das Drehmoment über den Drehimpuls bestimmen. Der Drehimpuls ist das Produkt aus Winkelgeschwingigkeit und Trägheitsmoment. Beides kann experimentell bestimmt werden und mit der Beziehung, dass das Drehmoment die zeitliche Änderung des Drehimpulses ist, das Drehmoment berechnen.
 == Rotationsenergie == == Rotationsenergie ==
 Arbeit ist bei Translation das Produkt aus Kraft und Weg. In der Rotation ist das Drehmoment und der Drehwinkel das Äquivalent zu Kraft und Weg. Das bedeutet, dass die Änderung der Arbeit durch das Produkt aus Drehmoment und der Änderung des Winkels ausgedrückt werden kann. In der Translation wäre die Änderung der Arbeit das Produkt aus Arbeit und Änderung des Ortes. \\ Arbeit ist bei Translation das Produkt aus Kraft und Weg. In der Rotation ist das Drehmoment und der Drehwinkel das Äquivalent zu Kraft und Weg. Das bedeutet, dass die Änderung der Arbeit durch das Produkt aus Drehmoment und der Änderung des Winkels ausgedrückt werden kann. In der Translation wäre die Änderung der Arbeit das Produkt aus Arbeit und Änderung des Ortes. \\
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 Jedes Masseelement eines rotierenden starren Körper besitzt eine bestimmte kinetische Energie, die von der Masse und deren Geschwindigkeit abhängig ist. Die Geschwindigkeit hängt bei Winkelgeschwindigkeit vom Abstand von der Drehachse ab. Diese Energie bezeichnet man als Rotationsenergie: Jedes Masseelement eines rotierenden starren Körper besitzt eine bestimmte kinetische Energie, die von der Masse und deren Geschwindigkeit abhängig ist. Die Geschwindigkeit hängt bei Winkelgeschwindigkeit vom Abstand von der Drehachse ab. Diese Energie bezeichnet man als Rotationsenergie:
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-$E_Rot=\frac{1}{2}*I*\omega^2$+$E_{Rot}=\frac{1}{2}\cdot I\cdot\omega^2$
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Line 112: Line 113:
 $I = I_{s} + m\cdot h^2$. $I = I_{s} + m\cdot h^2$.
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 +Um den Steiner´schen Satz experimentell zu beweisen, benutzt man einen Drehscheiben-Torsionspendel. 
  
-Welche physikalische Aussage benötigen Sie zu seinem Beweis? 
  
