meta data for this page
  •  

Differences

This shows you the differences between two versions of the page.

Link to this comparison view

Both sides previous revisionPrevious revision
Next revision		Previous revision
a_mechanik:drehschwingungen:gruppenseiten:gruppe313:start [17 January 2021 19:46] – [Versuchsaufbau und Durchführung] konstantinschremmera_mechanik:drehschwingungen:gruppenseiten:gruppe313:start [22 January 2021 12:50] (current) – [Drehschwingungen - Gruppe 313] maltesaathoff
Line 2: Line 2:
  
 ===Theoretische Vorüberlegungen/Aufgaben=== ===Theoretische Vorüberlegungen/Aufgaben===
 +
 +===Periodendauer herleiten===
 +
 +Wir sollen aus der Kerisfrequenz die Schwingungsdauer T berechnen. Wir wissen um den Zusammenhnag $T=\frac{2\pi}{\omega}$. Das können wir auch so schreiben:
 +
 +$$T=2\pi\cdot\sqrt{\frac{I}{D_R}}=\sqrt{\frac{8\pi\cdot I\cdot L}{G\cdot r^4}}$$
 +
 +Diesen Zusammenhang nutzen wir für den Rest der Auswertung. 
  
 ==Aufgabe 1== ==Aufgabe 1==
Line 63: Line 71:
 ==Aufgabe 4== ==Aufgabe 4==
  
-Nochmal nachgucken, wahrscheinlich über Trägheitsmoment und Winkelbescheunigung. +Wir kennen ja den Zusammenhang $D=I\cdot \ddot\omega$. Das Trägheitsmoment ist für viele Körper relativ einfach zu bestimmen. Um das Drehmoment D herauszubekommen, muss man nun einfach die Winkelbschleunigung $\ddot\omega$ herausfinden. Dazu fällt uns ein Fersuchsaufbau ein, bei dem man ein Rad rotieren lässt und an makierten Punkten die Rotaionszeit mit einer Lichtschranke misst. Darüber kann man die Winkelgschwindigkeit messen. Diese kann man dann nach der Zeit auftragen. Die Steigung der Winkelgschwindigkeitskurve, ist dann die Winkelbschleunigung. Diese lässt sich über einen Fit whrscheinlich einfach bestimmen. So erhält man die Winkelbschleunigung $\ddot\omega$ und kann das Drehmoment bestimmen. 
 ==Aufgabe 5== ==Aufgabe 5==
  
Line 94: Line 101:
 Kommen wir zu Herleitung: Kommen wir zu Herleitung:
  
-kommt noch was +Wir setzten den Schwerpunkt in den Ursprung unseres Koordinatensystems. Unsere Rotationsachsen sehen wir als Parallel zur z-Achse an. Wenn wir nun eine Rotationsachse durch den Ursprung legen würden, sähe das Trägheitsmoment so aus:
  
 +$$I_1=\sum\limits_{i}=m_i(x_i^2+y_i^2)$$
 +
 +Nun wollen wir jedoch die Rotationsachs nicht durch den Ursprung legen, sondern einfach etwas verschieben. Die Rotaionsachse bleibt jedoch weiterhin parallel zur z-Achse. Wir würden nun diese Formel erhalten:
 +
 +$$I_2=\sum\limits_{i}m_i((x_i-x_n)^2+(y_i-y_n)^2)$$
 +
 +Das kann man nun natürlich ausmultplizieren: 
 +
 +$$I_2=\sum\limits_{i}m_i(x_i^2+y_i^2)-2x_n\sum\limits_{i}m_ix_i-2y_n\sum\limits_{i}m_iy_i+(x_n^2+y_n^2)\sum\limits_{i}m_i$$
 +
 +
 +Da wir den Schwerpunkt in den Ursprung gelegt haben wir der zweite und dritte Term einfach zu null. Der erste Term ist nichts anderes, als das Trägheitsoment, um die Rotationsachse im Schwerpunkt $I_1$ und der letzte Term ist nichts anderes, als das Abstandsquadrat $(x_n^2+y_n^2)=d^2$ und die Gesmatmasse der Körpers $\sum\limits_i m_i=m$. Damit erhalten wir den Steinerschen Satz:
 +
 +$$I_2=I_1+d^2\cdot m$$
 +
 +===Überpfrüfung des Trägheitsmoments=== 
 +
 +Wir haben das Trägheitsmoment für den Stab gegeben als:
 +
 +$$I=\frac{1}{4}m\cdot R^2+\frac{1}{12}m\cdot l^2$$
 +
 +Wir sollten das jetzt überprüfen. Ein experimentelles Überprüfen haben wir jetzt mal ausgeschlossen, da wir das Torsionmodul mit dem wir das Trägheitmoment überprüfen könnten ja mithilfe des Stabes selber bestimmt haben. EIne Überprüfung wäre da also einfach ein Zirkelschluss. Wir überprüfen das Trägheitsmoment also, indem wir es herleiten:
 +
 +Wir wissen um diesen Zusammenhang:
 +
 +$$I_{y,x}=\frac{1}{2}\cdot(I_x+I_y)=\frac{1}{2}(\int(y^2+z^2)\,dm+\int(x^2+z^2)\,dm)=\frac{1}{2}(I_z+\int 2z^2\,dm)$$
 +
 +Wir kennen $I_z=\frac{1}{2}MR^2$ und erhalten somit:
 +
 +$$I_{x,y}=\frac{1}{4}M\cdot R^2+\delta \iiint z^2\cdot r \,dz\,d\phi\,dr=\frac{1}{4}M\cdot R^2+\delta\cdot2\pi\cdot\frac{1}{2}R^2\cdot\frac{1}{12}l^3$$
 +
 +Wir wissen ja zudem dass $\delta=\frac{M}{\pi\cdot R^2\cdot l}$ gilt. Deshalb kürzt sich einiges raus und wir erhalten:
 +
 +$$I_{x,y}=\frac{1}{4}M\cdot R^2+\frac{1}{12}M\cdot l^2$$
 +
 +Das ist ja genau das gesuchte Trägheitsmoment. Wir haben es also überprüft. 
  
