Der Versuch wurde durchgeführt von: Julius Riekenberg und Lukas Köpp
Die Wiki-Seite wurde angelegt am: 17 December 2020 15:21

Wir betrachten im Versuch kippender Besenstiel einen Starren Körper, der um einen festen Drehpunkt durch den Einfluss der Gravitation kippt. Wir richten den Besenstiel dabei immer so aus, dass dieser immer in dieselbe Richtung kippt.

Wir erhalten folgende Bewegungsgleichung für den Winkel $\phi$ des Körpers in Bezug auf das Drehmoment $J$

$ J \ddot{\phi} = F_G \cdot \frac{l}{2} = m \cdot g \cdot sin(\phi) \cdot \frac{l}{2}$

Für J ohne Luftreibung gilt:

$ J = \int_{0}^{l} x^2 \cdot \frac{m}{l} \,dx = \frac{m \cdot l^2}{3} $

Es ergibt sich nun die Differentialgleichung $ \ddot{\phi} = \frac{3 \cdot g}{2 \cdot l} \cdot sin(\phi) $ und wir erkennen, dass die Masse bei einer reibungsfreien Bewegung irrelevant ist.

Die Länge $l$ tritt antiproportional in der Gleichung auf, ist also die Länge größer so wird auch die Fallzeit größer

Gleiches gilt hier für das Ausbalancieren eines Besens. Ist die Masse nicht homogen verteilt, so drehen wir den Besen, dass der massereiche Anteil weit entfernt ist. Dies erhöht das Trägheitsmoment und der Besen kommt nicht so schnell aus der Balance.

Der Anfangswinkel $\phi_0$ spielt eine entscheidene Rolle. Für $\phi_0 = 0$ befinden wir uns auf einem instabilen Extremum, was theoretisch eine unendlich lange Fallzeit haben kann. Real wird der Besenstiel irgendwann aus der Ruhe gebracht. Durch Erhöhung vom Anfangswinkel erreichen wir natürlcih kürzere Fallzeiten, bis wir bei $\phi_0 = \pi/2$ beim Boden ankommen.

Zuerst betrachten wir einen Besen. Dieser hat die Länge $l_{Besen} = 1,30 \pm 0,03m$.

Wir messen die Starthöhe und bestimmen $\phi_0 = \arctan{s/h_k}$, wobei $s$ die Entferneung entlang der Küchenzeile und $h_k$ bei die Höhe der Kückenzeile ist.

Ab einer gewissen Entfernung reicht der Besen nicht mehr bis zur Küchenplatte. Nun messen wir die Höhe $h$ bei einem festen Abstand $s_{Mark}$ und bestimmen den Winkel erneut als $\phi_0 = \arctan{s_{Mark}/h}$.

Unsicherheiten:

$ u(s$ bzw. $h) = 0,03m, u(T) = 0.1s $

$ u(\phi_0) = \sqrt{(\frac{h^2 \cdot u(s)}{h \cdot (h^2 + s^2)})^2 + (\frac{- s\cdot h^2 \cdot u(h)}{h^2 \cdot (h^2 + s^2)})^2} = \frac{0.03m}{\sqrt{h^2 + s^2}} \leq 2^° $

Den Fehler von einem Satz von Messpunkten $T_i$ erhalten wir aus der Standardabweichung.

Wir lassen den Stab mit zwei Fingern los, sodass er keinen Schwung bekommt. Die Zeit wird mit der akkustischen Stoppuhr gemessen. Dabei klopfen wir beim Loslassen auf die Küchenzeile.

Höhe Küchenzeile $h_k = 0,92 \pm 0,03m$.

Entfernung Markierung $s_{Mark} = 0,90 \pm 0,03m$.

Wir messen aufgrund von Mangel an Alternativen einen Metallstab mit Länge $l = 1,02 \pm 0,01m$, der eine Verstärkung einer Regalrückwand werden soll.

Wir messen analog zu zuvor.

$u(T)$ erhalten wir über die Standardabweichung der Messwerte. $u(\phi_0) = 2°$ erhalten wir aus der Fehlerrechnung von oben.

numerical.py

import numpy
import matplotlib.pyplot as plt
 
 
def evaluate(length, phi0, timestep):  # length in m, phi0 in rad, timestep in s
    tau_quadrat = ((2 * length) / (3 * 9.81))
    phi = phi0
    v_phi = 0
    time = 0
    while phi < numpy.pi / 2:
        a_phi = numpy.sin(phi) / tau_quadrat
        v_phi += timestep * a_phi
        phi += timestep * v_phi
        time += timestep
    return time
 
