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a_mechanik:drehschwingungen:gruppenseiten:gruppe313:start [21 January 2021 14:06] – maltesaathoffa_mechanik:drehschwingungen:gruppenseiten:gruppe313:start [22 January 2021 12:50] (current) – [Drehschwingungen - Gruppe 313] maltesaathoff
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 ===Theoretische Vorüberlegungen/Aufgaben=== ===Theoretische Vorüberlegungen/Aufgaben===
 +
 +===Periodendauer herleiten===
 +
 +Wir sollen aus der Kerisfrequenz die Schwingungsdauer T berechnen. Wir wissen um den Zusammenhnag $T=\frac{2\pi}{\omega}$. Das können wir auch so schreiben:
 +
 +$$T=2\pi\cdot\sqrt{\frac{I}{D_R}}=\sqrt{\frac{8\pi\cdot I\cdot L}{G\cdot r^4}}$$
 +
 +Diesen Zusammenhang nutzen wir für den Rest der Auswertung. 
  
 ==Aufgabe 1== ==Aufgabe 1==
Line 109: Line 117:
  
 $$I_2=I_1+d^2\cdot m$$ $$I_2=I_1+d^2\cdot m$$
 +
 +===Überpfrüfung des Trägheitsmoments=== 
 +
 +Wir haben das Trägheitsmoment für den Stab gegeben als:
 +
 +$$I=\frac{1}{4}m\cdot R^2+\frac{1}{12}m\cdot l^2$$
 +
 +Wir sollten das jetzt überprüfen. Ein experimentelles Überprüfen haben wir jetzt mal ausgeschlossen, da wir das Torsionmodul mit dem wir das Trägheitmoment überprüfen könnten ja mithilfe des Stabes selber bestimmt haben. EIne Überprüfung wäre da also einfach ein Zirkelschluss. Wir überprüfen das Trägheitsmoment also, indem wir es herleiten:
 +
 +Wir wissen um diesen Zusammenhang:
 +
 +$$I_{y,x}=\frac{1}{2}\cdot(I_x+I_y)=\frac{1}{2}(\int(y^2+z^2)\,dm+\int(x^2+z^2)\,dm)=\frac{1}{2}(I_z+\int 2z^2\,dm)$$
 +
 +Wir kennen $I_z=\frac{1}{2}MR^2$ und erhalten somit:
 +
 +$$I_{x,y}=\frac{1}{4}M\cdot R^2+\delta \iiint z^2\cdot r \,dz\,d\phi\,dr=\frac{1}{4}M\cdot R^2+\delta\cdot2\pi\cdot\frac{1}{2}R^2\cdot\frac{1}{12}l^3$$
 +
 +Wir wissen ja zudem dass $\delta=\frac{M}{\pi\cdot R^2\cdot l}$ gilt. Deshalb kürzt sich einiges raus und wir erhalten:
 +
 +$$I_{x,y}=\frac{1}{4}M\cdot R^2+\frac{1}{12}M\cdot l^2$$
 +
 +Das ist ja genau das gesuchte Trägheitsmoment. Wir haben es also überprüft. 
  
 ====Versuchsaufbau und Durchführung=== ====Versuchsaufbau und Durchführung===
Line 116: Line 146:
 Nun messen wir die Schwingungsdauer für jeweils 5 Torsionschwingungen eines 24,8cm langen, 6mm dicken und 55g schweren Stabs. Um die Torsionsaufhängungen zu varrieren, stellen wir unterschiedliche Längen der E-Gitarrensaiten ein. 6 Gitarrensaiten sind 5mm dick. Das enstpricht einem Durchmesser von 0,8333mm und somit einem Radius von 0,41666mm pro Saite. Nun messen wir die Schwingungsdauer für jeweils 5 Torsionschwingungen eines 24,8cm langen, 6mm dicken und 55g schweren Stabs. Um die Torsionsaufhängungen zu varrieren, stellen wir unterschiedliche Längen der E-Gitarrensaiten ein. 6 Gitarrensaiten sind 5mm dick. Das enstpricht einem Durchmesser von 0,8333mm und somit einem Radius von 0,41666mm pro Saite.
  