 ====Versuchsaufbau und Durchführung=== ====Versuchsaufbau und Durchführung===
  
-Nun messen wir die Schwingungsdauer für jeweils 5 Torsionschwingungen. Um die Torsionsaufhängungen zu varrieren, stellen wir unterschiedliche Längen der E-Gitarrensaiten ein.+**Aufg. 1 Torsionsmodul des Drahtes** 
 + 
 +Nun messen wir die Schwingungsdauer für jeweils 5 Torsionschwingungen eines 24,8cm langen, 6mm dicken und 55g schweren Stabs. Um die Torsionsaufhängungen zu varrieren, stellen wir unterschiedliche Längen der E-Gitarrensaiten ein. 6 Gitarrensaiten sind 5mm dick. Das enstpricht einem Durchmesser von 0,8333mm und somit einem Radius von 0,41666mm pro Saite.
  
-^ Länge Saite in cm  ^ T_1 in s  | **T_2 in s**  | **T_3 in s**  | **T_4 in s**  | **T_5 in s**  | +^ Länge Saite in cm  ^ 5*T in s  | T in s  | 
-| 69       |   23,47        |    23,25           |    23,51           |     23,42          |      23.61         |+| 69                 | 23,47     |  4,694  | 
 +| 62,3               | 22,18     | 4,436   | 
 +| 52,9               | 20,84     | 4,168   | 
 +| 38,7               | 18,35     | 3,67    | 
 +| 27,7               | 15,92     | 3,184   |
  
 +Als Torsionsaufhängung nehmen wir jetzt einen Bindfaden (Durchmesser 5 Wicklungen= 1,7cm; 1 Wicklung= 0,34cm) mit dem gleichen Stab wie zuvor. Diesmal messen wir nur für 4 komplette Torsionsschwingungen die Zeit, da der Draht scheinbar deutlich "träger" ist.
 +^ Länge in cm  ^ 4*T in s  | T in s  |
 +| 22,3         | 62,68     | 15,67   |
 +| 24,0         | 65,54     | 16,38   |
 +| 18,6         | 56,49     | 14,12   |
 +| 14,9         | 53,34     | 13,33   |
 +| 9,5          | 43,74     | 10,94   |
  
 +**Aufg. 2 Trägheitsmoment**
  
 +Nun tauschen wir den Stab gegen einen 209g schweren Topfdeckel aus und erhalten mit dem Draht als Torsionsmodul jetzt folgende Messwerte:
  
 +^ Länge in cm  ^ 5*T in s  | T in s  |
 +| 64,6         | 50,07     | 10,014  |
 +| 44,6         | 41,92     | 8,384   |
 +| 37           | 37,89     | 7,578   |
 +| 29,5         | 34,75     | 6,95    |
  
 +Mit einem 152g schweren, 27,4cm breiten und 24,5cm hohen Eimer als Geometrie und dem Draht erhalten wir folgende Messwerte:
 + 
 +^ Länge in cm  ^  5*T in s      | T in s  |
 +| 41,3         | 62,50         | 12,5    |
 +| 37,3         | 58,92         | 11,78   |
 +| 19,7         | 50,6          | 10,12   |
 +| 8,8          | 47,24         | 9,45    |
 +| 27,2         | 54,86         | 10,97   |