 
# testing the evaluation
prec_test = 0.01
phi0s_test = [0 + prec_test * i for i in range(1, round(2 * numpy.pi / prec_test) + 1)]
sols_test = [evaluate(1.45, phi0, 0.01) for phi0 in phi0s_test]
plt.plot(phi0s_test, sols_test, label='test', ls='', marker='.')
plt.legend()
plt.show()
print('Wir lesen aus dem Grafen ab: 0.81\nSelbst gerechneter Wert:', evaluate(1.45, 0.25, 0.01))
 
 
def find_sol(length, phi0, prec):  # length in m, phi0 in rad, prec is the number of decimal places
    prev = None
    for i in range(10):
        sol = evaluate(length, phi0, 0.1 ** i)
        if prev and abs(sol - prev) < 0.5 * 0.1 ** prec:
            break
        prev = sol
    return sol
 
 
def find_sols(lengths, phi0s, prec):
    sols = {}
    for length in lengths:
        phi_sols = []
        for phi0 in phi0s:
            phi_sols += [find_sol(length, phi0, prec)]
        sols[length] = [phi0s, phi_sols]
    return sols

Die Winkelbeschleunigung beträgt $ \ddot{\phi} = \frac{3 \cdot g \cdot sin(\phi)}{2 \cdot l} $. Dann beträgt die Beschleunigung am Ende des Stabes $ a = \frac{3 \cdot g \cdot sin(\phi)}{2} $. Diese ist senkrecht zu dem Stab ausgerichtet, aber uns interessiert der Anteil senkrecht zum Boden, also $ a_z = \frac{3 \cdot g \cdot sin(\phi)^2}{2} $. Diese Beschleunigung ist g genau dann, wenn $ 1 = \frac{3 \cdot sin(\phi)^2}{2} \Leftrightarrow \phi = arcsin(\sqrt{\frac{2}{3}}) = 0.955 = 54.7^° $

messung.py

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
 
h_kueche = 0.92
s_mark = 0.9
 
s1 = [0.160, 0.365, 0.665, 0.930]
h1 = [0.655, 0.320]
 
winkel = [np.arctan(x/h_kueche) for x in s1] + [np.arctan(s_mark/x) for x in h1]
print('winkel1', winkel)
 
t_laengen1 = [[0.685, 0.733, 0.749, 0.742, 0.768],
             [0.552, 0.518, 0.572, 0.583, 0.585],
             [0.436, 0.451, 0.394, 0.387, 0.406],
             [0.353, 0.383, 0.372, 0.337, 0.399]]
t_laengen1 = [sum(x)/len(x) for x in t_laengen1]
 
t_hoehen1 = [[0.315, 0.299, 0.315, 0.304, 0.292],
            [0.255, 0.197, 0.268, 0.241, 0.262]]
t_hoehen1 = [sum(x)/len(x) for x in t_hoehen1]
t1 = t_laengen1 + t_hoehen1
 
print('t1', t1)
 
# Winkel wie gehabt
 
t_laengen2 = [[0.723, 0.667, 0.708, 0.681, 0.637],
             [0.490, 0.513, 0.519, 0.493, 0.531],
             [0.369, 0.381, 0.433, 0.409, 0.410],
             [0.362, 0.346, 0.339, 0.375, 0.400]]
t_laengen2 = [sum(x)/len(x) for x in t_laengen2]
 
t_hoehen2 = [[0.286, 0.307, 0.333, 0.283, 0.303],
            [0.227, 0.220, 0.235, 0.203, 0.237]]
t_hoehen2 = [sum(x)/len(x) for x in t_hoehen2]
t2 = t_laengen2 + t_hoehen2
 
 
#relativer Fehler
n=5
index = 19
abs_error1 = [abs(t1_mean[i] - t1[i][k]) for k in range(n) for i in range(len(t1_mean))]
rel_error1 = [abs_error1[i*n+k]/t1_mean[i] for k in range(n) for i in range(len(t1_mean))]
 
string = '|'
for i, el in enumerate(rel_error1):
    string += str(round(el, 3)) + '|'
    if i%5 == 4:
        print(string)
        string = '|'
 
rel_error1.sort()
print(len(rel_error1), rel_error1[index])
 
 
abs_error2 = [abs(t2_mean[i] - t2[i][k]) for k in range(n) for i in range(len(t2_mean))]
rel_error2 = [abs_error2[i*n+k]/t2_mean[i] for k in range(n) for i in range(len(t2_mean))]
 
string = '|'
for i, el in enumerate(rel_error2):
    string += str(round(el, 3)) + '|'
    if i%5 == 4:
        print(string)
        string = '|'
 