-^ Länge Saite in cm  ^ T_1 in s  | **T_2 in s**  | **T_3 in s**  | **T_4 in s**  | **T_5 in s**  | +^ Länge Saite in cm  ^ 5*T in s  | T in s  | 
-| 69                 |  23,47    |  23,25        |  23,51        |  23,42        |  23.61        | +| 69                 | 23,47     |  4,694  | 
-| 62,3               | 22,18     |               |               |               |               | +| 62,3               | 22,18     | 4,436   | 
-| 52,9               | 20,84     |               |               |               |               | +| 52,9               | 20,84     | 4,168   | 
-| 38,7               | 18,35     |               |               |               |               | +| 38,7               | 18,35     | 3,67    | 
-| 27,7               | 15,92     |               |               |               |               |+| 27,7               | 15,92     | 3,184   |
  
 Als Torsionsaufhängung nehmen wir jetzt einen Bindfaden (Durchmesser 5 Wicklungen= 1,7cm; 1 Wicklung= 0,34cm) mit dem gleichen Stab wie zuvor. Diesmal messen wir nur für 4 komplette Torsionsschwingungen die Zeit, da der Draht scheinbar deutlich "träger" ist. Als Torsionsaufhängung nehmen wir jetzt einen Bindfaden (Durchmesser 5 Wicklungen= 1,7cm; 1 Wicklung= 0,34cm) mit dem gleichen Stab wie zuvor. Diesmal messen wir nur für 4 komplette Torsionsschwingungen die Zeit, da der Draht scheinbar deutlich "träger" ist.
-^ Länge in cm  ^ 4*T in s  | T für eine Schwingung in s  | +^ Länge in cm  ^ 4*T in s  | T in s  | 
-| 22,3         | 62,68     | 15,67                       | +| 22,3         | 62,68     | 15,67   | 
-| 24,0         | 65,54     | 16,38                       | +| 24,0         | 65,54     | 16,38   | 
-| 18,6         | 56,49     | 14,12                       | +| 18,6         | 56,49     | 14,12   | 
-| 14,9         | 53,34     | 13,33                       | +| 14,9         | 53,34     | 13,33   | 
-| 9,5          | 43,74     | 10,94                       |+| 9,5          | 43,74     | 10,94   |
  
 **Aufg. 2 Trägheitsmoment** **Aufg. 2 Trägheitsmoment**
Line 135: Line 165:
 Nun tauschen wir den Stab gegen einen 209g schweren Topfdeckel aus und erhalten mit dem Draht als Torsionsmodul jetzt folgende Messwerte: Nun tauschen wir den Stab gegen einen 209g schweren Topfdeckel aus und erhalten mit dem Draht als Torsionsmodul jetzt folgende Messwerte:
  
-^ Länge Saite in cm  ^ Zeit T in s für 5 komplette Torsionsschwingungen  ^ +^ Länge in cm  ^ 5*T in s  | T in s  | 
-| 64,6               | 50,07                                             | +| 64,6         | 50,07     | 10,014  | 
-| 44,6               | 41,92                                             | +| 44,6         | 41,92     | 8,384   | 
-| 37                 | 37,89                                             | +| 37           | 37,89     | 7,578   | 
-| 29,5               | 34,75                                             |+| 29,5         | 34,75     | 6,95    |
  
 Mit einem 152g schweren, 27,4cm breiten und 24,5cm hohen Eimer als Geometrie und dem Draht erhalten wir folgende Messwerte: Mit einem 152g schweren, 27,4cm breiten und 24,5cm hohen Eimer als Geometrie und dem Draht erhalten wir folgende Messwerte:
- +  
-^ Länge in cm  ^ Zeit 5T in s  | T in s  |+^ Länge in cm  ^  5*T in s      | T in s  |
 | 41,3         | 62,50         | 12,5    | | 41,3         | 62,50         | 12,5    |
 | 37,3         | 58,92         | 11,78   | | 37,3         | 58,92         | 11,78   |