 ====== Torsionsmodul des Drahtes ====== ====== Torsionsmodul des Drahtes ======
Line 276: Line 278:
 Der Literaturwert für Stahl ist etwa $G = 79,3 ~GPa$. Das ist eine Abweichung von $6,6\%$, was anhand der Messunsicherheiten erklärbar sein wird. Der Literaturwert für Stahl ist etwa $G = 79,3 ~GPa$. Das ist eine Abweichung von $6,6\%$, was anhand der Messunsicherheiten erklärbar sein wird.
 == Torsionsmodul des Gummiband == == Torsionsmodul des Gummiband ==
-Die Steigung des Graphens für das Gummiband ist $a = (607,49 \pm 13,14 )~\frac{m}{s^2}$ und $ r = (0,0005 \pm 0,00005)~m$.+Die Steigung des Graphens für das Gummiband ist $a = (601,4 \pm 75,6 )~\frac{m}{s^2}$ und $ r = (0,0005 \pm 0,00005)~m$.
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-$ G_{Gummi} = ( 0,0273\pm 0.0009)~ GPa$. +$ G_{Gummi} = ( 0,0276\pm 0.0111)~ GPa$. 
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-Der Literaturwert beträgt etwa $0,0003~GPa$. Es muss also bei der Messung ein Fehler aufgetreten sein, oder bei der Berechung von dem Torsionsmodul, da sich der Wert um $10^2$ verschoben hat. +Der Literaturwert beträgt etwa $0,0003~GPa$. Es muss also bei der Messung ein Fehler aufgetreten sein, oder bei der Berechung von dem Torsionsmodul, da sich der Wert um $10^2$ vergrößert hat. 
 == Torsionsmodul des Kabels  == == Torsionsmodul des Kabels  ==
-Die Steigung des Graphens für das Kabel ist $a = (0,27 \pm 0,03 )~\frac{m}{s^2}$ und $ r = (0,0015 \pm 0,00005)~m$.+Die Steigung des Graphens für das Kabel ist $a = (0,25 \pm 0,03 )~\frac{m}{s^2}$ und $ r = (0,0015 \pm 0,00005)~m$.
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-$ G_{Kabel} = ( 0,77\pm 0,09)~ GPa$. +$ G_{Kabel} = ( 0,82\pm 0,15)~ GPa$. 
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 == Torsionsmodul des Garns == == Torsionsmodul des Garns ==
-Die Steigung des Graphens für das Garnstück ist $a = (93,87 \pm 4,18 )~\frac{m}{s^2}$ und $ r = (0,001 \pm 0,00005)~m$.+Die Steigung des Graphens für das Garnstück ist $a = (118,2 \pm 21,2 )~\frac{m}{s^2}$ und $ r = (0,001 \pm 0,00005)~m$.
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-$ G_{Garn} = ( 0,0111 \pm 0,0006) ~GPa$. +$ G_{Garn} = ( 0,009 \pm 0,002) ~GPa$. 
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-Leider wurde für die zwei weiteren Torsionsaufhängungen keine Literaturwerte gefunden.+Leider wurden für die zwei weiteren Torsionsaufhängungen keine Literaturwerte gefunden.
 ====== Berechnung des Trägheitsmoments ====== ====== Berechnung des Trägheitsmoments ======
 ==== Versuchsaufbau ==== ==== Versuchsaufbau ====
Line 324: Line 326:
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 Für die Bestimmung der Periodendauer T hab ich drei Gegenstände benutzt. Die Gitarrensaite habe ich an einer frei hängenden Lampe befestigt (siehe Foto). Die Länge betrug dabei $l=0,63 ~m$. Den Radius der genutzten Saite haben wir auf $r = (0,00015\pm 0,00005)~ m$ angenommen (Gitarrensaite hat laut Wikipedia etwa 0.012 Zoll) . Für das Torsionsmodul haben wir mit dem Literaturwert von $G=79,5 ~GPa$ gerechnet, um weitere Fehler zu vermeiden.\\ Für die Bestimmung der Periodendauer T hab ich drei Gegenstände benutzt. Die Gitarrensaite habe ich an einer frei hängenden Lampe befestigt (siehe Foto). Die Länge betrug dabei $l=0,63 ~m$. Den Radius der genutzten Saite haben wir auf $r = (0,00015\pm 0,00005)~ m$ angenommen (Gitarrensaite hat laut Wikipedia etwa 0.012 Zoll) . Für das Torsionsmodul haben wir mit dem Literaturwert von $G=79,5 ~GPa$ gerechnet, um weitere Fehler zu vermeiden.\\
-Damit die Perdiodendauer genauer ist, haben wir unsere Reaktionszeit gemessen und diese von der Periodendauer abgezogen. Die gemittelte Reaktionszeit betrug $<T>=0,33855~ s$. Diese ist beim berechneten Trägheitmoment bereits berücksichtigt. Die Unsicherheit der Schwingungsdauer wurde jeweils mit dem Standardfehler bestimmt.\\+Damit die Perdiodendauer genauer ist, haben wir unsere Reaktionszeit gemessen und diese von der Periodendauer abgezogen. Die gemittelte Reaktionszeit betrug $<T>=0,33855~ s$. Diese ist beim berechneten Trägheitmoment bereits berücksichtigt. Die Länge des Drahtes war konstant bei $l = (63,00 \pm 0,05)~cm$. Die Unsicherheit der Schwingungsdauer wurde jeweils mit dem Standardfehler bestimmt.\\
 Für die DVD-Schachtel ergaben sich folgende Messwerte:\\  Für die DVD-Schachtel ergaben sich folgende Messwerte:\\ 
 ^ T in s (für 5 Perioden) ^ T in s (für eine Periode) | ^ T in s (für 5 Perioden) ^ T in s (für eine Periode) |
Line 367: Line 369:
 Die Unsicherheit ist hier $u(T) = 0,008 ~s $. Die Unsicherheit ist hier $u(T) = 0,008 ~s $.
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-Wir berechnen für die Christbaumkugel ein Trägheitsmoment von $I_{3} = 1,8714\cdot ^{-5}~kg·m^2$.+Wir berechnen für die Christbaumkugel ein Trägheitsmoment von $I_{3} = 1,8714\cdot 10^{-5}~kg·m^2$.
  
 == Messunsicherheit des Trägheitsmoments == == Messunsicherheit des Trägheitsmoments ==