rel_error2.sort()
print(len(rel_error2), rel_error2[index])
 
 
x_err, y_err = 0, 0 
 
fig, axes = plt.subplots(1, 2, figsize=(10,5))
ax1, ax2 = axes
 
cols = ['orange', 'green']
 
ax1.errorbar(winkel, t1_mean, xerr=x_err, yerr=y_err, marker='o', ls='', c='red', label='Mittelung')
ax2.errorbar(winkel, t2_mean, xerr=x_err, yerr=y_err, ls='', marker='o', c='blue', label='Mittelung')
 
ax1.scatter(winkel_5, t1, c='black', label='Messpunkte')
ax1.set_title('Besen, l=1,32m')
 
ax2.scatter(winkel_5, t2, c='black', label='Messpunkte')
ax2.set_title('Eisenstab mit l=1,02m')
 
# plt.scatter(winkel_5, t1, marker='x', c='orange', label='Messung Besen')
# plt.scatter(winkel_5, t2, marker='x', c='grey', label='Messung Eisenstab')
 
for i, length in enumerate(laengen_numerisch):
    axes[i].plot(sols[length][0], sols[length][1], c=cols[i],
                 label='Numerisch ' + str(length) + 'm')
    axes[i].set_xlabel('Winkel in rad')
    axes[i].set_ylabel('Fallzeit in s')
    axes[i].legend()
 
plt.show()

Der Übersichtlichkeit halber zeichnen wir die numerischen Graphen kontinuierlich, obwohl wir diese nur für $N=100$ Punkte berechnet haben. Der Übersichtlichkeit zeichnen wir die Fehlerbalken ebenfalls nicht ein.

Wir betrachten weitere Störquellen.

In Bezug auf die Schallreflexion mit $c \approx 300 m/s$ haben wir bei unserer Küche mit ca. 3m Länge bereits bei Reflexion von zum Beispiel $R \approx 80 \% $ schon nach $t=0.1s$ eine Dämpfung auf $0,9^{10} \approx 10 \% $ der Ausgangsleistung. Außerdem vermuten wir, dass die Erkennung des Anstiegs des Schallpegels über einen Treshhold nicht von der Relflexion beeinflusst wird, bzw. im Aufschlag des Besen der ersten Schallpeak in jeder Messung deutlich abgefallen ist.

Die Reflexivität der Wand ist vermutlich deutlich kleiner.

Beim Erzeugen des ersten Audio-Peaks durch Klopfen auf den Boden und gleichzeitigen Loslassens kann jedoch leicht ein Zeitfehler entstehen, da man dazu neigt, das Klopfen mit dem Aufschlag zu synchronisieren. Dies könnte verantwortlich sein für die systematisch zu geringe gemessene Fallzeit.

Wir betrachten als Modell für die Luftreibung eine Form der Newton Reibung für turbulente Fluide. Wir erhalten als Reibungsmodell also

$ F_R = ½ A c_w \rho_{Luft} v^2$

wobei $A$ die Querschnittsfläche, $c_w$ der Luftwiderstandsbeiwert, $\rho_{Luft} \approx 1$ die Luftdichte. Wir vereinfachen weiter und nehmen die Stäbe als Flächen an. Wir erhalten also $A = rl$ für den Stabradius $r$ und die Stablänge $l$. Auf Wikipedia finden wir den (geometrieabhängigen) $ 0,4 \leq c_w \leq 1,2 $ für einen Zylinder abhängig von der Reynolds-Zahl, die sich im Versuchsverlauf jedoch auch ändert. Wir nehmen $c_w \approx 1$ an. Wir betrachten die Geschwindigkeit als konstant über dem Vierteilkreisbogen für den Schwerpunkt

$ v = S/T = \pi/2 \cdot l/2 \cdot 1/T $

Wir erhalten für den Besen mit $r_B \approx 0.011 m$ und und $l_{Besen} = 1,30 m$ und dem Eisenstab mir $r_E = 0.004 m$ und $l_{Besen} = 1,02 m$ für $T = 0,5s$ also

$ F_{R, Besen} \approx ½ r l (\pi/2 \cdot l/2 \cdot 1/T)^2 \approx 0,030 N \\ F_{R, Eisen} \approx 0,005 N $

Verglichen mit der Gravitation sind wir also um mindestens zwei Größenordnungen kleiner, selbst wenn die effektive Gravitation $g_{eff} \leq 9.81$ etwas kleiner als der Ortsfaktor durch durch den $\sin{\phi}$ ist. Wir betrachten den Einfluss der Luftreibung zumindest für die im Versuch verwendeten Geometrien als irrelevant.